En las matemáticas, un grupo de mentira simple del es un el no-abeliano conectado G del grupo de mentira de que no tiene subgrupos normales conectados no triviales . ¡grupo de mentira es simple como extracto a grupo? Por otra parte, presupone la 3ultima noción. … cuyo cociente por su centro es el simple como grupo abstracto .
--> Una álgebra de mentira simple del es una álgebra de mentira no-abeliana cuyos únicos ideales es 0 y sí mismo.
Una definición equivalente de un grupo de mentira simple sigue de la correspondencia de la mentira: un grupo de mentira conectado es simple si su álgebra de mentira es no-abeliana y simple. Un punto técnico importante es ése un grupo de mentira simple puede contener subgrupos normales discretos del, por lo tanto el ser un grupo de mentira simple es diferente de ser simple como grupo abstracto .
Los grupos de mentira simples incluyen muchos grupos de mentira clásicos que proporcionen un apoyo grupo-teórico para la geometría esférica, la geometría descriptiva y las geometrías relacionadas en el sentido programa de Erlangen de s de Klein Felix de el '. Emergió en el curso de la clasificación de los grupos de mentira simples que existen también varias posibilidades excepcionales que no corresponden a cualquier geometría familiar. Estos grupos excepcionales del explican muchos ejemplos y configuraciones especiales en otras ramas de las matemáticas, así como la física teórica contemporáneo.
Mientras que la noción de un grupo de mentira simple es satisfying de la perspectiva axiomática, en usos de la teoría de la mentira, tales como la teoría de las nociones algo más generales simétricas Riemannian de los espacios de los grupos de mentira reductores Semisimple y demostrados ser aún más útil. Particularmente, cada grupo de mentira conectado del acuerdo es reductor, y el estudio de las representaciones de grupos reductores generales es una rama importante de la teoría de la representación.
Comentarios sobre la definición
Desafortunadamente no hay definición estándar de un grupo de mentira simple. La definición dada arriba se varía a veces de las maneras siguientes:Conexión: Los grupos de mentira generalmente simples están conectados por definición. Esto excluye a grupos simples discretos (éstos son los grupos de mentira cero-dimensionales que son el simple como grupos abstractos) así como los grupos ortogonales disconnected
Centro: Se permite a los grupos de mentira generalmente simples tener un centro discreto; por ejemplo, el SL2 (''') del ''' R tiene un centro de la orden 2, pero todavía se cuenta como grupo de mentira simple. Si el centro es no trivial (y no el grupo entero) entonces el grupo de mentira simple no es simple como grupo abstracto. Algunos autores requieren que el centro de un grupo de mentira simple sea finito (o trivial); la cubierta universal de SL2 ( R ) es un ejemplo de un grupo de mentira simple con el centro infinito.
R : El R del grupo de números verdaderos bajo adición (y su R / Z del cociente) no se cuentan generalmente como grupos de mentira simples, aunque están conectados y tienen una álgebra de mentira sin ideales diferentes a cero apropiados. Los autores definen de vez en cuando a grupos de mentira simples de una manera tal que el R sea simple, aunque éste parece a veces ser un accidente causado pasando por alto este caso.
Grupos de la matriz: Algunos autores se restringen a los grupos de mentira que pueden ser representados como grupos de matrices finitas. El grupo de Metaplectic es un ejemplo de un grupo de mentira simple que no pueda ser representado de esta manera.
Álgebra de mentira complejas: La definición de una álgebra de mentira simple no es estable bajo extensión del de los escalares . La complejación de una álgebra de mentira simple compleja, tal como sl n ( C ) es semisimple, pero no simple.
La definición más común es la arriba: los grupos de mentira simples tienen que ser conectados, a les se permite tener centros no triviales (posiblemente infinitos), ellos no necesitan ser representables por las matrices finitas, y deben ser no-abelianos.
Método de clasificación
Clasifican a tales grupos usar la clasificación anterior de las álgebra de mentira simples complejas: para cuáles ven que la página en arraigar los sistemas él está demostrada que un grupo de mentira simple tiene una álgebra de mentira simple que ocurra en la lista dada allí, una vez que complexified (es decir, hecho en un espacio de vector complejo algo que verdadero). Esto reduce la clasificación a dos materias más.
