En el cálculo del vector, el gradiente de un campo escalar es un campo de vector que señala en la dirección del coeficiente de incremento más grande del campo escalar, y cuya magnitud es el índice de cambio más grande.

Una generalización del gradiente, para las funciones en un espacio de Banach que tienen valores vectoriales, es el Jacobian .

Interpretaciones del gradiente

Considerar un cuarto en el cual la temperatura sea dada por un $\backslash \; phi$ del campo escalar, así que en cada $del\; punto\; (x,\; y,\; z)$ la temperatura es $\backslash \; la\; phi\; (x,\; y,\; z)$ (asumiremos que la temperatura no cambia a tiempo). Entonces, en cada punto en el cuarto, el gradiente en ese punto demostrará la dirección en la cual las subidas de temperatura lo más rápidamente posible. La magnitud del gradiente determinará cómo rápidamente las subidas de temperatura de esa dirección.

Considerar una colina cuya altura sobre nivel del mar en un $del\; punto\; (x,\; y)$ es el $H\; (x,\; y)$. El gradiente de $H$ en un punto es un vector que señala en la dirección de la cuesta más escarpada o el grado en ese punto. La inclinación de la cuesta en ese punto es dada por la magnitud del vector del gradiente.

El gradiente se puede también utilizar para medir cómo un campo escalar cambia en otras direcciones, algo que apenas la dirección del cambio más grande, tomando un producto de punto . Considerar otra vez el ejemplo con la colina y suponer que la cuesta más escarpada en la colina es el 40%. Si un camino va directo encima de la colina, después la cuesta más escarpada en el camino también será el 40%. Si en lugar de otro, el camino circunda la colina en ángulo con la dirección ascendente (el vector del gradiente), después tendrá una cuesta más baja. Por ejemplo, si el ángulo entre el camino y la dirección ascendente, proyectados sobre el plano horizontal, es 60°, después la cuesta más escarpada a lo largo del camino será el 20% que es tiempos del 40% el coseno de 60°.

Esta observación se puede indicar matemáticamente como sigue. El gradiente de la función $H$ punteado de la altura de la colina con un vector de la unidad da la cuesta de la colina en la dirección del vector. Esto se llama el derivado direccional .

Definición formal

El campo del gradiente (o de vector de gradiente) de un $f\; de\; la\; función\; escalar\; (x)$ con respecto a un $x\; variable\; del\; vector\; =\; (x\_1,\; \backslash \; los\; puntos,\; x\_n)$ es denotado por el $\backslash \; el\; nabla\; f$ o el $\backslash \; el\; vec\; \{\backslash \; nabla\}\; f$ donde el $\backslash \; nabla$ (el símbolo de Nabla) denota a operador diferenciado del vector, Del . El $de\; la\; notación\; \backslash \; el\; operatorname\; \{graduado\}\; (f)$ también se utiliza para el gradiente.

Por definición, el gradiente es un campo de vector cuyos componentes son los derivados parciales de $f$. Eso es: = \ dejado (\, \ puntea del $\backslash \; del\; nabla\; del\; f\; del\; frac\; \{\backslash \; f\; parcial\}\; \{\backslash \; x\_1\; parcial\},\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; f\; parcial\}\; \{\backslash \; x\_n\; parcial\}\; \backslash \; derecho).$ (Aquí el gradiente se escribe como vector de fila, pero se toma a menudo para ser un vector de la columna; observar también que cuando una función tiene un componente del tiempo, el gradiente se refiere a menudo simplemente al vector de sus derivados espaciales solamente.)

El _x del $del\; producto\; de\; punto\; (\backslash \; nabla\; f)\; \backslash \; el\; cdot\; v$ del gradiente en un x del punto con un v del vector da a el derivado direccional del f en el x en el v de la dirección. Sigue que el gradiente del f es el ortogonal a los sistemas del nivel f . Esto también demuestra que, aunque el gradiente fuera definido en términos de coordenadas, es realmente las transformaciones ortogonales inferior invariante como debe ser, debido a la interpretación geométrica dada arriba.

Porque el gradiente es ortogonal nivelar sistemas, puede ser utilizado para construir un normal del vector a una superficie. Considerar cualquier múltiple que sea una dimensión menos que el espacio que está adentro (es decir, una superficie en 3D, una curva en 2. Dejar este multíple ser definido por un F ( x, y, z ) de la ecuación e. = 0 (es decir, movimiento todo a un lado de la ecuación). Ahora hemos dado vuelta al múltiple en un sistema del nivel. Para encontrar un vector normal, necesitamos simplemente encontrar el gradiente del F de la función en el punto deseado.

El gradiente es un campo de vector irrotacional y la línea integrales a través de un campo del gradiente es independiente de la trayectoria y se puede evaluar con el teorema del gradiente. Inversamente, un campo de vector irrotacional en una región simplemente conectada es siempre el gradiente de una función.

