En las matemáticas, el grupo simpléctico conocido puede referir a dos diferentes, pero estrechamente vinculados, los tipos de los grupos matemáticos . En este artículo, denotaremos estos dos grupos del SP (2 n, F ) y SP ( n ). Este 3ultimo a veces se llama el acuerdo del el grupo simpléctico para distinguirlo del anterior. Observar que muchos autores prefieren notaciones levemente diversas, diferenciando generalmente por factores de 2. La notación usada aquí es constante con el tamaño de las matrices usadas para representar a los grupos.

El nombre es debido al Hermann Weyl (el detalla ), y es el análogo griego del " complex". El grupo simpléctico era anterior conocido como la línea grupo complejo .

SP (2 n, F )

El grupo simpléctico del n del grado 2 sobre un F, SP denotado (2 n, F ) del campo, es el grupo 2n al lado de las matrices simplécticas 2n con las entradas en el F, y con la operación del grupo que de la multiplicación de la matriz. Puesto que todas las matrices simplécticas tienen determinante de la unidad, el grupo simpléctico es un subgrupo del grupo linear especial SL (2 n, F ).

Más abstracto, el grupo simpléctico puede ser definido como el sistema de las transformaciones lineares 2 de un n - espacio de vector dimensional sobre el F que preserven un Nondegenerate, Sesgar-simétrico, forma bilinearia . Tal espacio de vector se llama un espacio de vector simpléctico . El grupo simpléctico de un simpléctico abstracto V del espacio de vector es SP también denotado ( V ).

Cuando el n = 1, la condición simpléctica en una matriz es el satisfied Iff el determinante es uno de modo que SP (2, F ) = SL (2, F ). Para el n > 1, allí son condiciones adicionales.

Típicamente, el F del campo es el campo del R de los números verdaderos, o el C de los números complejos . En este caso el SP (2 n, F ) es un grupo de mentira verdadero/complejo del verdadero/complejo n (2 n de la dimensión + 1). Estos grupos son conectados el pero no compacto. El SP (2 n, C ) es el simplemente conectado mientras que el SP (2 n, R ) tiene un grupo fundamental isomorfo al ''' del ''' Z.

La álgebra de mentira de SP (2 n, F ) es dada por el sistema de 2 × del n ; A de 2 matrices del n (con las entradas en el F ) que satisfacen el $\backslash \; Omega\; del\; A\; +\; A^T\; \backslash \; Omega\; =\; 0$ donde está el $A^T$ transportar del A y del Ω es el $\backslash \; la\; Omega\; =\; el\; sesgar-simétricos\; del\; dela\; matriz\backslash \; comenzar\; \{el\; pmatrix\}\; 0\; y\; de\; I\_n\; \backslash \; \backslash \; -\; I\_n\; y\; 0\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; extremo\; \{pmatrix\}.$

SP ( n )

El grupo simpléctico, SP ( n ), es el subgrupo de GL (n, H ) (matrices quaternionic inversible ) que que preserve la forma hermitiana estándar en el n del ^{del H : $del\; \backslash \; langle\; x,\; =\; \backslash \; barra\; x\_1\; de\; y\; \backslash \; del\; rangle\; y\_1\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \backslash \; x\_n\; y\_n$ de la barra Es decir, el SP ( n ) es apenas el grupo unitario, U ( n, H ) quaternionic. De hecho, a veces se llama el el grupo hyperunitary . También SP (1) es el grupo de quaternions de la unidad 1, o la esfera S3 3.}

Observar que el SP ( n ) es el no al grupo simpléctico en el sentido del section&mdash anterior; no preserva una forma sesgar-simétrica non-degenerate en el n del ^{del H (de hecho, la única forma sesgar-simétrica es la forma cero); es algo una forma verdadera de la álgebra de mentira simpléctica compleja.}

El SP ( n ) es un grupo de mentira verdadero del n (2 n de la dimensión + 1). Es el compacto, conectado el, y simplemente conectado. Puede ser definido por el $Sp\; del\; dela\; intersección(n)=U\; (2n)\; \backslash \; SP\; del\; casquillo\; (2n,\; \backslash \; mathbb\; \{C\})$ donde el $U\; (2n)$ representa el grupo unitario. La álgebra de mentira de SP ( n ) es dada por las matrices Sesgar-Hermitianas quaternionic, el sistema del n por las matrices quaternionic del n que satisfacen el
$A+A^\; del$
{\ daga} = 0 donde está la conjugación el $A^\; \{\backslash \; daga\}$ transportar del A (aquí uno toma la conjugación quaternionic). El soporte de la mentira es dado por el conmutador.

Relaciones entre los grupos simplécticos

La relación entre el SP de los grupos (2 n, R ), SP (2 n, C ), y SP ( n ) es la más evidente en el nivel de sus álgebra de mentira que resulta las álgebra de mentira de estos tres grupos, cuando está considerada como grupos de mentira verdaderos, toda comparte la misma complejación . En clasificación de s de Cartan la 'del simple álgebra de las álgebra de mentira esta es el denotado n del _{del C .}

Indicado levemente diferentemente, el complejo n del _{del C de la álgebra de mentira es apenas el SP (2 n, C ) del de la álgebra del SP complejo del grupo de mentira del (2 n, C ). Esta álgebra tiene varios}

.