Grupo fundamental - Enciclopedia España

En las matemáticas, el grupo fundamental es uno de los conceptos básicos de la topología algebraica . Asociado a cada punto de un espacio topológico hay un grupo fundamental que transporta la información sobre la estructura de 1 dimensión de la porción del espacio que rodea el punto dado. El grupo fundamental es el primer grupo de Homotopy.

Intuición y definición

Antes de dar una definición exacta del grupo fundamental, intentamos describir la idea general en términos no matemáticos. Tomar un cierto espacio, y un cierto punto en él, y considerar todos los lazos a este punto - las trayectorias que comienzan a este punto, vagan alrededor tanto como tienen gusto y eventual vuelta al punto de partida. Dos lazos se pueden combinar juntos de una manera obvia: viajar a lo largo del primer lazo, entonces a lo largo del segundo. El sistema de todos los lazos con este método de combinarlos es el grupo fundamental, salvo que por razones técnicas es necesario considerar dos lazos para ser igual si uno se puede deformir en el otro sin la fractura.

Para la definición exacta, dejar el X ser un espacio topológico, y dejar el x ₀ ser un punto del X . Estamos interesados en el sistema del continuo f de las funciones : → X con la característica ese f (0) = x ₀ = f (1). Estas funciones se llaman los lazos del con el x ₀ del punto de la base del . Cualquier dos tales lazos, dicen el f y el g, se considera equivalente si hay un h de la función continua: × → X con la característica que, para todo el t adentro, h ( t, 0) = f ( t ), h ( t, 1) = g ( t ) y h (0, t ) = x ₀ = h (1, t ). Tal h se llama un homotopy del f a el g, y las clases correspondientes de la equivalencia se llaman las clases homotopy .

El &lowast del f del producto; el g del f de dos lazos y del g es definido fijando (&lowast del f ; g ) (t) = f (2 t ) si el t está adentro y (&lowast del f ; g ) (t) = g (2 &minus del t ; 1) si el t está adentro. El &lowast del f del lazo; el g primero sigue así el f del lazo con el " dos veces el speed" y entonces sigue el g con dos veces la velocidad. El producto de dos clases homotopy de lazos y entonces se define como ∗ '' g '', y pueden ser demostrados que este producto no depende de la opción de representantes.

Con el producto antedicho, el sistema de todas las clases homotopy de lazos con el bajo x ₀ del punto forma el grupo fundamental del X en el x ₀ del punto y es el $denotado \ pi_1 (X, x_0) del,$ o simplemente π ( X, x ₀). El elemento de identidad es el mapa constante en el basepoint, y lo contrario de un f del lazo es el g del lazo definido por el g (t) = f (1 − t ). Es decir, el g sigue el f al revés.

Aunque el grupo fundamental en general dependa de la opción del punto bajo, resulta que, el hasta el isomorfismo del, esta opción no diferencia ninguÌn si el X del espacio es trayectoria-conectado . Para los espacios trayectoria-conectados, por lo tanto, podemos escribir π ₁ ( X ) en vez del π ₁ ( X, x ₀) sin ambigüedad siempre que cuidemos sobre la clase del isomorfismo solamente.

Ejemplos

En muchos espacios, tales como n del ^{del R, o cualquier subconjunto convexo n} del ^{del R, allí es solamente una clase homotopy de lazos, y el grupo fundamental es por lo tanto trivial, es decir ({0}, +). Un espacio trayectoria-conectado con un grupo fundamental trivial reputa el simplemente conectado. Un ejemplo más interesante es proporcionado por el círculo . Resulta que cada clase homotopy consiste en todos los lazos que enrollen alrededor del círculo un número dado de épocas (que puedan ser positivas o negativas, dependiendo de la dirección de la bobina). El producto de un lazo que enrolla alrededor de tiempos del m y de otro que los vientos alrededor de tiempos del n son un lazo que enrolla alrededor del m + los tiempos del n . El grupo fundamental del círculo es tan el isomorfo al $(\ mathbb {Z}, +)$ , el grupo aditivo de los números enteros este hecho se puede utilizar para dar las pruebas del teorema del punto fijo de Brouwer y del teorema de Borsuk-Ulam en la dimensión 2.
Puesto que el grupo fundamental es un invariante homotopy, la teoría del número de la bobina para el plano complejo menos un punto es igual que para el círculo.
Desemejante de los grupos de la homología y de grupos homotopy más altos se asoció a un espacio topológico, el grupo fundamental no necesitan ser el abeliano. Por ejemplo, el grupo fundamental de un G del gráfico es un grupo libre . Aquí la fila del grupo libre es igual a 1 − χ ( G ): uno menos el Euler característico del G, cuando el G está conectado. Un ejemplo algo más sofisticado de un espacio con un grupo fundamental no-abeliano es el complemento de un nudo del trébol en el R ³.