Expresiones para el gradiente en 3 dimensiones

La forma del gradiente depende del sistema coordinado usado.

En los coordenadas cartesianos, la expresión antedicha se amplía a $del$

l \ nabla f (x, y, z) = \ comienza {pmatrix} {\ frac {\ f parcial} {\ x parcial}}, {\ frac {\ f parcial} {\ y parcial}}, {\ frac {\ f parcial} {\ z parcial}} \ extremo {pmatrix}

En los coordenadas cilíndricos : $del$

l \ nabla f (\, de rho \ la theta, z) = \ comienza {pmatrix} {\ frac {\ f parcial} {\ parcial \ rho}}, {\ frac {1} {\} \ frac {\ f parcial} de rho {\ parcial \ theta}}, {\ frac {\ f parcial} {\ z parcial}} \ extremo {pmatrix}

(donde está el $\backslash \; theta$ el ángulo y el $z$ azimutales es el coordenada axial).

En los coordenadas esféricos : el $del$

l \ el nabla f (r, \, \ phi de la theta) = \ comienzan {pmatrix} {\ frac {\ f parcial} {\ r parcial}}, {\ frac {1} {} \ frac {\ f parcial} de r {\ parcial \ theta}}, {\ frac {1} {r \} \ frac {\ f parcial} del pecado \ de la theta {\ parcial \ phi}} \ extremo {pmatrix}

(donde está el ángulo del acimut y $el$ \backslash \; theta$\backslash \; phi$ es el ángulo del zenit ).

Ejemplo

Por ejemplo, el gradiente de la función en el $f\; cartesiano\; del\; de\; los\; coordenadas\; (x,\; y,\; z)=\; \backslash \; 2x+3y^2-\; \backslash \; pecado\; (z)$ es: el $del\; \backslash \; el\; f=\; del\; nabla\; \backslash \; comienzan\; \{pmatrix\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; f\; parcial\}\; \{\backslash \; x\; parcial\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; f\; parcial\}\; \{\backslash \; y\; parcial\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; f\; parcial\}\; \{\backslash \; z\; parcial\}\}\; \backslash \; extremo\; \{pmatrix\}\; =\; \backslash \; comenzar\; \{el\; pmatrix\}\; \{2\},\; \{6y\},\; \{-\; \backslash \; lechuga\; romana\; (z)\}\; \backslash \; extremo\; \{pmatrix\}.$ ¡

El gradiente y el derivado o el diferencial

Aproximación linear a una función

El gradiente de un $f$ de la función del $\backslash \; del\; mathbb\; \{R\}\; ^n$ del espacio euclidiano al $\backslash \; al\; mathbb\; \{R\}$ en cualquier particular x ₀ del punto en el $\backslash \; el\; mathbb\; \{R\}\; ^n$ caracteriza la aproximación linear del mejor a el f en el x ₀. La aproximación es como sigue:

$f\; (x)\; \backslash \; aproximadamente\; f\; (x\_0)\; +\; (\backslash \; nabla\; f)\; \_\; \{x\_0\}\; \backslash \; cdot\; (x-x\_0)$ para $x$ cerca de $x\_0$, donde está el gradiente el _ del $(\backslash \; nabla\; f)\; \{x\_0\}$ del f computado en $x\_0$, y del punto denota el producto de punto en el $\backslash \; el\; mathbb\; \{R\}\; ^n$. Esta ecuación es equivalente a los primeros dos términos en la extensión multivariable de la serie de Taylor del f en el x ₀.

El diferencial o el derivado (del exterior)

La mejor aproximación linear a un $f\; de\; la\; función:\; \backslash \; el\; ^n\; del\; mathbb\; \{R\}\; \backslash \; \backslash \; mathbb\; \{R\}$ en un punto $x$ en el $\backslash \; el\; mathbb\; \{R\}\; ^n$ es un mapa linear del $\backslash \; del\; mathbb\; \{R\}\; ^n$ al $\backslash \; al\; mathbb\; \{R\}$ que es denotado a menudo por el $\backslash \; el\; mathrm\; \{d\}\; f\_x$ o el $Df\; (x)$ y llamó el ''' el ''' diferenciado o el ''' derivado del ''' (''' ''' total) de $f$ en $x$. El gradiente por lo tanto es relacionado con el diferencial por el _x \ el cdot v del $del\; de\; la\; fórmula\; (\backslash \; nabla\; f)\; =\; \backslash \; el\; f\_x\; del\; mathrm\; d\; (v)$ para cualquie $v\; \backslash \; en\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^n$. El $de\; la\; función\; \backslash \; el\; mathrm\; \{d\}\; f$, que traza $x$ al $\backslash \; al\; mathrm\; \{d\}\; f\_x$, se llama el derivado exterior del diferencial o de $f$ y es un ejemplo de una forma del diferencial 1.

