En las matemáticas, el euclidiano E ( n ) del grupo, a veces llamado ISO ( n ) o similar, es el grupo de la simetría n - espacio euclidiano dimensional. Sus elementos, los isometries asociados al euclidiano métrico, se llaman los movimientos euclidianos .
Estos grupos están entre el más viejo y estudiado, por lo menos cuando se trata de la dimensión 2 y el &mdash 3; implícito, mucho antes de que el concepto de grupo era sabido.
Descripción
Dimensionalidad
El número de grados de la libertad para el E ( n ) es n ( n del
l + 1)/2,
cuál da 3 en caso de que el n = 2, y 6 para el n = 3. De éstos, el n se puede atribuir a la simetría de translación disponible, y al restante n (&minus del n ; 1)/2 a la simetría rotatoria .
Isometries directos e indirectos
Hay un E + ( n ) del subgrupo de los isometries directos, es decir, isometries del que preservan la orientación, también llamada el los movimientos rígidos ; son los movimientos del cuerpo rígido . Éstos incluyen las traducciones y las rotaciones que junto generan el E + ( n ).
Los otros son los isometries indirectos . El E + ( n ) del subgrupo es del índice 2. es decir la forma indirecta de los isometries un solo Coset del E + ( n ). El dado cualquier isometry indirecto de, por ejemplo un dado R de la reflexión que invierta la orientación, todos los isometries indirectos se da como dr, donde está un isometry el D directo.
Utilizan al grupo euclidiano para el n = 3 para la cinemática de un cuerpo rígido, en los mecánicos clásicos . Un movimiento del cuerpo rígido del es en efecto igual que una curva en el E +(3). Comenzando en el I de la transformación de la identidad, una curva tan continua puede ciertamente nunca alcanzar cualquier cosa con excepción de un isometry directo. Esto está por razones topológicas simples: el determinante de la transformación no puede saltar a partir del +1 al − 1.
Los grupos euclidianos son no sólo los grupos topológicos que son los grupos de mentira para poder adaptarse nociones del cálculo inmediatamente a este ajuste.
Relación al grupo de la afinación
El euclidiano E ( n ) del grupo es un subgrupo afina el grupo para las dimensiones del n, y a fin de respetar la estructura semidirecta del producto de ambos grupos. Esto da, el por mayor razón, dos maneras de anotar elementos en una notación explícita. Éstos son:
por un par ( A, b ), con el A × del n un ; matriz ortogonal n, y b un vector verdadero de la columna del n del tamaño; o
Los detalles para la primera representación se dan en la sección siguiente.
En los términos programa de Erlangen de s de Klein Felix de el ', leemos apagado en el que la geometría euclidiana, la geometría del grupo euclidiano de simetrías, sea por lo tanto una especialización afine la geometría . Todos afinan teoremas se aplican. El factor adicional en geometría euclidiana es la noción de la distancia, de la cual el ángulo puede entonces ser deducido.
Discusión detallada
Estructura del subgrupo, matriz y representación del vector
El grupo euclidiano es un subgrupo del grupo de afina las transformaciones
Tiene como los subgrupos el de translación T del grupo, y el ortogonal O ( n ) del grupo . Cualquier elemento del E ( n ) es una traducción seguida por una transformación ortogonal (la parte linear del isometry), de una manera única:
donde está una matriz A ortogonal
o una transformación ortogonal siguió por una traducción: .
El T es un subgrupo normal E ( n ): para cualquier t de la traducción y cualquier isometry u, tenemos &minus del u del l ; 1
otra vez una traducción (uno puede decir, con una dislocación que sea el u que actúa en la dislocación del t ; una traducción no afecta a una dislocación, tan equivalente, la dislocación es el resultado de la parte linear de la actuación isometry en el t ).
Junto, estos hechos implican que el E ( n ) es el producto semidirecto O ( n ) extendido por el T . Es decir el O ( n ) es (de la manera natural) también el grupo del cociente E ( n ) al lado del T : /T del E ( n ) del del O ( n ) del de
Ahora el ASÍ QUE ( n ), el grupo ortogonal especial, es un subgrupo del O ( n ), del índice dos. Por lo tanto el E ( n ) tiene un E + ( n ) del subgrupo, también del índice dos, consistiendo en isometries directos del . En estos casos el determinante de A es 1.
Se representan como traducción seguida por una rotación, algo que una traducción seguida por una cierta clase de la reflexión (en dimensiones 2 y 3, éstos son las reflexiones familiares en una línea o un plano del espejo, que se pueden tomar para incluir el origen, o en 3D, un rotoreflection ).
Tenemos: /T del E + ( n ) del TAN ( n ) del del de
¡Subgroups
Tipos de subgrupos del E (n) :Los grupos finitos tienen siempre un punto fijo. En 3D, porque cada punto hay para cada orientación dos que sean máximos (con respecto a la inclusión) entre los grupos finitos: Oh y Ih . El Ih de los grupos es incluso máximo entre los grupos incluyendo la categoría siguiente.
