Estos axiomas invocan los conceptos siguientes: señalar, línea segmento recta y línea, lado de una línea, círculo con el radio y centro, de ángulo recto, congruencia, interno y los ángulos rectos, suma. Los verbos siguientes aparecen: ensamblar, extender, dibujar, intersecarse. El círculo descrito en el postulado 3 es tácito único. Los postulados 3 y 5 se sostienen solamente para la geometría plana; en tres dimensiones, el postulado 3 define una esfera.

El postulado 5 lleva a la misma geometría que la declaración siguiente, conocida como axioma de Playfair, que también se sostiene solamente en el plano:

A través de un punto no en una línea recta dada, una y solamente una línea puede ser dibujada que nunca resuelve la línea dada.

Los postulados 1, 2, 3, y 5 afirman la existencia y la unicidad de ciertas figuras geométricas, y estas aserciones están de una naturaleza constructiva: es decir, no sólo nos dicen que existen ciertas cosas, pero también se dan los métodos para crearlos sin más que un compás y una regla no marcada . En este sentido, la geometría euclidiana es más concreta que muchos sistemas axiomáticos modernos tales como teoría determinada, que afirman a menudo la existencia de objetos sin decir cómo construirlos, o aún afirma la existencia de los objetos que no se pueden construir dentro de la teoría.

En realidad, las construcciones de líneas en el papel etc son los modelos de los objetos definidos dentro del sistema formal, algo que casos de esos objetos. Por ejemplo una línea recta euclidiana no tiene ninguna anchura, sino que cualquier línea dibujada verdadera.

Los elementos del también incluyen el " siguiente cinco; notions" común;: Las cosas que igualan la misma cosa también igualan uno otro.

En el siglo XIX, fue observado que diez axiomas y las nociones comunes de Euclid no son suficientes probar todos los teoremas indicados en los elementos del . Por ejemplo, Euclid asumió implícito que cualquier línea contiene por lo menos dos puntos, pero esta asunción no se puede probar de los otros axiomas, y por lo tanto de las necesidades de ser un axioma sí mismo. La primera prueba geométrica en los elementos del, demostrado en la figura a la derecha, es que cualquier línea segmento es parte de un triángulo; Euclid construye esto de la manera habitual, dibujando círculos alrededor de ambas puntos finales y tomando su intersección como la tercera cima . Sus axiomas, sin embargo, no garantizan que los círculos se intersecan realmente, porque son constantes con discreto, algo que continuo, espacio. Comenzando con el Moritz Pasch en 1882, muchos sistemas axiomáticos mejorados para la geometría se han propuesto, el ser más conocido los Hilbert, George Birkhoff, y Tarski .

Para ser justa a Euclid, la lógica formal del primer capaz de apoyar su geometría era la el 1879 del de s de Frege de 'Begriffsschrift, pequeño leído hasta los años 50. Ahora vemos que la geometría euclidiana se debe encajar en la lógica de primer orden con identidad, un sistema formal primero precisado en el Hilbert y los principios 1928 de s de Ackermann Wilhelm 'de la lógica teórica . El formal Mereology comenzó solamente en 1916, con el trabajo Lesniewski y A. El Tarski y sus estudiantes major el trabajo sobre las fundaciones de la geometría elemental tan recientemente como entre 1959 y su muerte en 1983.

El postulado paralelo

considera también:

l postulado del paralelo

A los ancients, el postulado paralelo parecía menos obvio que los otros; verificarlo nos requeriría físicamente examinar dos líneas para comprobar que nunca se intersecaron, incluso en un cierto punto muy distante, y esta inspección podría potencialmente llevar una cantidad de tiempo infinita. Euclid mismo parece haber consideradolo como siendo cualitativo diferente de los otros, según lo evidenciado por la organización de los elementos del : los primeros 28 asuntos que él presenta son los que se pueden probar sin él.

Muchos geómetras intentaron en vano probar el quinto postulado de los primeros cuatro. Antes de 1763 por lo menos 28 diversas pruebas había sido publicado, pero todo fue encontrado para ser incorrecto. De hecho el postulado paralelo no se puede probar de los otros cuatro: esto fue demostrada en el siglo XIX por la construcción ( no-Euclidiano) de sistemas alternativos de geometría donde están todavía verdades los otros axiomas pero el postulado paralelo es substituido por un axioma en conflicto. Un aspecto de distinción de estos sistemas es que los tres ángulos de un triángulo no agregan a 180°: en la geometría hiperbólica la suma de los tres ángulos es siempre menos que 180° y puede acercarse a cero, mientras que en la geometría elíptica es mayor que 180°. Si el postulado paralelo se cae de la lista de axiomas sin el reemplazo, el resultado es la geometría más general llamada la geometría absoluta . Hay sin embargo una conexión con el libro titulado " Window" de Euclid;. Es leído comúnmente por los estudiantes de la geometría de la High School secundaria para entender más lejos el concepto de geometría euclidiana.

Tratamiento usar geometría analítica

$|PQ|=\; \backslash raíz\; cuadrada\{(banda)\; ^2+\; (q-s)\; ^2\}$

definiendo la distancia entre dos puntos del $P=\; (p,\; q)$ y el $Q=\; (r,\; s)$ entonces se conoce como el euclidiano métrico del, y otras métricas definen las geometrías no-Euclidianas .

Como descripción de la realidad física

Euclid creyó que sus axiomas eran declaraciones evidentes en sí sobre realidad física.

