En las matemáticas, un grupo de mentira del ( ˈliː, suena como " Lee"), es un grupo que es también un múltiple diferenciable, con la característica que las operaciones del grupo son compatibles con la estructura lisa . Se nombran después de la mentira noruega de Sophus del matemático del siglo XIX, que puso las fundaciones de la teoría de los grupos continuos de la transformación que los grupos de mentira de representan la mejor teoría desarrollada de la simetría continua de objetos y de estructuras matemáticos, que les hace las herramientas imprescindibles para muchas partes de matemáticas contemporáneas, así como para la física teórica moderno. Proporcionan un marco natural para analizar las simetrías continuas de las ecuaciones diferenciales (teoría ), mucho de Picard-Vessiot de la misma forma que los grupos de la permutación se utilizan en la teoría de Galois para analizar las simetrías discretas de las ecuaciones algebraicas . Una extensión de la teoría de Galois al caso de los grupos continuos de la simetría era una de las motivaciones principales de la mentira, su fixe del idée del . Puesto que los grupos de mentira son los múltiples, pueden ser estudiados usar el cálculo diferenciado, al contrario de la caja de los grupos topológicos uno de un más general de las ideas dominantes en la teoría de los grupos de mentira, debido a la mentira de Sophus, son substituir el objeto global, el grupo, por su local o la versión linearizada, que mienten sí mismo llamado su " group" infinitesimal; y que tiene desde se conocida como su álgebra de mentira .
Los grupos de mentira desempeñan un papel enorme en la geometría moderna, en varios diversos niveles. El Felix Klein discutió en su programa de Erlangen que uno pueda considerar el vario " geometries" especificando a un grupo apropiado de la transformación que deja ciertas características geométricas invariantes. Así la geometría euclidiana corresponde a la opción del grupo E (3) de transformaciones distancia-que preservan del del espacio euclidiano R 3, geometría conformal corresponde a agrandar al grupo al grupo conformal, mientras que en la geometría descriptiva uno está interesada en las características invariantes bajo grupo descriptivo . Esta idea llevó más adelante a la noción de una G-estructura, donde está un grupo el G de mentira de " local" simetrías de un múltiple. En un " global" nivelar, siempre que actúe un del grupo de mentira en un objeto geométrico, tal como un Riemannian o un múltiple simpléctico, esta acción proporciona una medida de rigidez y rinde una estructura algebraica rica. La presencia de simetrías continuas expresadas vía una acción de grupo de mentira en un múltiple pone apremios fuertes en su geometría y facilita el análisis en el múltiple. Las acciones lineares de los grupos de mentira son especialmente importantes, y se estudian en la teoría de la representación.
En los años 50, el Claude Chevalley realizó que muchos resultados fundacionales referentes a grupos de mentira se pueden desarrollar totalmente algebraico, dando lugar a la teoría de los grupos algebraicos definida sobre un campo arbitrario . Esta penetración abrió nuevas posibilidades en álgebra pura, proporcionando una construcción uniforme para la mayoría de los grupos simples finitos así como en la geometría algebraica . La teoría Automorphic forma una rama importante de la teoría de número moderna, se ocupa extensivamente de análogos de los grupos de mentira sobre los anillos de Adela
Historia temprana
Según la fuente más autoritaria en la historia temprana de los grupos de mentira (Hawkins, p.1), la mentira misma de Sophus consideraba el invierno de 1873-1874 como la fecha de nacimiento de su teoría de grupos continuos. Sin embargo, Hawkins sugiere que fuera " Actividad de investigación prodigiosa de la mentira durante el período de cuatro años a partir de la caída de 1869 a la caída de 1873" eso llevó a la creación de la teoría (ibid del ). Algunas de las ideas tempranas de la mentira fueron desarrolladas en la colaboración cercana con el Felix Klein . La mentira se encontró con Klein diario de octubre de 1869 con 1872: en Berlín del finales de octubre de 1869 de finales de febrero de 1870, y