En las matemáticas, un grupo simple es un grupo que no es el grupo trivial y cuyos subgrupos normales del único son el grupo trivial y el grupo sí mismo.

Por ejemplo, el cíclico G del grupo = el Z Z /3 del modulo 3 de las clases de la congruencia (véase la aritmética modular ) es simple. Si el H es un subgrupo de este grupo, su orden (el número de elementos) debe ser un divisor de la orden del G que es 3. Puesto que 3 es primeros, sus solamente divisores son 1 y 3, así que o el H es el G, o el H es el grupo trivial. Por una parte, el G del grupo = el Z Z /12 no es simple. El H del sistema de las clases de la congruencia de 0, de 4, y 8 el modulo 12 es un subgrupo de la orden 3, y de él es un subgrupo normal puesto que cualquier subgrupo de un grupo abeliano es normal. Semejantemente, el aditivo Z del grupo de los números enteros no es simple; el sistema incluso de números enteros es un subgrupo normal apropiado no trivial.

Uno puede utilizar la misma clase de razonar para cualquier grupo abeliano, para deducir que los únicos grupos abelianos simples son los grupos cíclicos de la orden de la prima . La clasificación de grupos simples nonabelian es lejos menos trivial. El grupo simple nonabelian más pequeño es el de alternancia A ₅ del grupo de la orden 60, y cada grupo simple de la orden 60 es el isomorfo al A ₅. El segundo grupo simple nonabelian más pequeño es el linear especial descriptivo PSL (2.7) del grupo de la orden 168, y es posible probar que cada grupo simple de la orden 168 es isomorfo al PSL (2.

Los grupos simples finitos son importantes porque en cierto sentido son el " blocks" básico del edificio; de todos los grupos finitos, algo similares a los números primeros de la manera son los bloques huecos básicos de los números enteros que esto es expresada por el teorema de Jordania-Hölder. En un esfuerzo de colaboración enorme, la clasificación de los grupos simples finitos fue lograda en 1982.

El teorema famoso Feit y Thompson indica que cada grupo de orden impar es el soluble. Por lo tanto cada grupo simple finito tiene incluso orden a menos que sea cíclico de la orden primera.

Los grupos simples de orden infinita también existen: Los grupos de mentira simples y el infinito T de los grupos de Thompson y el V son ejemplos de éstos.

La conjetura de Schreier afirma que el grupo de los automorfismos externos de cada grupo simple finito es el soluble. Esto se puede probar usar el teorema de la clasificación.

Ver también