¡ ¡ En las matemáticas, la geometría hiperbólica es una geometría No-Euclidiana, significando que el postulado del paralelo de la geometría euclidiana está rechazado. El postulado paralelo en estados euclidianos de la geometría, para dos dimensiones, que dado una línea l y un P del punto no en el l, hay exactamente una línea a través del P que no interseca el l ; es decir, eso es paralelo al l . En geometría hiperbólica hay por lo menos dos líneas distintas a través del P que no intersecan el l, así que el postulado paralelo es falso. Los modelos se han construido dentro de la geometría euclidiana que obedecen los axiomas de la geometría hiperbólica, así probando que el postulado paralelo es independiente de los otros postulados de Euclid.

Puesto que no hay análogo hiperbólico exacto a las líneas paralelas euclidianas, el uso hiperbólico del paralelo del y de términos relacionados varía entre escritores. En este artículo, las dos líneas de limitación se llaman el asintótico y las líneas que comparten un perpendicular común se llaman el ultraparallel del ; el paralelo simple del de la palabra puede aplicarse a ambos.

Líneas Non-intersecting

Una característica interesante de la geometría hiperbólica sigue de la ocurrencia de más de una línea paralela a través de un punto: hay dos clases de líneas non-intersecting. Dejar el B ser el punto en el l tales que la línea PB del es perpendicular al l . Considerar la línea x a través del P tales que el x no interseca el l, y la theta del ángulo entre el PB del y el x (a la izquierda del PB del ) es tan pequeña como sea posible (es decir, más pequeño un ángulo forzará la línea para intersecar el l ). Esto se llama una línea asintótica (o línea del paralelo) en geometría hiperbólica. Semejantemente, la línea y que forma la misma theta del ángulo entre el PB y sí mismo del pero a la derecha de el PB también será asintótica, pero no puede haber otros. El resto de las líneas a través del P que no interseca el l forma de pescan mayor con caña que theta con el PB del, y se llaman las líneas del ultraparallel (o el disjointly paralelo). Notar que puesto que hay un número infinito de ángulos posibles entre la theta y 90 grados, y cada uno determinará dos líneas a través del P y disjointly paralelo al l, tenemos un número infinito de líneas del ultraparallel.

Así tenemos esta forma modificada del postulado paralelo: En la geometría hiperbólica, dada cualquier línea l, y el P del punto no en el l, hay exactamente dos líneas con P que son asintóticas a l, e infinitamente muchas líneas a través de ultraparallel del P al l .

Las diferencias entre estos tipos de líneas se pueden también mirar así: la distancia entre las líneas asintóticas encogimientos hacia pone a cero adentro una dirección y crece sin límite en la otra; la distancia entre las líneas del ultraparallel aumenta de ambas direcciones. El teorema de Ultraparallel indica que hay una línea única del en el plano hiperbólico que es perpendicular a cada uno de un par dado de líneas del ultraparallel.

El ángulo del del paralelismo en geometría euclidiana es un constante, es decir, cualquier longitud BP rendirá un ángulo del paralelismo igual hasta el 90°. En geometría hiperbólica, el ángulo del paralelismo varía con qué se llama el Π (p) función. Esta función, descrita por el Nikolai Ivanovich Lobachevsky produjo un ángulo único del paralelismo para cada longitud dada BP. Pues la longitud BP consigue más corta, el ángulo del paralelismo se acercará al 90°. Pues la longitud BP aumenta sin límite, el ángulo del paralelismo se acercará a 0°. Notar eso debido a este hecho, como las distancias consiguen más pequeñas, el plano hiperbólico se comporta cada vez más como geometría euclidiana. Tan en la pequeña escala, un observador dentro del plano hiperbólico tendría una dificultad determinando que no están en un plano euclidiano.

Historia

Un número de geómetras han intentado probar el postulado del paralelo si se asume que su negación e intentando derivar una contradicción, incluyendo el Proclus, el al-Haytham (Alhacen) de Ibn, el Omar Khayyám, el al-Tusi del al-Dinar de Nasir, el Witelo, el Gersonides, el Alfonso, y el posterior Juan Gerolamo Saccheri, el Juan Wallis, el Lamberto, y el Legendre . Sus tentativas fallaron, pero sus esfuerzos dieron a luz a la geometría hiperbólica.

Los teoremas de Alhacen, de Khayyam y del al-Tusi en los cuadriláteros incluyendo el cuadrilátero de Lamberto y el cuadrilátero de Saccheri, eran los primeros teoremas en geometría hiperbólica. Sus trabajos sobre geometría hiperbólica tenían una considerable influencia en su desarrollo entre geómetras europeos posteriores, incluyendo Witelo, Gersonides, Alfonso, Juan Wallis y Saccheri.

En el siglo XIX, la geometría hiperbólica fue explorada extensivamente por el János Bolyai y el Nikolai Ivanovich Lobachevsky, después de que se nombra a veces. Lobachevsky publicó en 1830, mientras que Bolyai lo descubrió independiente y publicó en 1832. geometrías hiperbólicas también estudiadas del gauss de Karl Friedrich, describiendo en una letra 1824 a Taurinus que él lo había construido, pero no publicó su trabajo. En 1868, el Eugenio Beltrami proporcionó modelos de él, y utilizó esto para probar que la geometría hiperbólica era constante si era la geometría euclidiana.

El " del término; geometry" hiperbólico; fue introducido por el Felix Klein en 1871.

Para más historia, ver el artículo sobre la geometría No-Euclidiana, y las referencias Coxeter y Milnor.

