En las matemáticas, el grupo de Heisenberg del del término, nombrado después Werner Heisenberg, refiere al grupo de 3× 3 matrices triangulares superiores de la forma el $del$

l \ comienza {pmatrix} de 1 y de a y de c \ \ de 0 y de 1 y de b \ \ 0 y 0 y 1 \ \ \ extremo {pmatrix}

o sus generalizaciones. El de los elementos un, b, c se puede tomar de un poco de ( arbitrario) anillo comutativo, tomado a menudo para ser el anillo de los números verdaderos o el anillo de los números enteros

El grupo verdadero de Heisenberg se presenta en la descripción de los sistemas mecánicos del quántum unidimensional. Más generalmente, uno puede considerar a grupos asociados a los sistemas dimensionales de n, y lo más generalmente posible, a cualquier espacio de vector simpléctico .

El caso tridimensional

Hay varios ejemplos prominentes del caso tridimensional.

Grupo continuo de Heisenberg

Si el un, b, c es los números verdaderos (en el R del anillo) entonces uno tiene el grupo continuo H₃ ( R ) de Heisenberg del . Es un grupo de mentira nilpotent .

Además de la representación como matricies verdaderos 3x3, el grupo continuo de Heisenberg también tiene varias diversas representaciones en términos de espacios de función por el teorema de Piedra-von Neumann, hay una representación unitaria irreducible única de H en la cual su centro actúa por un carácter no trivial dado. Esta representación tiene varias realizaciones importantes, o modelos. En el Schrödinger modelo, el grupo de Heisenberg actúa en el espacio de las funciones integrables del cuadrado . En la representación de la theta, actúa en el espacio de las funciones olomorfas en la parte superior - media - el plano ; es así que nombrado para a su conexión con las funciones de la theta

Grupo discreto de Heisenberg

Si el un, b, c es números enteros (en el Z del anillo) entonces uno tiene el grupo discreto H₃ ( Z ) de Heisenberg del . Es un grupo Nilpotent abeliano non- . Hace que el $x=\; del\; de\; dos\; generadores\; \backslash \; comience\; \{pmatrix\}\; 1\; y\; 1\; y\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; 1\; y\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; 0\; y\; 1\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; el\; extremo\; \{pmatrix\},\; \backslash \; \backslash \; y=\; \backslash \; comienza\; \{el\; pmatrix\}\; 1\; y\; 0\; y\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; 1\; y\; 1\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; 0\; y\; 1\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; extremo\; \{pmatrix\}$ y, \ xz=zx, \ yz=zy, del y^ del =xyx^ del _ del z^ del $del\; de\; las\; relaciones\; \{\}\; \{\}\; \{-\; 1\}\; \{-\; 1\}\; donde\; el$ z=\; del\; \backslash \; comienza\; \{pmatrix\}\; 1\; y\; 0\; y\; 1\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; 1\; y\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; 0\; y\; 1\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; extremo\; \{pmatrix\}$es\; el\; generador\; del\; centro\; de\; H$₃. Por el teorema de los bajos, tiene un índice de crecimiento polinómico de la orden 4.

p del modulo del grupo de Heisenberg

Si uno toma a un, el b, el c en el Z /el Z del p para un primero impar p, después uno tiene el p del del modulo del grupo de Heisenberg del . Es un grupo del p ³ de la orden con dos generadores, del x, del y y de relaciones, \ x^p=y^p=z^p=1 del y^ del =xyx^ del _ del z^ del $del$

l {} {} {- 1} {- 1} \ xz=zx, \ yz=zy.

Los análogos de los grupos de Heisenberg sobre campos finitos del primero impar p de la orden se llaman los grupos especiales adicionales o más correctamente, los grupos especiales adicionales del p del exponente . Más generalmente, si el subgrupo derivado de un grupo es en el centro el contenido Z del G del grupo, después el mapa del Z del → del G /del Z del × del G /del Z es operador bilineario sesgar-simétrico en grupos abelianos. Sin embargo, requerir que sea el G / Z un espacio de vector finito requiere el subgrupo de Frattini G ser contenida en el centro, y requerir que el Z sea un espacio de vector unidimensional sobre el Z /el Z del p requiere que el Z tenga p de la orden, así que si el G no es abeliano, después el G es extraordinariamente especial. Si el G es extraordinariamente especial pero no tiene p del exponente, después la construcción general debajo de aplicado al simpléctico G / Z del espacio de vector no rinde a grupo isomorfo al G .

