En la álgebra del extracto, un grupo es un determinado con una operación binaria que satisfaga ciertos axiomas, detallada abajo. Por ejemplo, el sistema de números enteros con la adición es un grupo. La rama de las matemáticas que llaman los grupos de estudio la teoría de grupo .

Muchas de las estructuras investigadas en la producción de las matemáticas para ser grupos. Éstos incluyen sistemas de numeración familiares, tales como los números enteros los números racionales los números verdaderos y los números complejos bajo adición, así como los números racionales diferentes a cero, reals, y los números complejos, bajo multiplicación. Otros ejemplos importantes son el grupo de las matrices no singulares bajo multiplicación y el grupo de las funciones inversibles bajo composición . La teoría de grupo permite las características de tales estructuras ser investigada en un ajuste general.

La teoría de grupo tiene usos extensos en matemáticas, ciencia, y la ingeniería. Muchas estructuras algebraicas tal como campos y espacios de vector se pueden definir sucinto en términos de grupos, y la teoría de grupo proporciona una herramienta importante para estudiar la simetría, desde las simetrías de cualquier forma del objeto al grupo. Los grupos son así abstracciones esenciales en las ramas de la física que implican principios de la simetría, tales como relatividad, mecánicos de Quantum, y física de partícula . Además, su capacidad de representar transformaciones geométricas encuentra usos en la química, los gráficos de computadora, y otros campos.

Historia

considera también:

theory#History del grupo

Definición

Un grupo ( G, *) es un determinado G con una operación binaria * que satisfaga los cuatro axiomas siguientes : encierro

l : Para todo el un, b en el G, el resultado del un * el b está también en el G .
Associativity : Para todo el un, el b y el c en el G, ( un * b ) * c = un * ( b * c ). elemento de identidad del
: Existe un e del elemento en el G tales que para todo el un en el G, e * = un * el e = un . elemento inverso del
: Para cada un en el G, allí existe un b del elemento en el G tales que un * b = el b * = el e, donde está un elemento el e de identidad.

Algunos textos omiten el requisito explícito del encierro, puesto que el encierro del grupo sigue de la definición de una operación binaria .

Usar la característica del elemento de identidad, puede ser demostrado que un grupo tiene exactamente un elemento de identidad. Ver el la prueba abajo.

Lo contrario de un elemento se puede también demostrar para ser único, y la izquierda y derecho-lo contrario de un elemento son igual. Algunas definiciones son así levemente más estrechas, substituyendo los segundos y terceros axiomas con el concepto de un " element" de la identidad izquierda (o correcta); y un " element." inverso izquierdo (o derecho);

Un grupo ( G, *) es a menudo simplemente denotado el G donde no hay ambigüedad en cuál es la operación.

Conceptos básicos en teoría de grupo

Pedido de grupos y de elementos

La pedido del de un G del grupo, denotada generalmente cerca | G | o de vez en cuando al lado de o ( G ), está el número de elementos en el G del sistema. Si la orden no es finita, después el grupo es un grupo infinito del, denotado | G |  =  ∞.

La pedido del de un del elemento un en un G del grupo es el menos positivo n del número entero tales que el aⁿ  =  e, donde está multiplicación el aⁿ del al por sí mismo el n mide el tiempo (o la otra composición conveniente dependiendo del operador del grupo). Si existe ningún tal n, después la pedido del un reputa infinito.

Subgrupos

Un H del sistema es un subgrupo del de un G del grupo si es un subconjunto G y un grupo usar la operación definida en el G . Es decir el H es un subgrupo de (el G, *) si la restricción de * al H es una operación del grupo en el H .

Si el G es un grupo finito, después está tan el H . Además, la pedido H divide la pedido del G (teorema de Lagrange).

Grupos abelianos

Un grupo $G$ reputa el ''' abeliano del ''', o el ''' comutativo del ''', si la operación satisface la ley comutativa. Es decir, para todo el $a$ y $b$ en $G$, $a*b=b*a$. Si no, llaman el grupo el no-abeliano. El " conocido; abelian" viene noruego Niels Abel del matemático.

