En las matemáticas, un G del grupo se llama el libre si hay un S del subconjunto G tales que cualquier elemento del G se puede escribir en uno y solamente una forma como producto finito de muchos elementos del S y de sus lo contrario (sin hacer caso de variaciones triviales tales como st-1 = el su-1ut-1 ).
Una noción relacionada pero diversa es el grupo abeliano libre .
Historia
Los grupos libres primero se presentaron en el estudio de la geometría hiperbólica, como los ejemplos Fuchsian agrupan (grupos discretos que actúan por los isometries en el plano hiperbólico ). En un papel 1882, el Walther von Dyck precisó que estos grupos tienen las presentaciones posibles más simples . El estudio algebraico de grupos libres fue iniciado por el Jacobo Nielsen en 1924, que les dio su nombre y estableció muchas de sus características básicas. El Dehn máximo realizó la conexión con topología, y obtuvo la primera prueba del teorema completo de Nielsen-Schreier. El Otto Schreier publicó una prueba algebraica de este resultado en 1927, y el Kurt Reidemeister incluyó un tratamiento comprensivo de grupos libres en su libro 1932 en topología combinatoria. Más tarde en los años 30, el Wilhelm Magnus descubrió la conexión entre la serie central más baja de los grupos libres y de las álgebra de mentira libres
Ejemplos
El grupo ( Z, +) de números enteros está libre; podemos tomar el S = {1}. Un grupo libre en un determinado S del dos-elemento ocurre en la prueba de la paradoja de Banach-Tarski y se describe allí.En la topología algebraica, el grupo fundamental de un ramo de los círculos (un sistema de '' k '' de lazos del k que tienen solamente un punto en campo común) es el grupo libre en un sistema de elementos del k .
Construcción
El libre FS del grupo con el de generación libre S del sistema se puede construir como sigue. Primero, definir una palabra del en el S para ser cualquier producto escrito de elementos del S y de sus lo contrario. Por ejemplo, si del S ; = { un, b, c }, entonces a^ del c^ del es una palabra en el S . Si un elemento del S miente inmediatamente al lado de su lo contrario, la palabra puede ser simplificada omitiendo el s, pares del s -1: a^ del c^ del Una palabra que no puede ser simplificada más lejos se llama reducido . El libre FS del grupo se define para ser el grupo de todas las palabras reducidas en el S . La operación del grupo en el FS es el encadenamiento de las palabras (seguidas por la reducción en caso de necesidad).
Característica universal
El libre FS del grupo es el grupo universal generado por el S del sistema. Esto se puede formalizar por la característica universal siguiente: dado cualquie &fnof de la función; del S a un G del grupo, existe un &phi único del del homomorfismo ; : FS → El G que hace que el siguiente diagram conmuta: Es decir, del FS de los homomorphisms; → El G está en correspondencia una por con el del S de las funciones; → G . Para un grupo no-libre, la presencia de las relaciones restringiría las imágenes posibles de los generadores bajo homomorfismo.La característica antedicha caracteriza a grupos libres hasta el isomorfismo, y se utiliza a veces como definición alternativa. Se conoce como la característica universal de grupos libres, y el determinado de generación S se llama una base para el FS . La base para un grupo libre no es únicamente resuelta.
Está siendo siendo caracterizado por una característica universal la característica estándar se opone libremente en la álgebra universal . En la lengua de la teoría de la categoría, la construcción del grupo libre (similar a la mayoría de las construcciones de objetos libres) es un Functor de la categoría de los sistemas a la categoría de los grupos . Este functor es el adjoint dejado al functor olvidadizo de grupos a los sistemas.
Hechos y teoremas
Algunas características de grupos libres siguen fácilmente de la definición:cualquier G del grupo es la imagen homomórfica de un cierto grupo libre F ( S ). Dejar el S ser un sistema de los generadores del G . El natural f del mapa: &RARR DE F ( S ); El G es un epimorphism, que prueba la demanda. Equivalente, el G es isomorfo a un grupo del cociente de un cierto grupo libre F ( S ). El núcleo del f es un sistema de las relaciones del en la presentación G . Si el S se puede elegir para ser finito aquí, después el G se llama el finito generado.
Algunos otros resultados relacionados son: El &ndash de Nielsen ; Teorema de Schreier : Cualquier subgrupo de un grupo libre está libre.
Grupo abeliano libre
considera también:
l [[grupo abeliano libre]]
Definen al grupo abeliano libre en un S del sistema vía su característica universal de la manera análoga, con modificaciones obvias: Considerar un par ( F, &phi del ; ), donde está un &phi el F del grupo abeliano y del ; : &rarr del S ; El F es una función. El F reputa el grupo abeliano libre del en el S con respecto a &phi del ; si para cualquie G del grupo abeliano y cualquie &psi del de la función; : &rarr del S ; El G, allí existe un único f del homomorfismo: &rarr del F ; G tales que f (&phi del
l del ; ( s )) = &psi del ; ( s ), para todo el s en el S .
El grupo abeliano libre en el S puede ser identificado explícitamente como el modulo libre del grupo F ( S ) que el subgrupo generó por sus conmutadores, F ('' S ''), es decir. Es decir el grupo abeliano libre en el S es el sistema de las palabras que se distinguen solamente hasta la pedido de letras. La fila de un grupo libre puede por lo tanto también ser definida como la fila de su abelianisation como grupo abeliano libre.
Problemas de Tarski
Alrededor 1945, Alfred Tarski pedido si los grupos libres en dos o más generadores tener la misma primera teoría de la orden, y si esta teoría es el decidible. Independiente, una prueba para ambos problemas, y una prueba del primer problema, se han anunciado (ambos en la respuesta afirmativa). Ni uno ni otro todavía se ha juzgado correcto y completo. Para los detalles, ver el problema abierto (O8) en la cooperativa de la teoría de grupo de Nueva York.| Random links: | Guillermo Grenville, 1r barón Grenville | Trinquete de la moleta | Scarborough, Yorkshire del norte | Confederación de Terran | Chris Bachalo |