El Hadamard transforma (también sabido como el Walsh-Hadamard transforma, el Hadamard-Rademacher-Walsh transforma, el Walsh transforma, o el Walsh-Fourier transforma ) es un ejemplo de una clase generalizada de Fourier transforma que se nombra para el francés Jacques Solomon Hadamard del matemático, el Alemán-Americano Juan Adolph Rademacher del matemático, y el americano José Leonard Walsh del matemático. Realiza un ortogonal, simétrico, Involutary, operación linear en los números verdaderos de $2^m$ (o los números complejos aunque las matrices ellos mismos de Hadamard sean puramente verdaderas).

El Hadamard transforma puede ser mirado como siendo construido fuera size-2 Fourier discreto transforma (DFTs), y es de hecho equivalente a un DFT multidimensional del tamaño $2\; \backslash \; times2\; \backslash \; épocas\; \backslash \; cdots\; \backslash \; times2\; \backslash \; times2$. Descompone un vector arbitrario de la entrada en una superposición de las funciones de Walsh

Definición

El Hadamard transforma $H\_m$ es una matriz de $2^m\; \backslash \; de\; las\; épocas\; 2^m$, la matriz de Hadamard (escalado por un factor de la normalización), que transforma los números verdaderos $x\_n$ de $2^m$ en los números verdaderos $X\_k$ de $2^m$. Podemos definir el Hadamard transformamos de dos maneras: recurrentemente, o usando la representación binaria ( bajo -2) de los índices $n$ y $k$.

Recurrentemente, definimos el $1\; \backslash \; el\; times1$ Hadamard transformamos $H\_0$ por la identidad $H\_0\; =\; 1$, y después definimos $H\_m$ para el $m\; >\; 0$ cerca:

$H\_m\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt2\}\; \backslash \; comienzan\; \{pmatrix\}\; H\_\; \{m-1\}\; y\; H\_\; \{m-1\}\; \backslash \; \backslash \; H\_\; \{m-1\}\; y\; -\; H\_\; \{m-1\}\; \backslash \; extremo\; \{pmatrix\},$

donde está una normalización el $1/\backslash \; el\; sqrt2$ que se omite a veces. Así, con excepción de este factor de la normalización, las matrices de Hadamard se componen enteramente de 1 y de − 1.

Equivalente, podemos definir la matriz de Hadamard por su $(k,\; entrada\; de\; n)$-th escribiendo el $k=k\_\; \{m-1\}\; 2^\; \{m-1\}\; +\; el\; k\_\; \{m-2\}\; 2^\; \{m-2\}\; +\; \backslash \; los\; cdots\; +\; k\_1\; 2\; +\; k\_0$ y el $n=n\_\; \{m-1\}\; 2^\; \{m-1\}\; +\; el\; n\_\; \{m-2\}\; 2^\; \{m-2\}\; +\; \backslash \; los\; cdots\; +\; n\_1\; 2\; +\; n\_0$, donde están los dígitos los $k\_j$ y los $n\_j$ binarios (0 o 1) de $n$ y de $k$, respectivamente. En este caso, tenemos: $del$

l \ (H_m \ derecho) = dejado \ frac {1} del _ {k, n} {2^ {m/2}} (- ^ de 1) {\ n_j del k_j del sum_j} .

Éste es exactamente el $2\; \backslash \; el\; times2\; \backslash los\; tiempos\backslash \; los\; cdots\; multidimensionales\; \backslash \; times2\; \backslash \; times2$ DFT, normalizado para ser el unitario, si miramos las entradas y las salidas como matrices multidimensionales puestas en un índice por el $n\_j$ y el $k\_j$, respectivamente.

Algunos ejemplos de las matrices de Hadamard siguen.

l $H\_0\; =\; +1$

$H\_1\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt2\}\; \backslash \; comienzan\; \{pmatrix\}\; \backslash \; comienzan\; \{arsenal\}\; \{rr\}\; 1\; y\; 1\; \backslash \; \backslash \; 1\; y\; -1\; \backslash \; fin\; \{\}\; \backslash \; extremo\; \{pmatrix\}$ del arsenal

(Este $H\_1$ es exacto el size-2 DFT. Puede también ser mirado mientras que el Fourier transforma en el grupo aditivo del del dos-elemento del Z /(2).)

$H\_2\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \backslash \; comienza\; \{pmatrix\}\; \backslash \; comienza\; \{arsenal\}\; \{rrrr\}\; 1\; y\; 1\; y\; 1\; y\; 1\; \backslash \; \backslash \; 1\; y\; -1\; y\; 1\; y\; -1\; \backslash \; \backslash \; 1\; y\; 1\; y\; -1\; y\; -1\; \backslash \; \backslash \; 1\; y\; -1\; y\; -1\; y\; 1\; \backslash \; fin\; \{\}\; \backslash \; extremo\; \{pmatrix\}$ del arsenal

= \ frac {1} del $H\_3\; \{2^\; \{3/2\}\}\; \backslash \; comienzan\; \{pmatrix\}\; \backslash \; comienzan\; \{arsenal\}\; \{rrrrrrrr\}\; 1\; y\; 1\; y\; 1\; y\; 1\; y\; 1\; y\; 1\; y\; 1\; y\; 1\; \backslash \; \backslash \; 1\; y\; \backslash \; -1\; y\; 1\; y\; -1\; y\; 1\; y\; -1\; y\; 1\; y\; -1\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; de\; 1\; y\; de\; 1\; y\; de\; -1\; y\; de\; -1\; y\; de\; 1\; y\; de\; 1\; y\; de\; -1\; y\; de\; -1\; \backslash \; \backslash \; 1\; y\; -1\; y\; -1\; y\; 1\; y\; 1\; y\; -1\; y\; -1\; y\; 1\; 1\; y\; 1\; y\; 1\; y\; 1\; y\; -1\; y\; -1\; y\; -1\; y\; -1\; \backslash \; \backslash \; 1\; y\; -1\; y\; 1\; y\; -1\; y\; -1\; y\; 1\; y\; -1\; y\; 1\; \backslash \; \backslash \; 1\; y\; 1\; y\; -1\; y\; -1\; y\; -1\; y\; -1\; y\; 1\; y\; 1\; \backslash \; \backslash \; 1\; y\; -1\; y\; -1\; y\; 1\; y\; -1\; y\; 1\; y\; 1\; y\; -1\; \backslash \; fin\; \{\}\; \backslash \; extremo\; \{pmatrix\}\; del\; arsenal.$

Las filas de las matrices de Hadamard son las funciones de Walsh

Usos de la computación de Quantum

En la tratamiento de la información de Quantum la transformación de Hadamard, más a menudo llamada la puerta de Hadamard del en este contexto (cf. puerta de Quantum), es una rotación de Qubit de uno, trazando la qubit-base indica el $|0\; \backslash \; rangle$ y $|1\; \backslash \; rangle$ a dos estados de la superposición con el peso igual de la base de cómputo indica el $|0\; \backslash \; rangle$ y $|1\; \backslash \; rangle$. Las fases se eligen generalmente de modo que tengamos $del$

l \

del frac Otros usos

El Hadamard transforma se puede también utilizar para generar los números al azar con una distribución gausiana por el teorema de límite central . O usted puede combinar una serie de Hadamard transforma con las permutaciones al azar para transformar datos en el ruido gausiano .

El Hadamard transforma se utiliza en muchos el tratamiento de señales, y los algoritmos de la compresión de datos, tal como foto HD. En usos de la compresión video, se utiliza generalmente bajo la forma de suma de las diferencias transformadas absolutas .

Ver también

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