Grupo de Coxeter - Enciclopedia España

En las matemáticas, un grupo de Coxeter del, nombrado después H. Coxeter, es un grupo del extracto que admite una descripción formal en términos de simetrías de espejo. De hecho, los grupos finitos de Coxeter son exacto los grupos de reflexión euclidianos finito los grupos de la simetría de que los poliedros regulares son un ejemplo. Sin embargo, no todos los grupos de Coxeter son finitos, y pueden ser descritos no no todo en términos de simetrías y reflexiones euclidianas.

Los grupos de Coxeter encuentran usos en muchas áreas de las matemáticas. Los ejemplos de los grupos finitos de Coxeter incluyen los grupos de la simetría de los polytopes regulares y los grupos de Weyl de ejemplos simples de las álgebra de mentira de los grupos infinitos de Coxeter incluyen los grupos del triángulo que corresponden a los tessellations regulares del plano euclidiano y del plano hiperbólico, y los grupos de Weyl de las álgebra Kac-Cambiantes infinito-dimensional

Definición

Formalmente, un grupo de Coxeter del se puede definir como grupo con la presentación $del l \ ido \ langle r_1, r_2, \ ldots, r_n \ mediados de ^ (del r_ir_j) {m_ {ij}} =1 \ derecho \ rangle$

donde ii del _{del m} = 1 e ij del del _{del m ; ≥ 2 para el j del ≠ del i . El ij} del del _{del m de la condición; = el ∞ significa que ninguna relación del m del ^{de la forma ( j}} del _{del r del i} del _{del r ) no debe ser impuesto.}

Un número de conclusiones se pueden extraer inmediatamente de la definición antedicha.
El ii del _{del m de la relación} = 1 significa eso (el i del _{del r ) ² = 1 para todo el del i ; ; los generadores son las involuciones
Si ij} del del _{del m ; = 2, entonces el j} del _{del i} y del r del _{del r de los generadores conmutan. Esto sigue observando ese del
el xx de = el yy = 1,
de junto con el del xyxy = 1
de implica ese del xy = el x y (xyxy) = el yx del (xx) (yy) = el yx del .}

Para evitar redundancia entre las relaciones, es necesario asumir ese m_ij = el m_ji . Esto sigue observando ese del
el yy de

= 1,
de junto con el m del ^{del ( xy)} = 1
de implica ese m del ^{del (yx del )} = (el yx del ) el yy del m del ^{= el y del m} del ^{del y ( xy) = el yy = 1. La matriz de Coxeter del es los × del n ; n, matriz simétrica con el m_ij de las entradas. De hecho, cada matriz simétrica con las entradas positivas del número entero y del ∞ y con 1 en los servicios diagonales para definir a un grupo de Coxeter. La matriz de Coxeter se puede codificar convenientemente por un gráfico de Coxeter del, según las reglas siguientes.
Las cimas del gráfico son etiquetadas por subíndices del generador.
El i de las cimas y el j están conectados si y solamente si el ij del del _{del m ; ≥ 3.
Un borde se etiqueta con el valor del ij} del del _{del m siempre que sea 4 o mayor. Particularmente, el de dos generadores conmuta si y solamente si él no es conectado por un borde. Además, si un gráfico de Coxeter tiene dos o más componentes conectados el grupo asociado es el producto directo de los grupos asociados a los componentes individuales.
Un ejemplo
El gráfico en qué cimas se pone 1 directo n en una fila con cada cima conectada por un borde sin etiqueta con sus vecinos inmediatos da lugar al simétrico n +1 del _{del S del grupo ; los generadores corresponden a las transposiciones (1 2), (2 3),… (el del n n +1). Dos transposiciones non-consecutive conmutan siempre, mientras que (el del k k +1) (el del k +1 k +2) da el ciclo 3 ( del k +1 del k k +2). Por supuesto esto demuestra solamente que el S_n+1 es un grupo del cociente del grupo de Coxeter, pero no es demasiado difícil comprobar que la igualdad se sostiene.}