en París, Gőttingen y Erlangen en los dos años subsecuentes (ibid, p. La mentira indicó que todos los resultados principales fueron obtenidos antes de 1884. Sin embargo, durante los 1870s todos sus papeles (excepto la primera nota) fueron publicados en los diarios noruegos, impidiendo el reconocimiento del trabajo a través del resto de Europa (ibid, p. En 1884 un matemático alemán joven, Friedrich Engel, vino trabajar con mentira en un tratado sistemático para exponer su teoría de grupos continuos. De este esfuerzo resultó el der Transformationsgruppen de Theorie del del tres-volumen, publicado en 1888, 1890, y 1893.Las ideas de la mentira no se colocaban sin tener en cuenta el resto de matemáticas. De hecho, su interés en la geometría de ecuaciones diferenciales primero fue motivado por el trabajo Carl Gustavo Jacobi, sobre la teoría de las ecuaciones diferenciales parciales de la primera orden y sobre las ecuaciones de los mecánicos clásicos . Mucho del trabajo de Jacobi fue publicado póstumo en los 1860s, generando interés enorme en Francia y Alemania (Hawkins, p. El fixe del idée del de la mentira era desarrollar una teoría de simetrías de las ecuaciones diferenciales que lograrían para ellas qué Évariste Galois había hecho para las ecuaciones algebraicas: a saber, clasificarlas en términos de teoría de grupo. El ímpetu adicional para considerar a grupos continuos vino de ideas Bernhard Riemann, en las fundaciones de la geometría, y de su desarrollo posterior en las manos de Klein. Así tres temas importantes en matemáticas del siglo XIX fueron combinados por mentira en crear su nueva teoría: la idea de la simetría, según lo ejemplificado por Galois con la noción algebraica de un grupo ; teoría geométrica y las soluciones explícitas de las ecuaciones diferenciales de mecánicos, resueltas por el Poisson y Jacobi; y la nueva comprensión de la geometría que emergió en los trabajos Plücker, Möbius, Grassmann y de otros, y culminó en la visión revolucionaria de Riemann del tema.
Aunque la mentira de Sophus legítimo se reconozca hoy como el creador de la teoría de grupos continuos, un paso grande importante en el desarrollo de su teoría de la estructura, que era tener una influencia profunda en el desarrollo subsecuente de las matemáticas, fue hecho por la matanza de Wilhelm, que en 1888 publicó el primer papel en una serie dada derecho El muere stetigen del der de Zusammensetzung endlichen Transformationsgruppen (el la composición de la transformación finita continua agrupa ) (Hawkins, p. El trabajo de la matanza, refinado y generalizado más adelante por el Elie Cartan, llevado a la clasificación de la teoría de las álgebra de mentira de Semisimple Cartan espacios descripción de s de Weyl, y de Hermann simétrico 'de las representaciones de los grupos de mentira del acuerdo y del semisimple usar los pesos más altos
Weyl trajo el período temprano del desarrollo de la teoría de los grupos de mentira a la fruición, porque no sólo él clasificó representaciones irreducibles de los grupos de mentira del semisimple y conectó la teoría de grupos con los mecánicos de quántum, pero él también puso la teoría sí mismo de la mentira en un pie más firme claramente declarando la distinción entre los grupos infinitesimales (es decir álgebra del de la mentira de mentira) y los grupos de mentira apropiados, y comenzó investigaciones de la topología de los grupos de mentira (Borel (2001),). La teoría de los grupos de mentira fue vuelta a trabajar sistemáticamente en lengua matemática moderna en una monografía por el Claude Chevalley . ¡
El concepto de un grupo de mentira, y posibilidades de la clasificación
Los grupos de mentira pueden ser pensados en como familias suavemente diversas de simetrías. Los ejemplos de simetrías incluyen la rotación sobre un eje. Qué se debe entender es la naturaleza de “pequeñas” transformaciones, aquí las rotaciones con los ángulos minúsculos, que ligan transformaciones próximas. El objeto matemático que captura esta estructura se llama una álgebra de mentira (la mentira mismo las llamó " groups" infinitesimal;). Puede ser definido porque los grupos de mentira son múltiples, así que tiene espacios de tangente en cada punto.