Dimensiones más altas

Los grupos $H\_n$ de general Heisenberg pueden ser definidos más para dimensiones más altas en espacio euclidiano, y en los espacios de vector simplécticos el caso general más simple es más generalmente el grupo verdadero de Heisenberg del n +1 de la dimensión 2, para cualquier &ge del n del número entero; 1. Como grupo de matrices, el n de H _{(o el de H n ( R ) para indicar esto es el grupo de Heisenberg sobre el R del anillo o los números verdaderos) se define como el grupo de matrices cuadradas del n +2 del tamaño con las entradas en el R : el $del\; \backslash \; comienza\; \{bmatrix\}\; \backslash \; \backslash \; 0\; de\; 1\; y\; de\; a\; y\; de\; c\; y\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; 0\; y\; 1\; \backslash \; extremo\; \{bmatrix\}$ de I_n y de b donde está un vector el un de fila del n de la longitud, el b es un vector de la columna n de la longitud y $I\_n$ es la matriz de identidad del n del tamaño. Esto es de hecho un grupo, como es demostrado por la multiplicación: el $del\; \backslash \; comienza\; \{bmatrix\}\; 1\; y\; a\; y\; \backslash \; \backslash \; 0\; de\; c\; y\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; 0\; y\; 1\; \backslash \; extremo\; \{bmatrix\}\; \backslash \; épocas\; de\; I\_n\; y\; de\; b\; \backslash \; comienza\; \{bmatrix\}\; 1\; y\; a\; y\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; I\_n\; del\; c\; y\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; 0\; y\; 1\; \backslash \; extremo\; \{bmatrix\}\; del\; b\; =\; \backslash \; comienzan\; \{bmatrix\}\; el\; a\; de\; 1\; y\; de\; a+\; y\; \backslash \; \backslash \; 0\; del\; b\; de\; c+c\; +a\; y\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; 0\; y\; 1\; \backslash \; extremo\; \{bmatrix\}$ de I_n y de b+b y el $del\; \backslash \; comienza\; \{bmatrix\}\; 1\; y\; a\; y\; \backslash \; \backslash \; 0\; de\; c\; y\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; 0\; y\; 1\; \backslash \; extremo\; \{bmatrix\}\; \backslash \; épocas\; de\; I\_n\; y\; de\; b\; \backslash \; comienza\; \{bmatrix\}\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; I\_n\; de\; 1\; y\; -\; a\; y\; -\; de\; c\; +a\; b\; y\; -\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; 0\; y\; 1\; \backslash \; extremo\; \{bmatrix\}\; de\; b\; =\; \backslash \; comienza\; \{bmatrix\}\; 1\; y\; 0\; y\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; I\_n\; y\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; 0\; y\; 1\; \backslash \; extremo\; \{bmatrix\}.$ El grupo de Heisenberg es un conectado, el grupo de mentira Simple-conectado cuya álgebra de mentira consiste en el $del\; de\; las\; matrices\; \backslash \; comienza\; \{bmatrix\}\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; 0\; y\; 0\; \backslash \; extremo\; \{bmatrix\},$ de 0 de 0 y de a y de c y de 0_n y de b donde está un vector el un de fila del n de la longitud, el b es un vector de la columna del n de la longitud y 0 el n es la matriz cero n del tamaño. El mapa exponencial es dado por el $siguiente\; \backslash \; exp\; del\; de\; la\; expresión\; \backslash \; comienza\; \{bmatrix\}\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; 0\; y\; 0\; \backslash \; extremo\; \{bmatrix\}\; de\; 0\; de\; 0\; y\; de\; a\; y\; de\; c\; y\; de\; 0\_n\; y\; de\; b\; =\; \backslash \; ^\; del\; sum\_\; \{k=0\}\; \backslash \; infty\; \backslash \; el\; frac\; \{1\}\; \{k!\}\backslash \; comenzar\; \{bmatrix\}\; 0\; y\; a\; y\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; de\; 0\; de\; c\; y\; de\; 0\_n\; y\; de\; b\; \backslash \; ^k\; de\; 0\; y\; de\; 0\; y\; de\; 0\; \backslash \; extremo\; \{bmatrix\}\; =\; \backslash \; comienza\; \{bmatrix\}\; 1\; y\; a\; y\; c\; +\; \{1\; \backslash \; sobre\; 2\}\; \backslash \; \backslash \; 0\; de\; b\; y\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; 0\; y\; 1\; \backslash \; extremo\; \{bmatrix\}\; de\; I\_n\; y\; de\; b.$ Por dejar e1,…, el n} del e _{sea la base canónica del n del ^{del R, y el p_i del $del\; del\; ajuste\; =\; \backslash \; comienza\; \{bmatrix\}\; 0\; y\; \backslash \; \_i\; del\; operatorname\; \{e\}\; y\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; 0\_n\; y\; 0\; \backslash \; \backslash \; q\_j\; del$ del$$
de 0 y de 0 y de 0 \ extremo {bmatrix} = \ comienzan {bmatrix} 0 y 0 y 0 \ \ 0 y 0_n y \ \ del _j^ del operatorname {e} {\ mathrm {T}} \ $del$
de 0 y de 0 y de 0 \ extremo {bmatrix} z = \ comienzan {\ \ 0 y 0_n y 0 \ \ 0 y 0 y 0 \ extremo {bmatrix} del bmatrix} 0 y 0 y 1 la álgebra de mentira se puede también caracterizar por = canónico \ delta_ {ij} z del q_j del $del\; de\; las\; relaciones\; deconmutación\backslash $ patio$z\; de\; =$ del$$
0 \ patio z = 0 \ patio donde p 1., n}} , q ₁ del _{del p ., el n} , z del _{del q es generadores. Particularmente, el z es un elemento central del de la álgebra de mentira de Heisenberg. Observar que la álgebra de mentira del grupo de Heisenberg es nilpotent. El mapa exponencial de una álgebra de mentira nilpotent es un Diffeomorphism entre la álgebra de mentira y el conectado asociado único, grupo de mentira Simple-conectado .}