Grupos finitos de Coxeter
Cada grupo de Weyl se puede observar como grupo de Coxeter. El gráfico de Coxeter se puede obtener del diagrama de Dynkin substituyendo cada de dos filos por un borde etiquetado 4 y cada borde triple por un borde etiquetado 6. El ejemplo dado arriba corresponde al grupo de Weyl del sistema de la raíz de tipo A_n . Los grupos de Weyl incluyen la mayor parte de a grupos finitos de Coxeter, pero hay ejemplos adicionales también. La lista siguiente da todos los gráficos conectados Coxeter que dan lugar a grupos finitos:
Comparando esto con la lista de sistemas de la raíz simple, vemos que el B_n y el C_n dan lugar al mismo grupo de Coxeter. También, el G ₂ aparece faltar, pero está presente bajo el nombre el I ₂(6). Las adiciones a la lista son el H ₃, el H ₄, y el I ₂ ( p ).
Algunas características de los grupos finitos de Coxeter se dan en la tabla siguiente:

Grupos de la simetría de polytopes regulares
Todos los grupos de la simetría de los polytopes regulares son grupos finitos de Coxeter. El diedro agrupa que sean los grupos de la simetría de forma de los polígonos regulares el I ₂ ( p ) de la serie. El grupo de la simetría de un regular n - el a una cara es el simétrico n +1 del _{del S del grupo, también conocido como el grupo de Coxeter de tipo A_n . El grupo de la simetría del n - cubo está igual que el del n - Cruz-polytope, a saber BC_n . El grupo de la simetría regular Dodecahedron y del Icosahedron regular es el H ₃. En la dimensión 4, hay tres polytopes regulares especiales, la célula 24, la célula 120, y la célula 600. El primer tiene F ₄ del grupo de la simetría, mientras que los otros dos tienen H ₄ del grupo de la simetría.}
Los grupos de Coxeter de tipo n del _{del D, del E ₆, del E ₇, y del E ₈ son los grupos de la simetría de ciertos polytopes semiregular.}

¡Afinar a grupos de Weyl
El afina la forma de los grupos de Weyl que una segunda serie importante de Coxeter agrupa. Éstos no son finitos ellos mismos, pero cada uno contiene un subgrupo abeliano normal tales que el grupo correspondiente del cociente es finito. En cada caso, el grupo es sí mismo del cociente un grupo de Weyl, y el gráfico de Coxeter es obtenido del gráfico de Coxeter del grupo de Weyl agregando una cima adicional y uno o dos bordes adicionales. Por ejemplo, para el del n ; ≥ 2, las cimas del n +1 del gráfico que consisten en en un círculo se obtiene del A_n de esta manera, y el grupo correspondiente de Coxeter es el grupo de Weyl de la afinación del A_n . Para el del n ; = 2, éste se pueden representar como el grupo de la simetría del embaldosado estándar del plano por los triángulos equilaterales.
Una lista de los grupos de Coxeter de la afinación sigue:

Grupos hiperbólicos de Coxeter
Hay también grupos hiperbólicos de Coxeter que describen a grupos de reflexión en la geometría hiperbólica .
Órdenes parciales
Una opción de los generadores de la reflexión da lugar a un l de la función de la longitud en un grupo de Coxeter, a saber el número mínimo de aplicaciones de los generadores requeridos para expresar un elemento del grupo. Una expresión para el v usar el l (v) los generadores de son una palabra reducida del . Por ejemplo, la permutación (13) en el S₃ tiene dos palabras reducidas, (12) (23) (12) y (23) (12) (23). Usar palabras reducidas uno puede definir dos órdenes parciales en el grupo de Coxeter, la orden débil del y la orden de Bruhat del . Un v del elemento excede un u del elemento en la orden de Bruhat si una cierta (o equivalente, cualquie) palabra reducida para el v contiene una palabra reducida para el u como subsecuencia, donde se caen algunas letras (en cualquie posición). En la orden débil, ≥ u del v si una cierta palabra reducida para el v contiene una palabra reducida para el u como segmento inicial.
Por ejemplo, la permutación (1 2 3) en el S₃ tiene solamente una palabra reducida, (12) (23), cubre tan (12) y (23) en la orden pero solamente las cubiertas (12) de Bruhat en la orden débil.
Zenithic
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