Modelos del plano hiperbólico

Hay cuatro modelos de uso general para la geometría hiperbólica: el Klein modelo, el modelo del disco de Poincaré, el modelo del mitad-plano de Poincaré, y el modelo de Lorentz, o Hyperboloid modelo. Estos modelos definen un espacio hiperbólico verdadero que satisfaga los axiomas de una geometría hiperbólica. A pesar de el nombramiento, los dos modelos del disco y el modelo del mitad-plano fueron introducidos como modelos del espacio hiperbólico por Beltrami, no por Poincaré o Klein.

El Klein modelo, también conocido como el modelo descriptivo del disco del y Beltrami - Klein modelo del, utiliza el interior de un círculo para el plano hiperbólico, y el chords del círculo como líneas.

* Este modelo tiene la ventaja de la simplicidad, pero la desventaja que los ángulos en el plano hiperbólico están torcidos.

* La distancia en este modelo es el Cruz-cociente, que fue introducido por el Arturo Cayley en la geometría descriptiva .

El modelo del disco de Poincaré del, también conocido como el modelo conformal del disco del, también emplea el interior de un círculo, pero las líneas son representadas por los arcos de los círculos que son el ortogonal al círculo del límite, más los diámetros del círculo del límite.

El modelo del mitad-plano de Poincaré del toma una mitad del plano euclidiano, según lo determinado por una línea euclidiana B, ser el plano hiperbólico (el B sí mismo no es incluido).

* Las líneas hiperbólicas son entonces semi-círculos ortogonales al B o rayos perpendiculares al B .

* Ambos ángulos hiperbólicos del coto de los modelos de Poincaré, y son de tal modo el conformal. Todos los isometries dentro de estos modelos son por lo tanto

de las transformaciones de Möbius Un cuarto modelo es el Lorentz el modelo Hyperboloid modelo de o del, que emplea un de 2 dimensiones Hyperboloid de la revolución (de dos hojas, pero de usar uno) encajado en el espacio de 3 dimensiones de Minkowski. Este modelo se acredita generalmente a Poincaré, pero Reynolds (véase abajo) dice que la matanza de Wilhelm y el Karl Weierstrass utilizaron este modelo a partir de 1872.

el modelo de los *This tiene uso directo a la relatividad especial, como el espacio de Minkowski 3 es un modelo para el espacio-tiempo, suprimiendo una dimensión espacial. Uno puede tomar el hyperboloid para representar los acontecimientos que los varios observadores móviles, irradiando hacia fuera en un plano espacial de un monopunto, alcanzarán en un rato apropiado fijo. La distancia hiperbólica entre dos puntos en el hyperboloid se puede entonces identificar con la rapidez relativa entre los dos observadores correspondientes.

Geometría hiperbólica de visualización

¡derechos reservados quitado: --> impresiones famosas '' límite III del círculo '' y '' límite IV de s de Escher C. 'del círculo '' ilustrar el modelo conformal del disco absolutamente bien. En ambo puede ver la geodesia (en III las líneas blancas es no geodesia, sino los hypercycles, que funcionan junto a ellos.) Es también posible ver absolutamente llano la curvatura negativa del plano hiperbólico, con su efecto sobre la suma de ángulos en triángulos y cuadrados.

Por ejemplo, en límite del círculo del cada cima de III pertenece a tres triángulos y a tres cuadrados. En el plano euclidiano, sus ángulos sumarían a 450°; es decir, un círculo y un cuarto. De esto vemos que la suma de ángulos de un triángulo en el plano hiperbólico debe ser más pequeña que 180°. Otra característica visible es el crecimiento exponencial . En el límite IV del círculo del, por ejemplo, uno puede ver que se levanta el número de demonios a una distancia del n del centro exponencial. Los demonios tienen área hiperbólica igual, así que el área de una bola del n del radio debe levantarse exponencial en el n .

Hay varias maneras de realizar físicamente un plano hiperbólico (o la aproximación de eso). Un modelo de papel particularmente bien conocido basado en el Pseudosphere es debido al Guillermo Thurston . El arte del ganchillo se ha utilizado para demostrar los planos hiperbólicos con los primeros que eran hechos por el Daina Taimina . En 2000, Keith que Henderson demostró un modelo del papel de la rápido-a-fabricación dobló el " " hiperbólico del soccerball ;.

Relación a las superficies de Riemann

Las superficies hiperbólicas de dos dimensiones se pueden también entender según la lengua de las superficies de Riemann según el teorema de Uniformization, cada superficie de Riemann son cualquier elípticas, parabólicas o hiperbólicas. La mayoría de las superficies hiperbólicas tienen un $fundamental\; \backslash \; pi\_1=\; \backslash \; gamma,$ del grupo no trivial conocido como el grupo de Fuchsian. El H /Γ del espacio de cociente de la parte superior - media - el Modulo plano el grupo fundamental se conoce como el Fuchsian modelo de la superficie hiperbólica. Plano de Poincaré el medio es también hiperbólico, pero es el simplemente conectado y el no compacto. Es la cubierta universal de las otras superficies hiperbólicas.

La construcción análoga para las superficies hiperbólicas tridimensionales es el Kleinian modelo.

Ver también

ángulo l paralelismo
Geometría elíptica
Espacio hiperbólico
Estructura hiperbólica
Hyperboloid modelo
Estructura de Hyperboloid
Grupo de Fuchsian
Fuchsian modelo
Transformación de Hjelmslev
3 multíples hiperbólicos
Klein modelo
Grupo de Kleinian
Kleinian modelo
Modelo del disco de Poincaré
Modelo del mitad-plano de Poincaré
Poincaré métrico
Riemann superficial
Cuadrilátero de Khayyam-Saccheri
Relatividad especial
Geometría esférica
Geometría sistólica

.

Zenithic

Réjaumont, Gers

Random links:

Ravena, Nebraska | Limburgo-Weilburg | Verificación y validación (software) | Diario de Guadalcanal (libro)