Grupos cíclicos

Un grupo cíclico del es un grupo cuyos elementos pueden ser generados por la composición sucesiva de la operación que define al grupo que es aplicado a un solo elemento de ese grupo. Este solo elemento se llama el generador o el elemento primitivo del grupo.

Un grupo cíclico multiplicativo en el cual el G es el grupo, y el un es el generador:

= \ {del $G\; a^n\; \backslash \; mediados\; de\; n\; \backslash \; en\; \backslash \; Z\; \backslash \}$

Un grupo cíclico aditivo, con el del generador un :

= \ {del $G\; n\; \backslash \; cdot\; a\; \backslash \; mediados\; de\; n\; \backslash \; en\; \backslash \; Z\; \backslash \}$

Si la composición sucesiva de la operación que define al grupo se aplica a un elemento no-primitivo del grupo, se genera un subgrupo cíclico . La orden del subgrupo cíclico divide la orden del grupo. Así, si la orden de un grupo es el primero, todos sus elementos, excepto la identidad, son los elementos primitivos del grupo.

Es importante observar que un grupo contiene todos los subgrupos cíclicos generados por cada uno de los elementos en el grupo. Sin embargo, un grupo construido de subgrupos cíclicos es sí mismo no no necesario un grupo cíclico. Por ejemplo, un grupo de Klein no es un grupo cíclico aunque lo construyen a partir de dos copias del grupo cíclico de la orden 2.

Notación para los grupos

Los grupos pueden utilizar diversa notación dependiendo del contexto y de la operación del grupo.
Uso aditivo de los grupos + denotar la adición, y el signo de menos - de denotar lo contrario. Por ejemplo, + (- un ) = 0 en el Z .
Uso multiplicativo de los grupos *, $\backslash \; cdot$, o el $más\; general\; \backslash \; circ$ del símbolo de la “composición” de denotar la multiplicación, y el exponente ^-1 para denotar lo contrario. Por ejemplo, un * un ^-1 = 1. Es muy común caer * y apenas escribir el aa ^-1 en lugar de otro.
Uso de los grupos de la función • para denotar la composición de la función, y el exponente ^-1 para denotar lo contrario. Por ejemplo, g • g ^-1 = e . Es muy común caer • y apenas escribir el gg^-1 en lugar de otro.

La omisión de un símbolo para una operación es generalmente aceptable, y la deja al lector para saber el contexto y la operación del grupo.

Al definir a grupos, es la notación estándar para utilizar paréntesis en la definición del grupo y de su operación. Por ejemplo, (el H, +) denota que el H del sistema es un grupo bajo adición. ¡ \ el mathbb {H} , los quaternions? --¡> para los grupos tener gusto (el Z _n, +) y (F_n*, *) , es común caer paréntesis y la operación, e. Z _{n y Fn*. Está también correcto referir a un grupo por su identificador del sistema, e. H o $\backslash \; Z$, o definir al grupo en la notación del Fijar-constructor.}

El e del elemento de identidad se conoce a veces como el " elemento neutral, " y es denotado a veces por un cierto otro símbolo, dependiendo del grupo:
En grupos multiplicativos, el elemento de identidad se puede denotar por 1.
En grupos de la matriz inversible, el elemento de identidad es denotado generalmente por el I.
En grupos aditivos, el elemento de identidad se puede denotar por 0.
En grupos de la función, el elemento de identidad es denotado generalmente por f₀.

Si el S es un subconjunto del G y del x un elemento del G, después, en la notación multiplicativa, el xS del es el sistema de todos los productos {xs del : s en el S }; semejantemente el Sx de la notación = {sx del : s en el S }; y para el S de dos subconjuntos y el T del G, escribimos ST del para {st del : s en el S, el t en el T }. En la notación aditiva, escribimos el x + el S, S + el x, y el S + el T para los sistemas respectivos (véase el Cosets ).

Ejemplos de grupos

considera también: Ejemplos de los grupos, lista del pequeño

los grupos

Grupo trivial

Un grupo trivial del es un grupo que consiste en un solo elemento. Todos tales grupos son isomorfos así que uno habla a menudo de a grupo trivial de . El solo elemento del grupo trivial, vario etiquetado el e, 1, o 0, es el elemento de identidad . La operación del grupo es el e + el e = el e .