La álgebra de mentira de cualquier grupo de mentira del acuerdo (muy áspero: uno para el cual la forma de las simetrías un sistema limitado) se puede descomponer como suma directa de una álgebra de mentira abeliana y de un cierto número simple unos. La estructura de una álgebra de mentira abeliana es matemáticamente sin interés; el interés está en los summands simples. Por lo tanto la pregunta se presenta: ¿cuáles son las álgebra de mentira simples de grupos compactos? Resulta que caen sobre todo en cuatro familias infinitas, el " algebras" clásico de la mentira; n de A, n de B, n de C y n de D, que tienen descripciones simples en términos de simetrías del espacio euclidiano. Pero hay también el " apenas cinco; algebras" excepcional de la mentira; eso no baja en ninguno de estos familias. E8 es el más grande de éstos. Por ejemplo, verdadero 2×2 las matrices inversibles, el del qquad formar un grupo multiplicativo, denotado por GL2 ( R ), que es un ejemplo clásico de un grupo de mentira; su múltiple es 4 dimensionales. La restricción adicional a las matrices de la rotación 2×2 da a subgrupo, denotado por SO2 ( R ), que es también un grupo de mentira; su múltiple es de 1 dimensión, un círculo, con ángulo de la rotación como parámetro. En este 3ultimo ejemplo podemos escribir un elemento del grupo como del pecado \ lambda y observar que lo contrario para el elemento dado por λ es eso dado por −λ, mientras que el producto de los elementos dados por λ y μ es eso dado por λ +μ ; así ambas operaciones del grupo son continuas, como sea necesario. Hay varios conceptos estrechamente vinculados. Un grupo de mentira complejo del se define de la misma manera usar los múltiples complejos algo que los verdaderos (ejemplo: SL2 ( C )), y semejantemente uno puede definir un p - grupo de mentira adic sobre el '' p '' - los números adic . Un grupo de mentira dimensional infinito del se define de la misma manera salvo que uno permite que el múltiple subyacente sea dimensional infinito. Los grupos de la matriz o los grupos algebraicos son (áspero) grupos de matrices, (por ejemplo, el los grupos simplécticos ortogonales y éstos de y da la mayor parte de los ejemplos mas comunes de los grupos de mentira. Es posible definir análogos de muchos grupos de mentira sobre los campos finitos, y éstos dan la mayor parte de los ejemplos de los grupos simples finitos que uno podría también intentar variar la definición usando los múltiples topológicos o analíticos en vez los lisos, pero resulta que éste da a nada nuevo: El Gleason, el Montgomery y el Zippin demostraron en 1952 que si es un múltiple topológico con operaciones continuas del grupo, después existe exactamente una estructura analítica en el G qué vueltas él en un grupo de mentira (véase problema de Hilbert el quinto y el Hilbert-Smith conjeturar ). La lengua de la teoría de la categoría proporciona una definición sucinta para los grupos de mentira: un grupo de mentira es un objeto del grupo en la categoría de múltiples lisos. Esto es importante, puesto que permite la generalización de la noción de un grupo de mentira a los supergroups de la mentira. Aquí están algunos ejemplos de los grupos de mentira y de sus relaciones a otras áreas de las matemáticas y de la física. Para muchos más ejemplos ver la tabla de los grupos de mentira y de lista de los grupos de mentira simples y de artículo sobre los grupos de la matriz Hay varias maneras estándar de formar a nuevos grupos de mentira los viejos: Algunos ejemplos de los grupos que son grupos de mentira del no son: Clasifican a los grupos de mentira según sus características algebraicas ( simple, semisimple, soluble, nilpotent, abeliano), su conexión ( conectado el o simplemente conectado) y su compacticidad . el componente de la identidad de cualquier grupo de mentira es un subgrupo normal abierto, y el grupo del cociente es un grupo discreto . la cubierta universal de cualquier grupo de mentira conectado es un grupo de mentira simplemente conectado, y cualquier grupo de mentira conectado es inversamente un cociente de un grupo de mentira simplemente conectado al lado de un subgrupo normal discreto del centro. cualquier grupo de mentira soluble simplemente conectado es isomorfo a un subgrupo cerrado del grupo de matrices triangulares superiores inversibles de una cierta fila, y cualquier representación irreducible dimensional finita de tal grupo es 1 dimensional. Los grupos solubles son demasiado sucios clasificar excepto en algunas pequeñas dimensiones. cualquier grupo de mentira nilpotent simplemente conectado es isomorfo a un subgrupo cerrado del grupo de matrices triangulares superiores inversibles con 1 en la diagonal de una cierta fila, y cualquier representación irreducible dimensional finita de tal grupo es 1 dimensional. Como grupos solubles, los