La discusión antedicha (aparte de las declaraciones que refieren a la dimensión y al grupo de mentira) se aplica si substituimos el R por cualquier A del anillo comutativo. El grupo correspondiente es el denotado n ( A ) de H_{. Bajo asunción adicional que la prima 2 es inversible en el A del anillo el mapa exponencial también se define, puesto que reduce a una suma finita y tiene la forma arriba (es decir el A podría ser un Z del anillo/el Z del p con un primero impar p o cualquier campo característico 0).}

En espacios de vector simplécticos

La abstracción general de un grupo de Heisenberg se construye de cualquier espacio de vector simpléctico . Por ejemplo, dejar (el V, ω) sea un espacio de vector simpléctico verdadero dimensional finito (así que ω es una forma bilinearia simétrico Nondegenerate de la posición oblicua en el V ). Heisenberg grupo H ( V ) en ( V, ω) (o simplemente V para la brevedad) es sistema V × R dotado con grupo ley

$(v\_1,\; t\_1)\; \backslash \; cdot\; (v\_2,\; t\_2)\; =\; \backslash \; a\; la\; izquierda\; (v\_1+v\_2,\; t\_1+t\_2+\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \backslash \; Omega\; (v\_1,\; v\_2)\; \backslash \; derecho).$

El grupo de Heisenberg es una extensión central aditivo V del grupo. Así allí es exacto secuencia

$0\; \backslash \; \backslash \; mathbb\; \{\}\; \backslash \; de\; R\; a\; H\; (V)\; \backslash \; a\; V\; \backslash \; a\; 0.$

Cualquier espacio de vector simpléctico admite un j, ω satisfying del n del ≤ del k ( j del _{del e, k del ≤ 1 de la base { j del del e, k de Darboux del ^{del f } del del f ) = el k del j del δ. En términos de esta base, cada vector se descompone como el $v=q^a\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_a+p\_a\; \backslash \; mathbf\; \{f\}\; ^a.$ del El del del q un y el del del p un son los coordenadas canónico conyugal .}}