Un grupo abeliano: los números enteros bajo adición

Un grupo familiar es el grupo de los números enteros bajo adición . Dejar el Z ser el sistema de números enteros, {…, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4,…}, y dejar el " del símbolo; +" indicar la operación de la adición. Entonces ( Z, +) está un grupo.

Prueba:
Encierro : Si el un y el b son de los números enteros entonces + el b es un número entero.
Associativity : Si el un, el b, y el c son números enteros, entonces ( + el b ) + el c = + (el b + el c ).
Elemento de identidad del : 0 es un número entero y para cualquier del número entero un, 0 + = + 0 = un .
Elementos inversos : Si el un es un número entero, después el del − del número entero un satisface las reglas inversas: + ( del − un ) = ( del − un ) + = 0.

Este grupo es también abeliano porque + el b = el b + un .

Si ampliamos este ejemplo más lejos considerando los números enteros con la adición y la multiplicación, forma una estructura algebraica más complicada llamada un anillo . (Pero, observar que los números enteros con multiplicaciones son el no al grupo.)

Un grupo abeliano: los números enteros diferentes a cero bajo modulo P de la multiplicación una prima

Los números enteros diferentes a cero bajo modulo p de la multiplicación una forma primera al grupo. La única característica no trivial del grupo a probar es que cada elemento tiene lo contrario. Dejar un est al número entero diferente a cero no igual a uno. Cualquier número entero diferente a cero que p divida los iguales cero debajo de a*a de la MOD P. de la multiplicación no puede igualar a o p dividirá el A. Si el a*a iguala uno, hemos encontrado que hacen lo contrario y nos. Si el a*a no iguala uno, después el a*a*a no puede igualar a o el a*a o p dividirá otra vez el A. que nos continúa de este modo puede construir a*a*a… las épocas hasta un p-2. Si hemos alcanzado esto lejos, el a*a*a… las épocas un p-1 igualará uno pues no hay números que los tiempos de a*a*a.*a p-1 pueden igualar.

Grupos multiplicativos cíclicos

En el caso de un multiplicativo G del grupo cíclico, todo el aⁿ de los elementos del grupo es generado por el sistema de todas las exponenciaciones del número entero de un elemento primitivo de ese grupo:

= \ {del $G\; a^n\; \backslash \; mediados\; de\; n\; \backslash \; en\; \backslash \; Z\; \backslash \; pmod\; \{\}\; \backslash \}\; de\; m\; \backslash \; en\; \backslash \; Z$

En este ejemplo si el un es 2 y la operación es el operador matemático de la multiplicación, entonces G = $\backslash \; \{.,\; 2^\; \{-\; 2\},\; 2^\; \{-\; 1\},\; 2^0,\; 2^1,\; 2^2,\; 2^3.\; \backslash \}$ = $\backslash \; \{.\; El\; m\; del\; modulo\; puede\; atar\; al\; grupo\; en\; unsistema\; finitocon\; un\; sistema\; no-fraccionario\; de\; elementos,\; desde\; el\; inverso\; (y\; el$ x^\; \{-\; 2\}$,\; etc.)\; estaría\; dentro\; del\; sistema.$

no al grupo: los números enteros bajo multiplicación

Por una parte, si consideramos los números enteros con la operación de la multiplicación, denotado por el " ·", entonces ( Z ,·) no es un grupo. Satisface la mayor parte de los axiomas, pero no puede tener lo contrario:
Encierro : Si el un y el b son de los números enteros entonces al · el b es un número entero.
Associativity : Si el un, el b, y el c son números enteros, entonces ( un · b ) · c = un · ( b · c ).
Elemento de identidad del : 1 es un número entero y para cualquier del número entero un, 1 · = un · 1 = un .
Sin embargo, es el no verdad que siempre que el un sea un número entero, hay un b del número entero tales que el ab = los vagos del = 1. por ejemplo, = 2 es un número entero, pero la única solución al ab de la ecuación = 1 en este caso es b el = 1/2 . No podemos elegir el b el = 1/2 porque el 1/2 no es un número entero. (El del elemento inverso falla )

Desde no cada elemento de ( Z ,·) tiene lo contrario, (el Z ,·) está el no al grupo. Es, sin embargo, un monoide comutativo, que es una estructura similar a un grupo pero no requiere elementos inversos.