grupos nilpotent son demasiado sucios clasificar excepto en algunas pequeñas dimensiones. son todos isomorfos a los productos de copias del R y del S 1 del grupo del círculo. Cualquier G del grupo de mentira se puede descomponer en grupos discretos, simples, y abelianos de una manera canónica como sigue. Escribir el G con del para el componente conectado del G sol del Esto se puede utilizar para reducir algunos problemas sobre grupos de mentira (tales como encontrar sus representaciones unitarias) a los mismos problemas para los grupos simples conectados. A cada grupo de mentira, podemos asociar una álgebra de mentira, cuyo espacio de vector subyacente es el espacio de tangente del G en el elemento de identidad, que captura totalmente la estructura local del grupo. Podemos pensar informal en los elementos de la álgebra de mentira como elementos del grupo que sean " Del close" infinitesimal ; a la identidad, y al soporte de la mentira está algo hacer con el conmutador de dos tales elementos infinitesimales. Antes de dar a la definición abstracta damos algunos ejemplos: La definición concreta dada arriba es fácil de trabajar con, pero tiene algunos problemas de menor importancia: para utilizarla que primero necesitamos representar a un grupo de mentira como grupo de matrices, pero no todos los grupos de mentira pueden ser representados de esta manera, y no es obvio que la álgebra de mentira no depende de qué representación utilizamos. Para conseguir alrededor de estos problemas que damos la definición general de la álgebra de mentira de cualquier grupo de mentira (en 4 pasos): Los campos de vector en cualquier multíple liso M se pueden pensar en como X de las derivaciones del anillo de funciones lisas en el múltiple, y por lo tanto forman una álgebra de mentira bajo XY del soporte = del de la mentira; − YX, porque el soporte de la mentira de cualquier dos derivaciones es una derivación. Este es finito-dimensionales y tiene la misma dimensión que el multíple G . La álgebra de mentira del G determina el G hasta " isomorphism" local;, donde llaman dos grupos de mentira el localmente isomorfo si miran el mismo cercano el elemento de identidad. Los problemas sobre grupos de mentira son solucionados a menudo primero solucionando el problema correspondiente para las álgebra de mentira, y el resultado para los grupos entonces sigue generalmente fácilmente. Por ejemplo, clasificando clasifican a los grupos de mentira simples generalmente primero las álgebra de mentira correspondientes. Podríamos también definir una estructura de la álgebra de mentira en el Te usar campos de vector invariantes correctos en vez de campos de vector invariantes izquierdos. Esto lleva a la misma álgebra de mentira, porque el mapa inverso en el G se puede utilizar para identificar campos de vector invariantes izquierdos con los campos de vector invariantes correctos, y actúa como − 1 en el Te del espacio de tangente. La estructura de la álgebra de mentira en el Te puede también ser descrita como sigue: la operación del conmutador &minus del xyx → del l ( x, y ); 1 en × de G del ; El G envía (el e, el e ) al e, así que su derivado rinde a la operación bilinearia en el TeG . Esta operación bilinearia es realmente el mapa cero, pero el segundo derivado, bajo identificación apropiada de los espacios de tangente, rinde una operación que satisfaga los axiomas de un soporte de la mentira, y es igual dos veces a el que está definido a través de campos de vector izquierdo-invariantes. Si el G y el H son grupos de mentira, entonces un f del homomorfismo del Mentir-grupo: El H del → de G del es un homomorfismo liso del grupo. (Es equivalente requerir solamente ese f sea el continuo algo que liso.) La composición de dos tales homomorphisms es otra vez un homomorfismo, y la clase de todos los grupos de mentira, junto con estos morphisms, forma una categoría . Llaman dos grupos de mentira el isomorfo si existe un homomorfismo Bijective entre ellos de quién lo contrario es también un homomorfismo. Los grupos de mentira isomorfos son esencialmente iguales; diferencian solamente en la notación para sus elementos. Cada f del homomorfismo: El H del → de G del de los grupos de mentira induce un homomorfismo entre el de las álgebra de mentira y el . El es un Functor . Una versión del teorema de la dificultad es que cada álgebra de mentira dimensional finita es isomorfa a una álgebra de mentira de la matriz. Para cada álgebra de mentira dimensional finita de la matriz, hay un grupo linear (grupo de mentira de la matriz) con esta álgebra como su álgebra de mentira. Tan cada álgebra de mentira abstracta es la álgebra de mentira de un cierto grupo de mentira (linear). La estructura global del de un grupo de mentira no es determinada por su álgebra de mentira; por ejemplo, si el Z es