Functoriality
Si f : &rarr del X ; El Y es un mapa continuo, x ₀∈ X y y ₀∈ El Y con el f ( x ₀) = el y ₀, entonces cada lazo en el X con el bajo x ₀ del punto se puede componer con el f para rendir un lazo en el Y con el bajo y ₀ del punto. Esta operación es compatible con la relación de equivalencia homotopy y con la composición de lazos. El homomorfismo resultante del grupo, llamado el indujo el homomorfismo, se escribe como π ( f ) o, más comunmente,

$f_* \ dos puntos \) X, x_0 \ a de pi_1 (\ pi_1 (Y, y_0).$ Obtenemos así un functor de la categoría de los espacios topológicos con el punto bajo a la categoría de los grupos . Resulta que este functor no puede distinguir los mapas que son pariente homotópico el punto bajo: si f y g : &rarr del X ; El Y es mapas continuos con el f ( x ₀) = el g ( x ₀) = el y ₀, y el f y el g son en relación con homotópico {el x ₀}, entonces f _* = el g _*. Por consiguiente, dos espacios trayectoria-conectados equivalentes homotopy tienen grupos fundamentales isomorfos:

$X \ simeq Y \ Rightarrow \) X, x_0 \ cong de pi_1 (\ pi_1 (Y, y_0).$
El functor fundamental del grupo lleva los productos los productos y el Coproducts a los coproducts. Es decir, si el X y el Y son trayectoria conectada, entonces $\ pi_1 (= \ pi_1 de X del \ de las épocas Y) (X) \ épocas \ pi_1 (Y)$ y $\ pi_1 (= \ pi_1 de X del \ de la uve Y) (X) * \ pi_1 (Y).$ (En la 3ultima fórmula, el $\ vee$ denota la suma de la cuña de espacios topológicos, y * el producto libre de grupos.) Ambas fórmulas generalizan a los productos arbitrarios. Además la 3ultima fórmula es un caso especial del teorema de Kampen de la Seifert-furgoneta que indica que el functor fundamental del grupo lleva los pushouts a lo largo de inclusiones los pushouts.

Fibrations
considera también: Fibration
Una generalización de un producto de espacios es dada por un Fibration, $F del l \ rightarrow E \ rightarrow B.$
Aquí el E del espacio total es una clase de " product" twisted; del B del espacio de la base y del F de la fibra . En general los grupos fundamentales del B, del E y del F son los términos en una secuencia exacta larga que implica grupos homotopy más altos . Cuando todos los espacios están conectados, éste tiene las consecuencias siguientes para los grupos fundamentales:
&pi del
; ₁ ( B ) y π ₁ ( E ) son isomorfos si el F está conectado simplemente
π ₁ ( B ) y π ₁ ( F ) son isomorfos si el E es contractible

