En las matemáticas, la geometría integral del término se utiliza en dos maneras, que, aunque estén relacionadas, implican diversas vistas del contenido del tema.
Casos
El uso más tradicional es el Santalo y Blaschke . Sigue del teorema clásico de Crofton que expresa la longitud de una curva plana como expectativa del número de intersecciones con una línea al azar . Aquí la palabra “al azar” se debe interpretar como conforme a consideraciones correctas de la simetría.Hay un espacio de muestra de líneas, uno en el cual el afina el grupo de los actos del plano. Una medida de probabilidad se busca en este espacio, invariante bajo grupo de la simetría. Si, como en este caso, podemos encontrar un único tal medida invariante, ésa soluciona el problema de formular exactamente qué la “línea al azar” significa; y las expectativas se convierten en integrales con respecto a esa medida. (Nota por ejemplo que la frase “acorde al azar de un círculo” se puede utilizar para construir algunas paradojas )
Podemos por lo tanto decir esa geometría integral del en el sentido de Santalo, somos el uso de la teoría de las probabilidades (según lo axiomatized por el Kolmogorov ) en el contexto del programa de Erlangen de Klein. El contenido de la teoría es con eficacia el de medidas (lisas) invariantes en (preferiblemente el compacto) los espacios homogéneos de los grupos de mentira y de la evaluación de integrales del surgimiento de las formas del diferencial.
Un caso muy celebrado es el problema de la aguja de Buffon: caer una aguja en un piso hecho de tablones y calcular la probabilidad las mentiras de la aguja a través de una grieta. Generalizando, esta teoría se aplica a los procesos estocásticos del vario referidos a preguntas geométricas y de la incidencia.
Uno de los teoremas más interesantes de esta forma de geometría integral es el teorema de Hadwiger.
El significado más reciente de la geometría integral es el Israel Gelfand . Trata de integral transforma más específicamente, modelado en el radón transforma . Aquí la relación geométrica subyacente de la incidencia (puntos que mienten en líneas, en el caso de Crofton) se considera en una luz más libre, como el sitio para un integral transforma compuesto como retirada del sobre el gráfico de la incidencia y entonces el empuja adelante .
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