cualquier subgrupo discreto del centro del G de G del entonces y del G / Z tener la misma álgebra de mentira (véase la tabla de los grupos de mentira para los ejemplos). Un grupo de mentira conectado de es el simple, el semisimple, el soluble, el nilpotent, o el abeliano si y solamente si su álgebra de mentira tiene la característica correspondiente. Si requerimos que el grupo de mentira sea el simplemente conectado, después la estructura global es determinada por su álgebra de mentira: para cada de la álgebra de mentira sobre el F hay un simplemente conectado G del grupo de mentira con el como álgebra de mentira, única hasta isomorfismo. Por otra parte cada homomorfismo entre las álgebra de mentira levanta a un homomorfismo único entre la correspondencia los grupos de mentira simplemente conectados. El mapa exponencial del n para el A de las matrices. Si el G es cualquier subgrupo del n La definición antedicha es fácil de utilizar, pero no se define para los grupos de mentira que no son grupos de la matriz, y no está claro que el mapa exponencial de un grupo de mentira no depende de su representación como grupo de la matriz. Podemos solucionar ambos problemas usar una definición más abstracta del mapa exponencial que trabaja para todos los grupos de mentira, como sigue. Cada v del vector en el determina un mapa linear del R al que llevan 1 el v, que se puede pensar en como homomorfismo de la álgebra de mentira. Puesto que el R es la álgebra de mentira del simplemente conectado R del grupo de mentira, éste induce un c del homomorfismo del grupo de mentira: G del → del R de modo que c ( s del l + t ) = c ( t ) del c ( s ) para todo el s y el t . La operación en el lado derecho es la multiplicación del grupo en el G . La semejanza formal de esta fórmula con la que está válida para la función exponencial justifica la definición exp ( v ) del = c (1) Esto se llama el mapa exponencial, y traza el de la álgebra de mentira en el G del grupo de mentira. Proporciona un Diffeomorphism entre una vecindad de 0 en el y una vecindad del e en el G . Este mapa exponencial es una generalización de la función exponencial para los números verdaderos (puesto que el R es la álgebra de mentira del grupo de mentira de números verdaderos positivos con la multiplicación), para los números complejos (puesto que el C es la álgebra de mentira del grupo de mentira de números complejos diferentes a cero con la multiplicación) y para las matrices (puesto que el n Porque el mapa exponencial es surjective en un cierto N de la vecindad del e, es común a los elementos de la llamada de los generadores infinitesimales de la álgebra de mentira del G del grupo. El subgrupo del G generado por el N es el componente de la identidad del G . El mapa exponencial y la álgebra de mentira determinan la estructura del grupo local del de cada grupo de mentira conectado, debido a la fórmula de Panadero-Campbell-Hausdorff: existe un U de la vecindad del elemento cero del , tal que para el u, v en el U que tenemos exp ( u ) exp ( v ) del = &minus del exp ( u + v del + donde se saben los términos omitidos e implican los soportes de la mentira de cuatro o más elementos. En caso de que el u y el v conmuten, esta fórmula reduce a la ley exponencial familiar exp ( u ) exp ( v ) = exp ( u + el v ). El mapa exponencial de la álgebra de mentira al grupo de mentira no está siempre sobre, incluso si el grupo está conectado (aunque traza sobre el grupo de mentira para los grupos conectados que son acuerdo o nilpotent). Por ejemplo, el mapa exponencial de SL2 ( R ) no es surjective. Los grupos de mentira son dimensionales finito por definición, pero hay muchos grupos que se asemejan a grupos de mentira, a excepción de ser dimensional infinito. Hay " muy pequeño; theory" general; de tales grupos, pero de algunos de los ejemplos se han estudiado que incluir: .
Ejemplo
Definiciones
El grupo de mentira (verdadero) de A es un grupo matemático que es también un múltiple liso verdadero finito-dimensional, y en cuál son los mapas las operaciones del grupo de la multiplicación y de la inversión lisos Ejemplos de los grupos de mentira
el n del del R del espacio euclidiano es un grupo de mentira abeliano (con la adición de vector ordinaria como la operación del grupo).
El n
El ortogonal n ( R ) del grupo O es un grupo de mentira representado por las matrices ortogonales . Consiste en todas las rotaciones y las reflexiones de un n - espacio de vector dimensional. Tiene un n ( R ) de SO del subgrupo de los elementos del determinante 1, llamados el grupo ortogonal especial o el grupo de la rotación.
El grupo unitario U ( n ) es un grupo compacto del n 2 de la dimensión representado por las matrices unitarias . Tiene un subgrupo SU ( n ) de elementos del determinante 1, llamados el el grupo unitario especial .