Si { j del _{del e, k del ^{del f } el j del ≤ 1, el n del ≤ del k es una base de Darboux para el V, después dejar {el E } sea una base para el R, y {el j}} del _{del e, el k del ^{del f, el E } el j, n}} del ≤ _{1 del ≤ del k es la base correspondiente para el R del × del V . Un $v=q^a\; del\; del\; vector\; \backslash \; un\; mathbf\; \{e\}\; \_a+p\_a\; \backslash \; mathbf\; \{f\}\; ^a+tE$ en el H ( V ) puede ser identificado con el cuál da una representación de matriz fiel del H ( V ).}

Porque el múltiple subyacente del grupo de Heisenberg es un espacio linear, los vectores en la álgebra de mentira se pueden canónico identificar con vectores en el grupo. La álgebra de mentira del grupo de Heisenberg es dada por el $=\; \backslash \; la\; Omega\; (v\_1,\; v\_2)\; del\; dela\; relaciónde\; conmutación$ o escrito en términos de $=\; \backslash \; delta\_a^b$ del de la base de Darboux y el resto de los conmutadores desaparecen.

El isomorfismo al grupo de matrices triangulares superiores confía en una descomposición del V en una base de Darboux, que asciende a una opción del U del ⊕ del U del ≅ del V del isomorfismo *. Por medio de este isomorfismo, otra ley del grupo puede ser introducida:

) p_1, q_2, t_1 \ cdot del $((p\_2,\; q\_2,\; t\_2)\; =\; (p\_1+p\_2,\; q\_1+q\_2,\; t\_1+t\_2+p\_1\; (q\_2)).$ Aunque esta ley del grupo rinda a grupo isomorfo a el que está dado arriba, refieren al grupo con esta ley a veces como el grupo polarizado de Heisenberg como recordatorio que esta ley del grupo confía en una opción de la base (una opción de un subespacio de Lagrange del V es una polarización ).

A cualquie álgebra de mentira, hay un único conectado, simplemente conectado G del grupo de mentira . El resto de los grupos de mentira con la misma álgebra de mentira que el G están del G / N de la forma donde está un grupo el N discreto central en el G . En este caso, el centro del H ( V ) es el R y los únicos subgrupos discretos es isomorfo al Z . Así H ()/ Z del V es otro grupo de mentira que comparte esta álgebra de mentira. De nota sobre este grupo de mentira es que no admite ninguna representación dimensional finita fiel; no es isomorfo a cualquier grupo de la matriz. Sin embargo tiene una familia bien conocida de representaciones unitarias infinito-dimensionales.

La conexión con la álgebra de Weyl

El $de\; la\; álgebra\; de\; mentira\; \backslash \; el\; mathfrak\; \{h\}\; \_n$ del grupo de Heisenberg fueron descritos arriba como álgebra de mentira de matrices. Ahora aplicamos el teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt, para determinar el $\backslash \; el\; mathfrak\; universales\; \{U\}\; de\; la\; álgebra\; de\; la\; envoltura\; (\backslash \; \_n\; del\; mathfrak\; \{h\})$. Entre otras características, la álgebra universal de la envoltura es una álgebra asociativa en la cual el $\backslash \; el\; mathfrak\; \{h\}\; \_n$ injectively encaja. De Poincaré-Birkhoff-Witt, es el espacio de vector libre generado por el z^j p_1^ {k_1} p_2^ {k_2} del $del\; de\; los\; monomios\; \backslash \; p\_n^\; de\; los\; cdots\; \{k\_n\}\; q\_1^\; \{\backslash \; ell\_1\}\; q\_2^\; \{\backslash \; ell\_2\}\; \backslash \; q\_n^\; de\; los\; cdots\; \{\backslash \; ell\_n\}$ donde están todos no negativos los exponentes. Así el $\backslash \; el\; mathfrak\; \{U\}\; (\backslash \; \_n\; del\; mathfrak\; \{h\})$ consiste en el $del\; de\; los\; polinomios\; \backslash \; el\; c\_\; del\; sum\_\; \{\backslash \; el\; vec\; \{\}\; \backslash \; vec\; de\; k\; \{\backslash \; ana\}\}\; \{j\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; vec\; del\; vec\; \{k\}\; \{\backslash \; ana\}\}\; \backslash \; el\; z^j\; verdaderos\; p\_1^\; \{k\_1\}\; p\_2^\; \{k\_2\}\; del\; patio\; \backslash \; p\_n^\; de\; los\; cdots\; \{k\_n\}\; q\_1^\; \{\backslash \; ell\_1\}\; q\_2^\; \{\backslash \; ell\_2\}\; \backslash \; q\_n^\; de\; los\; cdots\; \{\backslash \; ell\_n\}$ con el p_ del p_k del $del\; de\; las\; relaciones\; de\; conmutación\; \backslash \; la\; ana\; =\; el\; p\_k\; del\; p\_\; \backslash \; de\; la\; ana,\; \backslash \; el\; q\_\; del\; q\_k\; del\; patio\; \backslash \; la\; ana\; =\; el\; q\_k\; del\; q\_\; \backslash \; de\; la\; ana,\; \backslash \; el\; q\_\; del\; p\_k\; del\; patio\; \backslash \; la\; ana\; -\; =\; \backslash \; delta\_\; \{k\; \backslash \; ana\}\; del\; p\_k\; del\; q\_\; \backslash \; de\; la\; ana\; z,\; \backslash \; p\_k\; del\; patio\; z\; -\; p\_k\; z\; =0,\; \backslash \; q\_k\; del\; patio\; z\; -\; q\_k\; z\; =0$

