Grupo linear especial - Enciclopedia España

En las matemáticas, el grupo linear especial del n del grado sobre un F del campo es el sistema de × del n ; matrices n con el determinante 1, con las operaciones del grupo de la multiplicación ordinaria de la matriz y de la inversión de la matriz. Éste es el subgrupo normal del grupo linear general, dado por el núcleo del $\ del det \ de los dos puntos \ del operatorname determinantes del {GL} (n, F) \ a F^*.$

Interpretación geométrica

El grupo linear especial SL ( n, R ) se puede caracterizar como el grupo del volumen y de la orientación que preserva transformaciones lineares de del n del ^{del R ; esto corresponde a la interpretación del determinante como cambio de medición en volumen y la orientación.
Subgrupo de la mentira
Cuando el F es el R o el C, el SL ( n ) es un subgrupo de la mentira de GL ( n ) del &minus del n ² de la dimensión; 1. La álgebra de mentira de SL ( n ) consiste en todos los × del n ; las matrices del n sobre el F con el vanishing remontan . El soporte de la mentira es dado por el conmutador .
Topología
El grupo SL ( n, C ) está conectado simplemente mientras que no es el SL ( n, R ). El SL ( n, R ) tiene el mismo grupo fundamental que GL⁺ ( n, R ), es decir, Z para el n =2 y Z ₂ para el > del n ; 2.
Relaciones a otros subgrupos de GL ( n, A )
considera también:
l lema de Whitehead
Dos subgrupos relacionados, que coinciden en algunos casos con el SL, y en otros casos se combinan accidentalmente con el SL, son el subgrupo del conmutador de GL, y el grupo generado por el Transvections éstos es ambos subgrupos de SL (los transvections tienen determinante 1, y el det es un mapa a un grupo abeliano, así que $\ leq \ el operatorname {SL}$ ), pero en general no coincide con él.
El grupo generado por transvections es el _n denotado del $\ del operatorname {E} (A)$ (para las matrices elementales ) o _n del $\ del operatorname {TV} (A)$ . Por la segunda relación de Steinberg, para el $n \ el geq 3$ , los transvections son conmutadores, tan para el $n \ geq3$ , _n del $\ del operatorname {E} (A) \ leq$ . ¡ Para $n=2$ , los transvections no necesitan ser conmutadores (de 2× 2 matriz), como visto por ejemplo cuando $A$ es el campo de dos elementos, entonces $\ operatorname {Alt} (3) \ cong < \ operatorname {E} _2 (\ mathbb {Z} /2 \ mathbb {Z}) = \ operatorname {SL} _2 (\ mathbb {Z} /2 \ mathbb {Z}) = \ operatorname {GL} _2 (\) \ cong \ operatorname {Sym} (3)$ del mathbb {Z} /2 \ mathbb {Z}.
En algunas circunstancias éstos coinciden: transvections genera al grupo linear especial sobre un campo o los números enteros, y el grupo linear especial estable del sobre un dominio de Dedekind es generado por transvections. Para anillos más generales la diferencia estable es medida por el grupo especial $SK_1 de Whitehead (A): = \ operatorname {SL} (a) \ operatorname {E} (A)$ , donde están los grupos el $\ el operatorname {SL} (A)$ y $\ el operatorname {E} (A)$ estables del grupo linear especial y de las matrices elementales.

Generadores y relaciones
Si trabaja sobre un anillo donde el SL es generado por transvections (tales como un anillo o los números enteros), uno puede dar una presentación del SL usar transvections con algunas relaciones. Transvections satisface las relaciones de Steinberg, pero éstos no son suficientes: el grupo resultante es el grupo de Steinberg, que no es el grupo linear especial, pero algo la extensión central universal del subgrupo del conmutador de GL. Un suficiente sistema de las relaciones para, \ mathbf {Z} del $\ del operatorname {SL} (n)$ para el $n \ el geq 3$ es dado por dos de las relaciones de Steinberg, más una tercera relación. Dejar el $T_ {ij}: = el e_ {ij} (1)$ sea la matriz elemental con 1 en la diagonal y en la posición de $ij$ , y 0 a otra parte (y el $i \ neq j$ ). Entonces el $del \ comienza {alinear} \ dejó T_ {ij}, T_ {jk} \ && de T_ del &= {ik} \ mbox correctos {para} de i \ del neq k \ \ \ dejó T_ {ij}, T_ {kilolitro} \ &= correcto \ && del mathbf {1} \ mbox {para} i \ neq l, de j \ del neq k \ \ (^ de T_ {12} T_ {21} {- 1} T_ {12}) del &= ^4 \ del mathbf {1} \ \ \ extremo {alinear}$ son completo sistema de relación para $\ operatorname {, \ mathbf {Z} del SL} (n)$ , $n \ geq 3$ .

Estructura de GL ( n, F )
Desde determinante $\ det \ dos puntos \ operatorname {GL} (n, F) \ a F^*$ fractura (vía $F^* \ stackrel {\ sim} {\ a} \ operatorname {GL} (1, F) \ hookrightarrow \ operatorname {GL} (N, F)$ ), GL ( n, F ) se puede escribir como producto semidirecto de SL ( n, F ) por los ^{× del F ;}:
GL ( n, F ) del
= ^{× del F del ⋊ del SL ( n, F );} .
Zenithic
Agnes Meyer DriscollRandom links: Autobús urbano | El municipio de Lilley, Michigan | Carlisle, Ohio | Condado de Foix | Protagonistas}

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