Los grupos de la vuelta son cubiertas dobles de los grupos ortogonales especiales usados para estudiar los fermios en la teoría de campo de Quantum (entre otras cosas).
El n ( R ) del grupo Sp2 de todas las matrices que preservan una forma simpléctica es un grupo de mentira llamado el grupo simpléctico .
El S 0 de las esferas, el S 1, y el S 3 se pueden hacer en grupos de mentira identificándolos con los números verdaderos, los números complejos, o Quaternions del valor absoluto 1 respectivamente. No hay otras esferas grupos de mentira. El S 1 del grupo de mentira se llama a veces el grupo del círculo del .
El grupo del triangular superior n por las matrices del n es un grupo de mentira soluble del n ( de la dimensión del n ; + 1)/2.
El grupo de Lorentz y el grupo de Poincare de isometries del espacio-tiempo son grupos de mentira de dimensiones 6 y 10 que se utilicen en la relatividad especial .
El grupo de Heisenberg es un grupo de mentira de la dimensión 3, usado en los mecánicos de Quantum .
El grupo U (1)× SU (2)× SU (3) es un grupo de mentira de dimensión 1+3+8=12 que sea el grupo del calibrador del modelo estándar, cuya dimensión corresponde al 1 fotón + 3 bosones del vector + 8 Gluons del modelo estándar.
El grupo de Metaplectic es los 3 grupos de mentira dimensionales que es una cubierta doble SL2 (''') del ''' R y se utiliza en la teoría de las formas modulares que no puede ser representada como matrices finitas.
Los grupos de mentira excepcionales de tipos '' G '' 2, '' F '' 4, '' E '' 6, '' E '' 7, '' E '' 8 tienen dimensiones 14, 52, 78, 133, y 248. Hay también un ½ E7 del grupo de la dimensión 190.
El producto de dos grupos de mentira es un grupo de mentira.
Cualquier subgrupo cerrado de de un grupo de mentira es un grupo de mentira.
El cociente de un grupo de mentira de un subgrupo normal cerrado es un grupo de mentira.
La cubierta universal de un grupo de mentira conectado es un grupo de mentira. Por ejemplo, el R del grupo es la cubierta universal del S 1 del grupo del círculo.
Grupos dimensionales infinitos, tales como el grupo aditivo de un espacio de vector verdadero dimensional infinito. Éstos no son grupos de mentira pues no son múltiples dimensionales finitos del .
Un cierto desconectó total a los grupos tal como el grupo de Galois de una extensión infinita de campos, o a grupo aditivo de los números adic '' p '' -. Éstos no son grupos de mentira porque sus espacios subyacentes no son múltiples verdaderos. (Algunos de estos grupos son " p - groups" adic de la mentira;.)
La imagen de un grupo de mentira conectado bajo homomorfismo de los grupos de mentira no necesita ser un grupo de mentira. El ejemplo generalmente de esto es la imagen del R en el Z 2 (&cong del R 2/del grupo; S 1× S 1) bajo → del x del mapa ( x, √ 2 x ). La imagen es un subconjunto denso de Z 2 del R 2/que no sea un múltiple, y así que no es un grupo de mentira. Esto también da un ejemplo donde un subalgebra de una álgebra de mentira no corresponde a un subgrupo de la mentira del grupo de mentira correspondiente.
El grupo de números racionales bajo adición, topologized como subconjunto de los números verdaderos, no es un grupo de mentira pues no es un múltiple. Tipos de grupos de mentira
se saben los grupos de mentira del acuerdo todo: son extensiones centrales finitas de un producto de las copias del S 1 y los grupos de mentira compactos simples (que del grupo del círculo correspondan al conectado Dynkin diagrams .
los grupos de mentira simples se definen a veces para ser los que son simples como grupos abstractos, y se definen a veces para ser grupos de mentira conectados con una álgebra de mentira simple. Por ejemplo, SL2 ( R ) es simple según la segunda definición pero no según el primer. Tienen todos sidos clasificados (para cualquier definición).
los grupos de mentira de Semisimple son los grupos conectados cuya álgebra de mentira es un producto de las álgebra de mentira simples. Son extensiones centrales de los productos de los grupos de mentira simples.