Si el $\backslash \; el\; mathbb\; \{R\}\; ^n$ se ve como el espacio (longitud $n$) de los vectores de la columna (de números verdaderos), después uno puede mirar el $\backslash \; el\; mathrm\; \{d\}\; f$ como el $del\; del\; vector\; de\; fila\; \backslash \; =\; \backslash \; a\; la\; izquierda\; (\backslash ,\; \backslash \; puntea\; del\; mathrm\; \{d\}\; f\; del\; frac\; \{\backslash \; f\; parcial\}\; \{\backslash \; x\_1\; parcial\},\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; f\; parcial\}\; \{\backslash \; x\_n\; parcial\}\; \backslash \; derecho)$ de modo que f_x del $\backslash \; del\; mathrm\; \{d\}\; (v)$ es dado por la multiplicación de la matriz. El gradiente es entonces el vector correspondiente de la columna, = \ mathrm {d} f^T es decir, del $\backslash \; del\; nabla\; f.$

La covariación del gradiente

El diferencial es más natural que el gradiente porque es invariante bajo todas las transformaciones coordinadas (o Diffeomorphisms, mientras que el gradiente es solamente transformaciones ortogonales inferiores invariantes (debido a el uso implícito del producto de punto en su definición). Debido a esto, es común empañar la distinción entre los dos conceptos usar la noción de la covariante y de los vectores contravariant . Desde este punto de vista, los componentes del gradiente transforman covariantly bajo cambios de coordenadas, así que se llama un campo de vector de la covariante, mientras que los componentes de un campo de vector en el sentido generalmente transforman contravariantly. En esta lengua el del gradiente es el diferencial, pues un campo de vector de la covariante es la misma cosa que una forma del diferencial 1.

Desafortunadamente esta lengua confusa es confundida más lejos por convenciones de diferenciación. Aunque los componentes de una forma del diferencial 1 transformen covariantly bajo transformaciones coordinadas, el diferencial 1 se forma transforma contravariantly (por la retirada) debajo de diffeomorphism. Para este el diferencial 1 de la razón las formas se dicen a veces para ser contravariant algo que covariante, en este caso los campos de vector son covariante algo que contravariant.

El gradiente en los múltiples Riemannian

Para cualquier función lisa f en un múltiple Riemannian ( M, g ), el gradiente del f es el $del\; campo\; de\; vector\; \backslash \; el\; nabla\; f$ tales que para cualquier campo de vector $X$, $g\; del\; (\backslash \; nabla\; f,\; X)\; =\; \backslash ,\; \backslash \; qquad\; \backslash \; texto\; \{es\; decir,\}\; \backslash \; g\_x\; del\; partial\_X\; f\; del\; patio\; ((\backslash \; nabla\; f)\; \_x,\; X\_x)\; =\; (\backslash \; partial\_X\; f)\; (x)$ donde el $g\_x\; (\backslash ,\; \backslash \; cdot\; del\; cdot)$ denota el producto interno de los vectores de la tangente en el x definidos por el métrico g y $\backslash \; partial\_X\; f$ ( a veces denotado X ( f )) es la función que toma cualquier &isin del x del punto; M al derivado direccional f en el X de la dirección, evaluado en el x . Es decir en un $\backslash \; varphi$ de la carta del coordenada de un subconjunto abierto del M a un subconjunto abierto del n , $deldel\; R\; (\backslash \; partial\_X\; f)\; (x)$ se da cerca: $del\; \backslash \; ^n\; X^\; del\; sum\_\; \{j=1\}\; \{j\}\; (\backslash \; varphi\; (x))\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\}\; \{\backslash \; x\_\; parcial\; \{j\}\}\; (f\; \backslash \; circ\; \backslash \; varphi^\; \{-\; 1\})\; \backslash \; grande|\_\; \{\backslash \; varphi\; (x)\},$ donde el j del del X denota el componente del th del j del X en este coordinado trazar.

Generalizando el M del caso = el n del ^{del R, el gradiente de una función se relaciona con su derivado exterior, desde $(\backslash \; partial\_X\; f)\; (x)\; =\; df\_x\; (X\_x)$. Más exacto, el $del\; gradiente\; \backslash \; el\; nabla\; f$ es el campo de vector asociado al f de la forma d del diferencial 1 usar el $\backslash \; el\; sharp=\; \backslash \; el\; sharp^g\; \backslash \; los\; dos\; puntos\; musicales\; T^*M\; delisomorfismo\backslash \; a\; TM$ (llamado " sharp") definido por el métrico g . La relación entre el derivado exterior y el gradiente de una función en el n} del ^{del R es un caso especial de esto en el cual el métrico es el métrico plano dado por el producto de punto.}

Ver también

style=" del
Pendiente del gradiente
Enrollamiento
Divergencia
Operador de Laplace
Gradiente electroquímico
Nivel determinado
Isomorfismo musical
Nabla
Sobel
Grado (cuesta)
Cuesta
Gradiente superficial