Los grupos contable infinitos sin las traducciones arbitrariamente pequeñas, rotaciones, o las combinaciones, es decir, para cada punto el sistema de imágenes bajo isometries son topológico el discreto. para 1 ≤ &le de m; n al grupo generado por traducciones del m en direcciones independientes, y posiblemente un grupo finito del punto. Esto incluye los ejemplos de los enrejados más generales que ésos son los grupos de espacio discretos
Grupos contable infinitos con traducciones, rotaciones, o combinaciones arbitrariamente pequeñas. En este caso hay los puntos para los cuales el sistema de imágenes bajo isometries no es cerrado. Los ejemplos de tales grupos son, en 1D, el grupo generado por una traducción de 1 y uno de √ 2, y, en 2.os, el grupo generado por una rotación sobre el origen por 1 radián.
grupos No-contables, donde hay los puntos para los cuales el sistema de imágenes bajo isometries no es cerrado.o todas las traducciones en una dirección, y todas las traducciones por distancias racionales en otra dirección.
grupos No-contables, donde para todos los puntos está cerrado el sistema de imágenes bajo isometries.
todos los isometries que guardan el origen fijaron, o más generalmente, un cierto punto (el grupo ortogonal )
todos dirigen los isometries E+ ( n )
el grupo euclidiano E ( n ) del conjunto
uno de estos grupos en un m - subespacio dimensional combinó con un grupo discreto de isometries en el ortogonal nanómetro - espacio dimensional
uno de estos grupos en un m - subespacio dimensional combinó con otro en el ortogonal nanómetro - espacio dimensional
Ejemplos en 3D de combinaciones:
todas las rotaciones cerca de un eje fijo
ídem combinado con la reflexión en planos a través del eje y/o de un perpendicular del plano al eje
ídem combinado con la traducción discreta a lo largo del eje o con todos los isometries a lo largo del eje
un grupo discreto del punto, el grupo del friso, o el grupo del papel pintado en un plano, combinaron con cualquier grupo de la simetría en la dirección perpendicular
todos los isometries que son una combinación de una rotación sobre un cierto eje y de una traducción proporcional a lo largo del eje; en general esto se combina con el k - doblar el eje casi igual de los isometries rotatorios (&ge del k ; 1); el sistema de imágenes de un punto bajo isometries es un k - doblar la hélice ; además puede haber una rotación de 2 dobleces sobre un eje perpendicular de intersección, y por lo tanto un k - doblar la hélice de tales hachas.
para cualquier grupo del punto: el grupo de todos los isometries que son una combinación de un isometry en el grupo del punto y una traducción; por ejemplo, en el caso del grupo generado por la inversión en el origen: el grupo de todas las traducciones e inversión en todos los puntos; éste es el grupo Dihedral generalizado de R3, Dih (R3).
¡Descripción de isometries en hasta tres dimensiones
El E (1), el E ( 2 ), y el E (3) pueden ser categorizados como sigue, con grados de la libertad : E (1) - 1:
E +(1): identidad - 0
traducción - 1
ésos que no preservan la orientación: reflexión en un punto - 1
E ( 2 ) - 3:
E +(2): identidad - 0
traducción - 2
rotación alrededor de un punto - 3
ésos que no preservan la orientación: reflexión en una línea - 2
la reflexión en una línea combinó con la traducción a lo largo de esa línea (reflexión de deslizamiento ) - 3
Ver también el isometry plano euclidiano.
E (3) - 6:
E +(3): identidad - 0
traducción - 3
rotación sobre un eje - 5
la rotación sobre un eje combinó con la traducción a lo largo de ese eje (operación del tornillo) - 6
ésos que no preservan la orientación: reflexión en un plano - 3
la reflexión en un plano combinó con la traducción en ese plano (operación del plano de deslizamiento ) - 5
rotación sobre un eje por un ángulo no igual a 180°, combinado con la reflexión en un perpendicular del plano de ese eje (roto-reflexión ) - 6
Inversión en un punto - 3
Ver también los isometries que salen del fijado origen, grupo de espacio, involución 3D.
Isometries de conmutación
Para algunos los pares isometry la composición no depende de orden:dos traducciones
dos rotaciones o eje casi igual de los tornillos
reflexión con respecto a un plano, y una traducción en ese plano, una rotación sobre un perpendicular del eje al plano, o una reflexión con respecto a un plano perpendicular
reflexión de deslizamiento con respecto a un plano, y una traducción en ese plano
la inversión en un punto y isometry guardando el punto fijaron
rotación por 180° sobre un eje y una reflexión en un plano con ese eje
rotación por 180° sobre un eje y rotación por 180° sobre un eje perpendicular (resultados en la rotación por 180° sobre el perpendicular del eje a ambos)
eje casi igual de dos rotoreflections, con respecto al mismo plano
dos reflexiones de deslizamiento con respecto al mismo plano
Clases de Conjugacy
Las traducciones por una distancia dada en cualquier dirección forman una clase de Conjugacy; el grupo de la traducción es la unión de ésos para todas las distancias.En 1D, todas las reflexiones están en la misma clase.o, las rotaciones por el mismo ángulo en cualquier dirección están en la misma clase. Las reflexiones de deslizamiento con la traducción por la misma distancia están en la misma clase.
En 3D:
Las inversiones con respecto a todos los puntos están en la misma clase.
Las rotaciones por el mismo ángulo están en la misma clase.
Las rotaciones sobre un eje combinado con la traducción a lo largo de ese eje son en la misma clase si el ángulo es igual y la distancia de la traducción es igual, y en la dirección correspondiente (tornillo derecho o izquierdo).
Las reflexiones en un plano están en la misma clase
Las reflexiones en un plano combinado con la traducción en ese plano por la misma distancia están en la misma clase.
Las rotaciones sobre un eje por el mismo ángulo no igual a 180°, combinado con la reflexión en un perpendicular del plano de ese eje, están en la misma clase.
Ver también
puntos fijos grupos isometry en el espacio euclidiano
isometry plano euclidiano
Grupo de Poincaré
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