En las matemáticas, un grupo de Kleinian del, nombrado después Felix Klein, es un &Gamma discreto finito generado del grupo ; de la orientación que preserva mapas conformales (es decir angle-preserving) de la bola de unidad abierta $B^3$ en el $\backslash \; el\; mathbb\; \{R\}\; ^3$ a sí mismo. Algunos matemáticos ampliar a grupos de Kleinian de la definición para permitir la orientación que invierte mapas conformales.

Considerando el límite de la bola, un grupo de Kleinian puede también ser definido como &Gamma del subgrupo; del PGL ₂ ( C ), el grupo linear descriptivo complejo, que actúa por las transformaciones de Möbius en la esfera de Riemann . Clásico, requirieron a un grupo de Kleinian actuar correctamente discontinuo en un abierto el subconjunto de la esfera de Riemann, pero el uso moderno permite a cualquier subgrupo discreto.

Cuando Γ es isomorfo al $fundamental\; \backslash \; pi\_1$ del grupo de un 3 multíples hiperbólicos, después el espacio de cociente $H^3/\backslash \; Gamma$ se convierte en un Kleinian modelo del múltiple. Muchos autores utilizan el Kleinian el grupo modelo de Kleinian de de los términos y del alternativamente, dejando el un soporte para el otro.

El Discreteness implica puntos en $B^3$ tiene estabilizadores finitos y el discreto mueve en órbita alrededor de bajo grupo $G$. Pero la órbita $Gp$ de un punto $p$ acumulará típicamente en el límite del $de\; labolacerrada\; \backslash \; barra\; \{B\}\; ^3$.

El límite de la bola cerrada se llama la esfera del en el infinito, y es $S^2\_\; \backslash \; infty$ denotados. El sistema de los puntos de acumulación de Gp del en $S^2\_\; \backslash \; infty$ se llama sistema de límite del de $G$, y $generalmente\; denotado\; \backslash \; lambda\; (G)$. El complemento $\backslash \; Omega\; (G)=S^2\_\; \backslash \; -\; infty\; \backslash lambda(G)$ se llama el dominio del de la discontinuidad . Ahlfors el teorema del aspecto finito implica que $\backslash \; Omega\; (G)/G$ es un orbifold superficial de Riemann del tipo finito.

La bola de unidad $B^3$ con su estructura conformal es el Poincaré modelo de 3 hiperbólicos espacian . Cuando pensamos en él métrico, es $H^3$ denotado. El sistema de uno mismo-mapas conformales de $B^3$ se convierte en el sistema de Isometries (es decir distancia-preservando mapas) de $H^3$ bajo esta identificación. Tales mapas restringen a los uno mismo-mapas conformales de $S^2\_\; \backslash \; de\; infty$, que son Las transformaciones de Möbius allí son isomorphisms

$\backslash \; mbox\; \{multitud\}\; (S^2\_\; \backslash )\; infty\; \backslash \; cong\; \backslash \; mbox\; \{Conf\}\; (B^3)\; \backslash \; cong\; \backslash \; mbox\; \{Isom\}\; (H^3)$

Los subgrupos de estos grupos que consisten en transformaciones Orientación-que preservan son todos isomorfos a la matriz descriptiva agrupan $PSL\; del$

l (2, C)

vía la identificación generalmente de la esfera de unidad con la línea descriptiva compleja $CP^1$.

Ejemplo

Los grupos de reflexión dejaron $C\_i$ ser los círculos del límite de una colección finita de desunir los discos cerrados. El grupo generado por la inversión en cada círculo es un grupo de Kleinian. el sistema de límite es chantre determinado, y el cociente $H^3/G$ es un orbifold del espejo con ser la base espaciar una bola. Es el cubierto doble al lado de un Handlebody ; el subgrupo correspondiente del índice 2 es un grupo de Schottky.

Ejemplo

Los grupos cristalográficos dejaron $T$ ser un Tessellation periódico de hiperbólico espacio 3. El grupo de simetrías del tessellation es un grupo de Kleinian.

Métrico

El hiperbólico canónico métrico en la bola de unidad $B^3$ es dado por el
$ds^2=\; \backslash \; frac\; del$
{4 \ se fueron| dx \ derecho|^2} {\ dejado (1|x|^2 \) ^2 derecho} para el $x\; \backslash \; en\; B^3$.

Zenithic

Genesis (Job for a Cowboy album)

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