Formas verdaderas
El '' TAN '' ('' p '', '' q '', ''' del ''' R) de los grupos y el ('' p '' + '' q '', ''' del ''' R), por ejemplo, dan lugar '' TAN '' a diversas álgebra de mentira verdaderas, pero a tener el mismo diagrama de Dynkin. En general puede haber las formas verdaderas de diverso de la misma álgebra de mentira compleja.
Relación de las álgebra de mentira simples a los grupos
En segundo lugar la álgebra de mentira determina solamente únicamente el (universal) simplemente conectado G* de la cubierta del componente que contiene la identidad de un G del grupo de mentira. Bien puede suceder que el G* no es realmente un grupo simple, por ejemplo teniendo un centro no trivial . Tenemos por lo tanto preocuparse de la topología global, computando el grupo fundamental G (un grupo abeliano : un grupo de mentira es un H-espacio ). Esto fue hecha por el Élie Cartan .
Por un ejemplo, tomar a grupos ortogonales especiales en incluso la dimensión. Con el &minus del de la matriz de la no-identidad; I en el centro, éstos no es realmente grupos simples; y teniendo una cubierta doble de la vuelta, simple-no están conectados tampoco. Mienten “entre” el G* y el G, en la notación arriba.
Clasificación por el diagrama de Dynkin
El considera el principal del artículo arraigar el sistemaSegún la clasificación de Dynkin, tenemos como posibilidades éstos solamente, donde está el número el n de nodos:
Serie infinita
Una serie
A1, A2,…Ar corresponde al grupo unitario especial, SU (r+1) .
Serie de B
B1, B2,…Br corresponde al grupo ortogonal especial, TAN (2r+1) .
Serie C
C1, C2,…Cr corresponde al grupo simpléctico, SP (2r) .
Serie de D
D2, D3 ,…El Dr corresponde al grupo ortogonal especial, TAN (2r) . Observar que ASÍ QUE (4) no es un grupo simple, aunque. El diagrama de Dynkin tiene dos nodos que no estén conectados. Hay un homomorfismo surjective del TAN (los × de 3)* ; TAN (3)* al TAN (4) dado por la multiplicación de Quaternion ; ver los quaternions y la rotación espacial . Por lo tanto los grupos simples aquí comienzan con el D3, que como diagrama se endereza hacia fuera al A3 . Con el D4 hay una simetría “exótica” del diagrama, correspondiendo al supuesto Triality .
Casos excepcionales
Para los casos excepcionales supuestos ver el G2, el F4, el E6, el E7, y el E8 . Estos casos se juzgan el “ excepcional” porque no caen en la serie infinita de grupos de dimensión cada vez mayor. Desde el punto de vista de cada grupo tomado por separado, no hay nada tan inusual sobre ellos. Descubrieron a estos grupos excepcionales alrededor de 1890 en la clasificación de las álgebra de mentira simples sobre los números complejos (matanza de Wilhelm, hecha de nuevo por el Elie Cartan ). Era por algún tiempo una edición de la investigación para encontrar las maneras concretas de las cuales se presentan, por ejemplo como grupo de la simetría de un sistema diferenciado .Porque los grupos excepcionales, particularmente E 8, se han utilizado cada vez más en matemáticas y la física teórica a partir de cerca de 1975 hacia adelante, la chapa de la excepcionalidad se puede considerar para haber usado lejos.
Ver también el ½ E7 (álgebra de mentira)
Grupos simplemente atados
Un grupo simplemente atado es un grupo de mentira cuyo diagrama de Dynkin solamente contener los acoplamientos simples, y por lo tanto todas las raíces diferentes a cero de la álgebra de mentira correspondiente tienen la misma longitud. Los grupos de la serie del A, del D y del E son todos atados simplemente.
Ver también
matriz de Cartan
Matriz de Coxeter
Diagrama de Dynkin
Grupo de Weyl
Grupo de Coxeter
Álgebra Kac-Cambiante
Teoría de catástrofe .
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