Un grupo abeliano: los números racionales diferentes a cero bajo multiplicación

Considerar el sistema del Q, el sistema de todas las fracciones del de los números enteros un /un b, donde están números enteros el un y el b y el b es diferente a cero, y la multiplicación de los números racionales de la operación, denotada por el " ·". Desde el 0 del número racional no tiene lo contrario multiplicativo, (el Q ,·), como ( Z ,·), no es un grupo.

Sin embargo, si en lugar de otro utilizamos el sistema de todo el diferente a cero Q de los números racionales del \ {0}, entonces ( Q \ {0},·) el hace la forma de al grupo abeliano.
El encierro, el Associativity, y los axiomas del elemento de identidad del son fáciles de comprobar y de seguir debido a las características de números enteros.
Elementos inversos : Lo contrario del un /un b es el b / un y satisface el axioma.

No perdemos el encierro quitando cero, porque el producto de dos números racionales diferentes a cero nunca es cero. Apenas como los números enteros formar un anillo, la forma de los números racionales la estructura algebraica de un campo, permitiendo las operaciones de la adición, la substracción, la multiplicación y la división.

Un grupo nonabelian finito: permutaciones de un sistema el del de

este ejemplo se toma del artículo más grande sobre el grupo Dihedral de la orden 6 Por un ejemplo más concreto de un grupo, considerar tres bloques coloreados (rojo, verde, y azul), puestos inicialmente en la orden RGB. Dejar el un ser el " de la acción; intercambiar el primer bloque y el segundo block", y dejar el b sea el " de la acción; intercambiar el segundo bloque y el tercer block".

En forma multiplicativa, tradicionalmente escribimos a xy para el " combinado de la acción; primero hacer el y, después hacer el " del x ; ; de modo que el ab sea el → BRG, es decir, " del → RBG del RGB de la acción; tomar el bloque pasado y moverlo al front". Si escribimos el e para el " dejar los bloques como ellos are" (la acción de la identidad), entonces podemos escribir las seis permutaciones determinado de tres bloques como las acciones siguientes:
e del

: → RGB DEL RGB
un : → GRB DEL RGB
b : → RBG DEL RGB
ab : → BRG DEL RGB
vagos del : → GBR DEL RGB
aba : → BGR DEL RGB

Observar que el aa de la acción tiene el → RGB del → GRB del RGB del efecto, saliendo de los bloques como eran; podemos escribir tan el aa = el e . Semejantemente,
bb del = e,
( aba ) ( aba ) = e, y
( ab ) (vagos del ) = (vagos ) ( ab ) del = e ; tan cada uno de las acciones antedichas tiene lo contrario.

Por la inspección, podemos también determinar associativity y el encierro; observar por ejemplo ese
( ab ) = un (vagos del ) = aba, y
(vagos del ) b = b ( ab ) = bab del .

Llaman este grupo el grupo simétrico en 3 letras, o el S ₃. Tiene orden 6 (o 3 el factorial), y es no-abeliano (puesto que, por ejemplo, vagos ≠ del ab del ). Puesto que el S ₃ se aumenta del básico de las acciones un y del b, decimos que el del sistema { un, b } genera él.