Relación al primer grupo de la homología
Los grupos fundamentales de un X del espacio topológico se relacionan con su primer grupo singular de la homología, porque un lazo es también un ciclo del singular 1. El trazado de la clase homotopy de cada lazo en un bajo x ₀ del punto a la clase de la homología del lazo da un homomorfismo del &pi fundamental del grupo; ( X, x ₀) al H ₁ ( X ) del grupo de la homología. Si el X trayectoria-está conectado, después este homomorfismo es el Surjective y su núcleo es el subgrupo del conmutador de π ( X, x ₀), y el H ₁ ( X ) es por lo tanto isomorfo al abelianization del π ( X, x ₀). Éste es un caso especial del teorema de Hurewicz de la topología algebraica. Espacio universal de la cubierta
considera también:
l espacio de la cubierta Si el X es un espacio topológico que es trayectoria conectada, localmente trayectoria conectada y localmente conectada simplemente, después tiene un espacio universal simplemente conectado de la cubierta en el cual el &pi fundamental del grupo; ( X, x ₀) el actúa libremente por las transformaciones de la cubierta con el X del espacio de cociente . Este espacio se puede construir análogo al grupo fundamental tomando los pares ( x, γ), donde está el x un punto en el X y γ es un homotopy clasifica de trayectorias del x ₀ al x y a la acción del π ( X, x ₀) está por el encadenamiento de trayectorias. Se determina únicamente como espacio de la cubierta.

Ejemplos
Dejar el G ser conectada, conectó simplemente el grupo de mentira compacto, por ejemplo el unitario especial n del _{del SU grupo, y dejar Γ ser un subgrupo finito del G . Entonces el homogéneo X del espacio = el G /Γ tiene el grupo fundamental Γ, que actúa por la multiplicación correcta en el universal G del espacio de la cubierta. Entre las muchas variantes de esta construcción, una del más importante es dado por el =Γ \ el simétricos G / K del X de los espacios localmente, donde
el G del es un grupo de mentira simplemente conectado, conectado no compacto (a menudo semisimple ),
El K es un subgrupo compacto máximo del G
Γ es un subgrupo Torsión-libre contable discreto del G .
En este caso el grupo fundamental es Γ y el universal G / K del espacio de la cubierta es realmente Contractible (por la descomposición de Cartan para los grupos de mentira .
Como G de la toma del ejemplo = SL ₂ ( R ), K = TAN ₂ y Γ cualquie subgrupo torsión-libre de la congruencia modular SL ₂ ( Z ) del grupo .
Un ejemplo incluso más simple es dado por el G = el R (de modo que el K sea trivial) y Γ = Z : en este caso X = R / Z = S ¹.
De la realización explícita, también sigue que el espacio universal de la cubierta de un topológico conectado trayectoria H del grupo es otra vez un topológico conectado trayectoria G del grupo. Por otra parte el mapa de la cubierta es un homomorfismo abierto continuo del G sobre el H con el núcleo Γ, un subgrupo normal discreto cerrado G : $1 \ rightarrow \ gamma \ rightarrow G \ rightarrow H \ rightarrow 1.$ del
l
Puesto que el G es un grupo conectado con una acción continua por la conjugación en un grupo discreto Γ, debe actuar trivial, de modo que Γ tenga que ser un subgrupo del centro G . Particularmente π ₁ ( H ) = Γ es un grupo abeliano ; esto puede también ser vista fácilmente directo sin usar espacios de la cubierta. El G del grupo se llama el grupo universal de la cubierta del H .

