En las matemáticas, la geometría inversiva del anillo del es la extensión al contexto de los anillos asociativos de los conceptos de la línea descriptiva, de los coordenadas homogéneos, de las transformaciones descriptivas y del Cruz-cociente, conceptos construidos generalmente sobre los anillos que suceden ser los campos .
Uno comienza con los pares pedidos ( un, b ) en × del A ; A donde está un anillo el A (asociativo) con 1. Dejar el U ser el grupo de las unidades del anillo. Cuando hay el g en el U tales que
l ( AG, BG ) = ( u, v ),
entonces escribimos ~ del
l ( u, v ) ( un, b ).
Es decir identificamos las órbitas bajo acción del U, y el ~ es la relación de equivalencia correspondiente .
Dos elementos de un anillo son el relativamente primero si el ideal en el A que generan es el conjunto del A . La línea descriptiva del sobre A es el sistema de las clases de equivalencia para el ~ en pares de elementos relativamente primeros: P ( A ) del
l = × del A del ∈ {del U ( un, b ); A /~: A + A b = A }.
Ejemplos con descripciones topológicas (el ≈ denota el homeomorfismo ):
A del
= plano complejo del C : S del ≈ del P ( C ) 2 = esfera de Riemann
A = anillo de Quaternion H : S del ≈ del P ( H ) 4 = compactification del Uno-punto
A = plano del número dual D : P ( D ) = ∪ del D { U (1, x n ): R del ∈ del x }, nn del = 0
A = plano partir-complejo del M : Hyperboloid del ≈ del P ( M ) de una hoja. Esta descripción apareció en ruso en 1969 ( Yaglom ), en alemán en 1973 (Benz), e inglés en 1979 (Shenitzer traduce Yaglom).
¡Afinar y groups< descriptivo! -- Esta sección se liga del grupo de Lorentz -->
El afina el grupo que en el A es generado por el x del → del x de los mappings + el x u del → del c y del x, u U del ∈.
El grupo del de los projectivities en el P ( A ) amplía a grupo de la afinación incluyendo &minus del x del → del x de la reciprocación; 1 como sigue:
Representar las traducciones por el U (el x, 1) = el U ( x + el c, 1).
Representar el " rotations" por el U (el x, 1) = el U ( x u, 1).
Incluir la reciprocación con el = el U ( y, x ).
Observar eso si el U, entonces U (1, u ) del ∈ del u = el U (&minus del u ; 1, 1) = U (el u, 1).
La composición de mappings es representada por la multiplicación de la matriz de donde están las matrices el 2 × tipo 2 exhibido con las entradas tomadas del A del anillo. Llamar el sistema de ellas el M ( A, 2) tan el grupo del del del ⊂ de G ( A ) del de los projectivities M ( A, 2). Por ejemplo, en el G ( A ) uno encuentra el projectivity el
Su acción es el U (el x, 1) = el U (xu del, u ) = el U (&minus del u ; xu del 1, 1).
Así el &minus interno del u del → del x del automorfismo ; 1 el x u del grupo del A del ⊂ del U de las unidades se presenta como projectivity en el P ( A ) por un elemento del G ( A ). Por ejemplo, cuando el A es el anillo Quaternions entonces uno obtiene rotaciones 3 del espacio . En caso de que el A sea el anillo Biquaternions los mappings incluyen las rotaciones ordinarias e hiperbólicas del grupo de Lorentz.
teoremas del Cruz-cociente
Aquí consideramos existencia, unicidad, triples que emparejan, y la invariación . Suponer el p, q, A del ∈ del r con el t del = (&ndash del r ; &minus del p ); 1 y v = ( t + (&ndash del q ; &minus del r ); ) &minus 1; 1. Cuando existen el t de estos lo contrario y el v decimos el " el p, el q, y el r son sufficiently" separado;. Ahora mirar
Los primeros dos factores pusieron el r en el U (1, 0) = ∞ donde permanece. El tercer factor mueve el t, la imagen del p bajo primeros dos factores, al U (0, 1), o pone a cero adentro la encajadura canónica. Finalmente, el cuarto factor ha remontado el q con los primeros tres factores y formaciones de la rotación con el v pone U ( q, 1) en el U (1, 1). Así la composición exhibida pone el triple p, q, r en triple 0. Es evidentemente único tal projectivity que considera el uso giratorio de los puntos fijos de generadores de traer el triple a 0.
Si el s y el t son dos triples suficientemente separados entonces corresponden al g de los projectivities y h respectivamente que trazan cada uno del s y del t (0. Así el &minus del h del projectivity; el g de 1 o traza el s a el t .
Denotar por (el x, el p, el q, el r ) la imagen del x debajo del projectivity determinada por el p, q, r como arriba. Esta función f (x) es el cruz-cociente determinado por p, q, &isin de r; A. La unicidad de esta función implica eso cuando un solo &isin de g del projectivity; G (A) se utiliza para formar otro g triple (p), g (q), g (r) primer, después de la nueva función h del cruz-cociente es la composición de primer con g, que es h = g o f, si no escrito
Notas históricas
El agosto Fernando Möbius investigó las transformaciones de Möbius entre su cálculo (1827) de Baricentric del del libro y su " de papel 1855; Der Kreisverwandtschaft de Theorie en el geometrischer Darstellung" de la rienda;. El Karl Wilhelm Feuerbach y la desplumadora de Julio también se acreditan con originar el uso de coordenadas homogéneos. El estudio de Eduard en 1898, y el Elie Cartan en 1908, escribieron los artículos en los números de Hypercomplex para las enciclopedias alemanas y francesas del de las matemáticas, respectivamente. Estos artículos también sugirieron el G ( A ) del → del A de Functor desarrollado arriba, pero en su era una careció los conceptos de la categoría de anillos y las ventajas del rigor en relaciones de equivalencia todavía no fueron apreciadas, así que las tentativas del estudio y de Cartan eran prematuras. El anillo del D de los números duales dio la oportunidad de José Grunbaum de exhibir el P ( D ) en 1906. (Ihre Anwendung del und de Zahlen del duale de Über en el der Geometrie", Monatsch.) En 1947 la construcción fue realizada en el H por P. Gormley, " Proyección estereográfica y el grupo fraccionario linear de transformaciones del quaternions" (Procedimientos del irlandés real 51, 67-85 de la academia, de la sección A). En 1968 números complejos del de I. Yaglom en geometría apareció en inglés, traducido de ruso, en donde él utiliza el P ( D ) para describir la línea geometría en el plano y el euclidianos P ( M ) para describirlo para el plano de Lobachevski. El del texto de Yaglom una geometría No-Euclidiana simple apareció en inglés en 1979. Allí en las páginas 174 a 200 él desarrolla la geometría de Minkowskian del y describe el P ( M ) como el " plane" inversivo de Minkowski;. La original rusa del texto de Yaglom fue publicada en 1969. Entre las dos ediciones, Gualterio Benz (1973) publicó el der Algebren de Geometrie del über de Vorlesungen del que incluyó los coordenadas homogéneos tomados del M .| Random links: | Roca solitaria, Iowa | Prueba de después del coito | Parry de Richard (músico) | Shan Hai Jing | Alimento y bebida en Birmingham, Inglaterra |