el $\backslash \; el\; mathfrak\; \{U\}\; (\backslash \; \_n\; del\; mathfrak\; \{h\})$ es estrechamente vinculados a la álgebra de operadores diferenciados en el n del <sup>del R con coeficientes polinómicos, puesto que cualquier operador tiene una representación única en la forma:

$P\; =\; \backslash \; sum\_\; \{\backslash \; vec\; \{\}\; \backslash \; vec\; de\; k\; \{\backslash \; ana\}\}\; c\_\; \{\backslash \; vec\; \{k\}\; \backslash \}\; \backslash \; ^\; del\; patio\; del\; vec\; \{\backslash \; ana\}\; \backslash \; del\; partial\_\; \{x\_1\}\; \{k\_1\}\; \backslash \; ^\; del\; partial\_\; \{x\_2\}\; \{k\_2\}\; \backslash \; cdots\; \backslash \; ^\; del\; partial\_\; \{x\_n\}\; \{k\_n\}\; x\_1^\; \{\backslash \; ell\_1\}\; x\_2^\; \{\backslash \; ell\_2\}\; \backslash \; x\_n^\; de\; los\; cdots\; \{\backslash \; ell\_n\}$ Esta álgebra se llama la álgebra de Weyl. Sigue del absurdo del extracto que el W_n de la álgebra de Weyl es un cociente del $\backslash \; del\; mathfrak\; \{U\}\; (\backslash \; \_n\; del\; mathfrak\; \{h\})$. Sin embargo, esto también fácil ver directo de las representaciones antedichas; viz, por trazando

$z^j\; p\_1^\; \{k\_1\}\; p\_2^\; \{k\_2\}\; \backslash \; cdots\; p\_n^\; \{k\_n\}\; q\_1^\; \{\backslash \; ell\_1\}\; q\_2^\; \{\backslash \; ell\_2\}\; \backslash \; cdots\; q\_n^\; \{\backslash \}\; \backslash \; ^\; del\; rightarrow\; del\; ell\_n\; \backslash \; del\; partial\_\; \{x\_1\}\; \{k\_1\}\; \backslash \; ^\; del\; partial\_\; \{x\_2\}\; \{k\_2\}\; \backslash \; cdots\; \backslash \; ^\; del\; partial\_\; \{x\_n\}\; \{k\_n\}\; x\_1^\; \{\backslash \; ell\_1\}\; x\_2^\; \{\backslash \; ell\_2\}\; \backslash \; x\_n^\; de\; los\; cdots\; \{\backslash \; ell\_n\}.$</sup>

Opinión de Weyl los mecánicos de quántum el del de

considera la cuantificación principal de Weyl del artículo. El uso que ése llevó el Hermann Weyl a una introducción explícita del grupo de Heisenberg era la cuestión de porqué el cuadro de Schrödinger y el cuadro de Heisenberg son físicamente equivalentes. Hay abstracto una buena explicación: el H_n del grupo es una extensión central 2n del del R al lado de una copia del R, y pues tal es un producto semidirecto . Su teoría de la representación es relativamente simple (un caso especial de la teoría posterior de Mackey), y particularmente hay un resultado de la unicidad para las representaciones unitarias con la acción dada del z del elemento central (en la álgebra de mentira) o del subgrupo del uno-parámetro que crea debajo del mapa exponencial, que es la extensión central. Esta unicidad abstracta explica la equivalencia de los dos cuadros físicos.