grupo de la Borde-trayectoria de un complejo simplicial
Si el X es un conectado Simplicial complejo de, una borde-trayectoria del en el X se define para ser una cadena de las cimas conectadas por los bordes en el X . Dos borde-trayectorias reputar el borde-equivalente si uno se puede obtener del otro sucesivamente cambiando entre un borde y los dos bordes opuestos de un triángulo en el X . Si el v es una cima fija en el X, un borde-lazo del en el v es una borde-trayectoria que comienza y que termina en el v . El E ( X, v ) del grupo de la borde-trayectoria del se define a ser el sistema de clases de la borde-equivalencia de borde-lazos en el v, con el producto y lo contrario definidos por el encadenamiento y la revocación de borde-lazos. El grupo de la borde-trayectoria es naturalmente isomorfo a π₁ (| X |, v ), el grupo fundamental de la realización geométrica | X | del X . Puesto que depende solamente 2 esquelético X ² del X (es decir las cimas, los bordes y los triángulos del X ), los grupos π₁ (| X |, v ) y π₁ (| X ²|, el v ) es isomorfo.
El grupo de la borde-trayectoria se puede describir explícitamente en términos de generadores y relaciones . Si el T es el atravesar máximo - el árbol en el 1 esquelético del X, después de E ( X, v ) es canónico isomorfo al grupo con los generadores los bordes orientados del X que no ocurre en el T y las relaciones que las borde-equivalencias que corresponden a los triángulos en el X que contiene uno o más afilan no en el T . Un resultado similar celebra si el T es substituido por cualquier simplemente conectado - particularmente Contractible - subcomplex del X . Esto da una manera práctica de computar a grupos fundamentales y se puede a menudo utilizar para demostrar que cada finito actual grupo se presenta como el grupo fundamental de un complejo simplicial finito. Es también uno de los métodos clásicos usados para las superficies topológicas que son clasificadas por sus grupos fundamentales.
El espacio universal de la cubierta del de un complejo simplicial conectado finito X se puede también describir directo como complejo simplicial usar las borde-trayectorias. Sus cimas son pares ( w, γ) donde está una cima el w del X y γ es una clase de la borde-equivalencia de trayectorias del v al w . El k - simplexes que contienen (el w, γ) corresponder naturalmente al k - simplexes que contienen el w . Cada nuevo u de la cima del k - el simplex da a wu del borde y por lo tanto, por el encadenamiento, un nuevo u de la trayectoria γ_{del v al u . Los puntos ( w, γ) y (el u, el u} de γ_{) son las cimas del " transported" simplex en el espacio universal de la cubierta. El grupo de la borde-trayectoria actúa naturalmente por el encadenamiento, preservando la estructura simplicial, y el espacio de cociente es apenas el X .}
Es bien sabido que este método se puede también utilizar para computar el grupo fundamental de un espacio topológico arbitrario. Esto era sabida sin duda alguna al Cech y al Leray y aparecida explícitamente como observación en un papel por el Weil (1960); otros autores tales como L. Berikashvili también han publicado pruebas. En el caso más simple de un compacto X del espacio con un finito abren la cubierta en la cual todas las intersecciones finitas no vacías de sistemas abiertos en la cubierta son contractible, el grupo fundamental se pueden identificar con el grupo de la borde-trayectoria de la correspondencia compleja simplicial al nervio de la cubierta .

Realizabilidad
Cada grupo puede ser observado como el grupo fundamental de un conectado CW-complejo de de la dimensión 2 (o más alto). Según lo observado arriba, aunque, solamente los grupos libres pueden ocurrir como grupos fundamentales de CW-complejos de 1 dimensión (es decir, gráficos). Cada finito actual grupo se puede observar como el grupo fundamental de un acuerdo, conectado, múltiple liso de la dimensión 4 (o más alto). Pero hay las restricciones severas en las cuales los grupos ocurren como grupos fundamentales de múltiples bajo-dimensionales. Por ejemplo, ninguÌn grupo abeliano libre de la fila 4 o más alto puede ser observado como el grupo fundamental de un múltiple de la dimensión 3 o menos.

Conceptos relacionados
El grupo del fundamental mide la estructura de 1 dimensión del agujero de un espacio. Para estudiar el " holes" alto-dimensional;, se utilizan los grupos de Homotopy. Los elementos del n - el grupo homotopy del th del X es clases homotopy (basepoint-preservando) de mapas del n}} del ^{del S al X . El sistema de lazos en un punto bajo particular puede ser estudiado sin la consideración de lazos homotópicos como equivalente. Este objeto más grande es el espacio del lazo.

Groupoid fundamental
Algo que seleccionando un punto y considerando los lazos basados en ese punto hasta homotopy, uno puede también considerar el todas las trayectorias de en el espacio hasta homotopy (fijando el punto inicial y final). Esto rinde no un grupo sino un Groupoid, el groupoid fundamental del espacio.
Ver también
Hay también nociones similares del grupo fundamental para las variedades algebraicas (el grupo fundamental del étale) y para el Orbifolds (el grupo fundamental del orbifold).
Acoplamiento
Animaciones a introducir al grupo fundamental de Nicolás Delanoue .
Zenithic
James DennistounRandom links: Https | Laval del oeste | Edward Mooney | Marcelino Sanz de Sautuola | Eleonore de Reuss-Köstritz}

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