Más generalmente, podemos definir un grupo simétrico de todas las permutaciones de los objetos del N . El N del _{del S denota y tiene a este grupo N de la orden factorial.}

Una de las razones que los grupos de la permutación son importantes es que cada grupo finito puede ser expresado como subgrupo de un simétrico N del _{del S del grupo; este resultado es el teorema de Cayley.}

¡Teoremas simples grupo (matemáticas) -->

Un grupo tiene exactamente un elemento de identidad de . prueba del

l : Suponer que el e y el f son elementos de identidad. Entonces, por la definición de la identidad, del FE del = ef = e y también ef = FE del = f . Pero por otra parte e = f . el

l por lo tanto el elemento de identidad es único.

cada elemento tiene exactamente un lo contrario. prueba del

l : Suponer que el b y el c son lo contrario del x . Entonces, por la definición de lo contrario, de un xb del = bx del = e y xc = CX = e . Pero por otra parte:

Construir a nuevos grupos dados

Algunas maneras posibles de construir a nuevos grupos de un sistema de grupos dados:
de los subgrupos del : El encierro, bajo la operación del grupo e inversión, de cualquier subconjunto no vacío de un grupo es también un grupo.
del grupo del cociente de : Dado un grupo el de G y un el subgrupo normal de N, el grupo del cociente es el sistema de Cosets del de G/N junto con la operación () de GN ( de hN) = del ghN de .
del producto directo de : Si ( de G, *) y ( de H,•) están los grupos, después el del × H del del sistema G junto con la operación ( ₁ de g, ₁) ( ₂ de h de g, el ₂ de h) = (el ₂, ₁ del ₁* g de g de h• el ₂ de h) es un grupo. El producto directo se puede también definir con cualquier número de términos, finito o infinito, usando el producto de cartesiano y definiendo la operación coordinar-sabia.
semidirecto del producto de : Si el de N y el de H son grupos y φ : &rarr del de H; Aut ( de N) es un homomorfismo, entonces el producto semidirecto del grupo de N y de de H con respecto a φ es el grupo (× del de N; de H, *), con * definido como
: ( ₁ de n, ₁ de h) * ( ₂ de n, ₂ de h) = (&phi del ₁ de n; ( ₁) ( ₂ de h de n), ₂ del ₁ h de h)
externo directo de la suma de : La suma externa directa de una familia de grupos es el subgrupo del producto constituido por los elementos que tienen un número finito de coordenadas de la no-identidad. Si la familia es finita la suma directa y el producto son equivalentes.

Probando que un sistema es un grupo

Hay dos métodos principales en probar que un sistema es un grupo bajo cierta operación:
Probar que el sistema es un subgrupo de un grupo. Este método se refiere generalmente como el " " de la prueba del subgrupo;. Demostrar el H para ser un subgrupo del G requiere eso
# el H es un subconjunto no vacío G, es decir contiene el elemento de identidad, y
# el H es cerrado bajo misma operación que el G, es decir que para todo el un y el b en H, el ab y un ^-1 es en el H .
Probar que el sistema es un grupo usar la definición, es decir ese él satisface todo el de los axiomas sobre .

Generalizaciones

En la álgebra del extracto, conseguimos algunas estructuras relacionadas que sean similares a los grupos relajando algunos de los axiomas dados en la tapa del artículo.

si eliminamos el requisito que cada elemento tiene un inverso, después nos consigue un monoide .
Si no requerimos además una identidad, después conseguimos un semigrupo .
Alternativo, si relajamos el requisito ese la operación sea el asociativo mientras que todavía requiere la posibilidad de la división, después conseguimos un lazo .
Si no requerimos además una identidad, después conseguimos un Quasigroup .
Si no requerimos ninguna axiomas de la operación binaria en absoluto, después conseguimos un magma .

El Groupoids que son similar a los grupos salvo que al de la composición un * b no necesita ser definido para todo el un y el b, no se presenta en el estudio de clases más implicadas de simetrías, a menudo en estructuras topológicas y analíticas. Son clases especiales de las categorías .

El Supergroups y las álgebra de Hopf son otras generalizaciones.

Los grupos algebraicos de los grupos de mentira y los grupos topológicos son ejemplos de los objetos del grupo grupo-como las estructuras que se sientan en una categoría con excepción de la categoría ordinaria de sistemas.

Los grupos abelianos forman el prototipo para el concepto de una categoría abeliana, que tiene usos a los espacios de vector y más allá.

Las leyes formales del grupo son las series de energía formales de cierto que tienen características como una operación del grupo.

Zenithic

Mike Pasqualetti

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