Esto llevó a las dificultades filosóficas profundas en la reconciliación del estado del conocimiento de la observación en comparación con el conocimiento ganado por la acción del pensamiento y razonar. Una investigación importante de esta área fue conducida por el Immanuel Kant en la crítica de la razón pura .

Sin embargo, la teoría de de Einstein de la relatividad general demuestra que la geometría verdadera del espacio-tiempo es la geometría No-Euclidiana . Por ejemplo, si un triángulo se construye fuera de tres rayos de luz, después en general los ángulos interiores no agregan para arriba a 180 grados de debido a la gravedad. Un campo gravitacional relativamente débil, tal como la tierra o el sol, es representado por un métrico que esté aproximadamente, pero no exactamente, euclidiano. Hasta el vigésimo siglo, no había tecnología capaz de detectar las desviaciones de la geometría euclidiana, pero Einstein predijo que existirían tales desviaciones. Fueron verificadas más adelante por observaciones tales como la observación del doblez leve de la luz de las estrellas por el Sun durante un eclipse solar en 1919, y la geometría No-Euclidiana ahora es, por ejemplo, una parte integrante del software que funciona con el sistema del GPS . Es posible oponerse a la interpretación no-Euclidiana de la relatividad general considerando que los rayos ligeros pudieron ser modelos físicos incorrectos de las líneas de Euclid, o esa relatividad se podría reformular para evitar las interpretaciones geométricas. Sin embargo, una de las consecuencias de la teoría de Einstein es que no hay prueba física posible que puede hacer para mejorar que un haz de luz como modelo de la geometría. Así, las únicas posibilidades lógicas son aceptar la geometría No-Euclidiana como físicamente verdaderas, o rechazar la noción entera de las pruebas físicas de los axiomas de la geometría, que se pueden entonces imaginar como sistema formal sin ningún significado del mundo real intrínseco.

Debido a la incompatibilidad del modelo estándar con la relatividad general, y debido a una cierta evidencia empírica reciente contra el anterior, ambas teorías ahora son escrutinio debajo creciente, y muchas teorías se han propuesto para substituir el anterior y, en muchos casos, estes 3ultimo también. (la tripa es el único ejemplo de las teorías modelo poste-Estándar que no abordan relatividad general.) Los desacuerdos entre las dos teorías vienen de sus demandas sobre el espacio-tiempo, y ahora se acepta que la geometría física debe describir espacio-tiempo algo que simplemente espacio. Mientras que la geometría euclidiana, el modelo estándar y relatividad general es toda compatible con cualquier número de dimensiones espaciales y cualquier especificación en cuanto a la cual de éstos eventualmente ser comprimido (véase el encadenar la teoría ), y mientras que todos barran la geometría euclidiana (que no distingue el espacio a partir de tiempo) insistir en exactamente una dimensión temporal, las alternativas propuestas, ningunas cuyo estar con todo parte del consenso científico, diferencian perceptiblemente en sus predicciones o carecen de eso en cuanto a estos detalles del espacio-tiempo. Los desacuerdos entre la preocupación física convencional de las teorías si el espacio-tiempo sea euclidiano (puesto que la teoría de campo de Quantum en el modelo estándar se emplea la asunción que es) y encendido si es cuantificado . Pocos eventualmente propusieron que las alternativas nieguen que el espacio-tiempo es quantized, con los quanta de la longitud y el tiempo es respectivamente la longitud de Planck y el tiempo de Planck. Sin embargo, que la geometría utilizar - euclidiano, el Riemannian, de Stitter, de anti Stitter y algunos otros - es un punto importante de la demarcación entre ellos. Muchos físicos esperan que una cierta teoría euclidiana de la secuencia se convierta en eventual la teoría todo, pero su opinión es de ninguna manera unánime, y en todo caso el futuro de esta edición es imprevisible. Mirando cómo si en toda la geometría euclidiana estará implicado en la física futura, qué es incontrovertido es que la definición de líneas rectas todavía estará en términos de trayectoria en un vacío de la radiación electromágnetica (luz incluyendo) hasta que la gravedad se explique con consistencia matemática en términos de fenómeno con excepción de curvatura del espacio-tiempo, y que la prueba de los postulados geométricos (euclidianos o de otra manera) mentirá en estudiar cómo estas trayectorias son afectadas por fenómenos. Para ahora, la gravedad es el único fenómeno relevante sabido, y su efecto es incontrovertido (véase el lensing gravitacional).

Secciones cónicas y teoría gravitacional

El Apollonius y otros geómetras del griego clásico hicieron un estudio extenso de las secciones cónicas - curvas creadas intersecando un cono y un plano. Los (nondegenerate) son la elipse, la parábola y la hipérbola, distinguida teniendo cero, una, o dos intersecciones con infinito. Esto resultada para facilitar el trabajo Galileo, Kepler y Newton en el siglo XVII, como estas curvas modelaron exactamente el movimiento de cuerpos bajo influencia de la gravedad. Usar la ley de Newton de la gravitación universal, la órbita de un cometa alrededor Sun está

una elipse, si se está moviendo demasiado lentamente para su posición (debajo de la velocidad de escape ), en este caso vuelve eventual;
una parábola, si se está moviendo con la velocidad de escape exacta (inverosímil), y nunca volverá porque la curva alcanza al infinito; o
una hipérbola, si es móvil rápidamente bastante (sobre velocidad de escape), y nunca volverá además.