Los grupos de mentira abelianos conectados Estructura de un grupo de mentira
de la identidad para el soluble normal conectado más grande G nil subgrupo para el subgrupo nilpotent normal conectado más grande de modo que tengamos una secuencia del normal G del ⊆ de G con del del ⊆ de G sol del del ⊆ de G nil del del ⊆ del
1 del
de los subgrupos Entonces el G / G con del es el discreto G sol de G con/del del
es una extensión central de un producto de los grupos de mentira conectados simples . el G nil de G sol/del del
es de copias del R y del S 1) el abeliano (y un producto G nil/1 del
es nilpotent, y por lo tanto su serie central de ascensión tiene todos los cocientes abelianos. La álgebra de mentira se asoció a un grupo de mentira
La álgebra de mentira del n del del R del espacio de vector es apenas el n del del R con el soporte de la mentira dado por el del
= 0. (En general el soporte de la mentira de un grupo de mentira conectado es siempre 0 si y solamente si el grupo de mentira es abeliano.)
La álgebra de mentira del linear general n
= del AB del ; − los VAGOS del Si el G es un subgrupo cerrado del n ( R ) del del GL entonces la álgebra de mentira del G se puede pensar en informal como el m de las matrices del n ( R ) del del M tales que 1 + el m del ε está en el G, con donde está un número el ε positivo infinitesimal ε2 = 0 (por supuesto ninguÌn tal ε del número verdadero existe…). Por ejemplo, el grupo ortogonal que el n ( R ) del del O consiste en el A de las matrices con el AA T = 1, así que la álgebra de mentira consiste en el m de las matrices con (1 + m ) (1 del ε; + m del ε) T = 1, que es equivalente al del m ; + m T = 0 porque ε2 = 0. Formalmente, al trabajar sobre los reals, tan aquí, esto es lograda considerando el límite como ε→0; pero el " infinitesimal" la lengua generaliza directo a los grupos de mentira sobre los anillos generales Homomorphisms e isomorphisms
El mapa exponencial
Grupos de mentira dimensionales infinitos
El grupo de Diffeomorphisms de un múltiple. Bastante se sabe sobre el grupo de diffeomorphisms del círculo. Su álgebra de mentira es (más o menos) la álgebra, que de Witt tiene una extensión central llamada la álgebra de Virasoro, usada en la teoría de la secuencia y la teoría de campo conformal . Muy poco se sabe sobre los grupos del diffeomorphism de múltiples de una dimensión más grande. El grupo del diffeomorphism de espacio-tiempo aparece a veces en tentativas al cuantifica gravedad de .
El grupo de mapas lisos de un múltiple a un grupo dimensional finito se llama un grupo del calibrador, y se utiliza en la teoría de campo de Quantum y la teoría de Donaldson. Si el múltiple es un círculo éstos se llaman los grupos del lazo y tienen extensiones centrales cuyas álgebra de mentira sean (más o menos) las álgebra Kac-Cambiantes
Hay análogos dimensionales infinitos de los grupos lineares generales, grupos ortogonales, y así sucesivamente. Un aspecto importante es que éstos pueden tener características topológicas más simples del : ver por ejemplo el teorema de Kuiper.
Apenas mientras que el cálculo en los espacios de vector verdaderos finito-dimensionales se puede ampliar al cálculo en los espacios de Banach la definición de los múltiples lisos finito-dimensional se puede ampliar para dar una definición de los múltiples analíticos de Banach semejantemente, la definición finito-dimensional estándar de los grupos de mentira se puede ampliar para dar una definición de los grupos de mentira analíticos de Banach en este caso, tenemos un múltiple analítico de Banach que tenga simultáneamente un grupo estructurar tales que la multiplicación y la inversión son mapas analíticos. Algunos de los teoremas de los grupos de mentira finito-dimensionales no transportan al caso analítico de Banach, y particularmente la relación entre los grupos de mentira y las álgebra de mentira es mucho más sutil en el caso dimensional infinito. Sin embargo, es verdad ese " para los grupos de mentira dimensionales infinitos modeló en los espacios de Banach allí es una teoría bien desarrollada… que es de cerca paralela a la teoría de la mentira dimensional finita groups." Ver también
E8
Representación de Adjoint
Armand Borel
Espacio homogéneo
Lista de los asuntos del grupo de mentira
Lista de los grupos de mentira simples
Múltiple Riemannian
Representaciones de los grupos de mentira
Tabla de los grupos de mentira Random links: Software médico | Universidad nacional de la escuela del International de Lesotho | No importa realmente | EL Ghiwane de Nass | Neal Matthews, JR.