El mismo resultado de la unicidad fue utilizado por el David Mumford para los grupos discretos de Heisenberg, en su teoría de las variedades abelianas . Ésta es una generalización grande del acercamiento usado en las funciones elípticas de Jacobi, que es el caso del grupo de Heisenberg del modulo 2, de la orden 8. El caso más simple es la representación de la theta del grupo de Heisenberg, cuyo el caso discreto da la función de la theta.

El grupo de Heisenberg también ocurre en el análisis de Fourier, donde se utiliza en algunas formulaciones del teorema de Piedra-von Neumann. En este caso, el grupo de Heisenberg puede ser entendido para actuar en el espacio de las funciones integrables del cuadrado ; el resultado es una representación de los grupos de Heisenberg a veces llamados la representación de Weyl.

Como múltiple secundario-Riemannian

El tridimensional H ₃ ( R ) del grupo de Heisenberg en los reals se puede también entender para ser un múltiple liso, y específicamente, un ejemplo simple de un múltiple Secundario-Riemannian . Dado un p del punto = (el x, el y, el z ) en el R ³, definen un &Theta diferenciado de la forma 1; a este punto como $\backslash \; Theta\_p=dz\; del$

l - \ frac {1} {2} \ dejó (xdy - ydx \ derecho) .

Esta Uno-forma pertenece al paquete de la cotangente del R ³; es decir, $\backslash \; Theta\_p\; del$

l : T_p \ mathbb {R} ^3 \ \ mathbb {R}

es un mapa en el paquete de la tangente. Dejado = \ {del $H\_p\; del$

l v \ en T_p \ el mathbb {R} ^3 \; s. \; \; \ Theta_p (v) = 0 \}

Puede ser visto que el H es un Subbundle del R ³ de T del paquete de la tangente. Un Cometric en el H es dado proyectando vectores al espacio de dos dimensiones atravesado por vectores en la dirección del x y del y . Es decir, el $v=\; dado\; de\; los\; vectores\; (v\_1,\; v\_2,\; v\_3)$ y el $w=\; (w\_1,\; w\_2,\; w\_3)$ en el R ³ de T, el producto interno se da cerca $del$

l \ langle v, w \ rangle = v_1w_1+v_2w_2

La estructura resultante da vuelta al H en el múltiple del grupo de Heisenberg. Un marco ortonormal en el múltiple es dado por los campos de vector de la mentira del
$X=\; \backslash \; del\; frac\; \{\backslash \; parcial\}\; del$

- \ frac {1} {2} y \ frac {\ parcial} {\ x parcial} {\ z parcial} del
$Y=\; \backslash \; del\; frac\; \{\backslash \; parcial\}\; del$

+ \ frac {1} {2} x \ frac {\ parcial} {\ y parcial} {\ z parcial} $Z=\; del$

l \ frac {\ parcial} {\ z parcial}

cuáles obedecen las relaciones = el Z y ==0. Siendo campos de vector de la mentira, éstos formar una base izquierdo-invariante para la acción de grupo. La geodesia en el múltiple es espirales, proyectando abajo a los círculos en dos dimensiones. Es decir, si $del$

l \ gamma (t)= (x (t), y (t), z (t))

es una curva geodésica, después el $c\; de\; la\; curva\; (t)=\; (x\; (t),\; y\; (t))$ es un arco de un círculo, y

$z\; (t)=\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \backslash \; int\_c\; xdy-ydx$

con el integral limitado al plano de dos dimensiones. Es decir, la altura de la curva es proporcional al área del círculo subtendido por el arco circular, que sigue por el alimentó el teorema .

Ver también

Distribución de la cuasi-probabilidad de Wigner

.

Zenithic

Manuel Salazar y Baquíjano

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