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En las matemáticas, una hipérbola ( griego del literalmente el “llegar más allá” o “exceso ") es un tipo de la sección cónica definido como la intersección entre una superficie cónica circular correcto y un plano que corte a través ambas mitades del cono.

Puede también ser definido como el lugar geométrico de los puntos donde está constante la diferencia en la distancia a dos puntos fijos (llamados los focos ). Esa diferencia fija en distancia es de dos veces al donde está la distancia el un del centro de la hipérbola a la cima de la rama más cercana de la hipérbola. el un también se conoce como el eje semi-principal de la hipérbola. Los focos mienten en el eje transversal y su punto mediano se llama el centro.

Para una prueba geométrica simple que las dos caracterizaciones antedichas son equivalentes el uno al otro, ver las esferas de Dandelin.

Algebraico, una hipérbola es una curva en el plano de cartesiano definida cerca una ecuación del $A\; del\; de\; la\; forma\; x^2\; +\; B\; xy\; +\; C\; y^2\; +\; D\; x\; +\; E\; y\; +\; F\; =\; 0$ tales que $B^2\; >\; 4\; AC$, donde están verdaderos todos los coeficientes, y donde más de una solución, definiendo un par de puntos (x, y) en la hipérbola, existe.

El gráfico de dos variables que varían inverso en el plano coordinado cartesiano es una hipérbola.

Definiciones

Los primeros dos eran mencionados arriba:

la intersección entre una superficie cónica circular correcta y un plano que corta a través ambas mitades del cono.

el lugar geométrico de los puntos donde está constante la diferencia en la distancia a dos puntos fijos (llamados los focos).

el lugar geométrico de los puntos para los cuales el cociente de las distancias a un foco y a una línea (llamado la directriz) es un constante más en gran parte de 1. Este constante es la excentricidad de la hipérbola.

Una hipérbola abarca dos curvas desconectadas llamadas sus brazos o las ramas que separen los focos. En las distancias grandes de los focos la hipérbola comienza a aproximar dos líneas, sabidas como las asíntotas que las asíntotas cruzan en el centro de la hipérbola y que tienen $\backslash \; P.\; \backslash \; frac\; \{b\}\; \{a\}\; de\; lacuesta$ para una hipérbola o un $Este-Oeste\; \backslash \; P.\; \backslash \; frac\; \{a\}\; \{b\}\; de\; la\; abertura$ para una hipérbola norte-sur de la abertura.

Una hipérbola tiene la característica que un rayo que origina a la una de los focos es reflejado a fin de aparecer haber originado en el otro foco. También, si los rayos se dirigen hacia uno de los focos del exterior de la hipérbola, serán reflejados hacia los otros focos.

el caso especial de la hipérbola es el la hipérbola rectangular equilateral de o del, en la cual las asíntotas intersecan a los ángulos correctos la hipérbola rectangular con las hachas coordinadas mientras que sus asíntotas son dadas por el xy=c del de la ecuación, donde está un constante el c .

Apenas como el seno y funciones del coseno dar a la ecuación paramétrica para la elipse, así que el seno hiperbólico y el coseno hiperbólico dan una ecuación paramétrica para la hipérbola.

Si en hipérbola la ecuación una cambia el x y el y, se obtiene la hipérbola de la conjugación. Una hipérbola y su conjugación tienen las mismas asíntotas.

Ecuaciones

Cartesiano

Hipérbola Este-Oeste de la abertura del centrada en (h, k): de del
del $\backslash \; del\; frac\; \{\backslash \; (x-h\; \backslash \; derecho)\; ^2\; dejado\}\; del$
- \ frac {\ (y-k \ derecho) ^2 dejado} {b^2} {a^2} = 1 Hipérbola norte-sur de la abertura del centrada en (h, k): de del
del $\backslash \; del\; frac\; \{\backslash \; (y-k\; \backslash \; derecho)\; ^2\; dejado\}\; del$
- \ frac {\ (x-h \ derecho) ^2 dejado} {b^2} {a^2} = 1 El eje principal funciona a través del centro de la hipérbola e interseca brazos de la hipérbola en las cimas (puntos de la curva) de los brazos. Los focos mienten en la extensión del eje principal de la hipérbola.

El eje de menor importancia funciona a través del centro de la hipérbola y es perpendicular al eje principal.

En de ambas fórmulas un es el eje Semi-principal (mitad de la distancia entre los dos brazos de la hipérbola medida a lo largo del eje principal), y b es el eje Semi-de menor importancia .

Si uno forma un rectángulo con cimas en las asíntotas y dos lados que son tangente a la hipérbola, la longitud de la tangente de los lados a la hipérbola es el 2b en longitud mientras que los lados que funcionan con paralelo a la línea entre los focos (el eje principal) son el 2a en longitud. Observar que el b puede ser más grande que al .

Si uno calcula la distancia de cualquier punto en la hipérbola a cada foco, el valor absoluto de la diferencia de esas dos distancias es siempre el 2a .

La excentricidad es dada por = \ raíz cuadrada {1+ \ frac {b^2} {a^2} del $e\}\; del$

Los focos para una hipérbola Este-Oeste de la abertura son dados por el $del\; \backslash \; salieron\; (h\; \backslash \; P.\; c,\; k\; \backslash \; derecho)\; de$ por donde c es dada $c^2\; =\; a^2\; +\; b^2$ y para una hipérbola norte-sur de la abertura son dados por el $del\; \backslash \; dejó\; (h,\; k\; \backslash \; P.\; c\; \backslash \; derecho)$ otra vez con $c^2\; =\; a^2\; +\; b^2$

Para las hipérbolas rectangulares con las hachas coordinadas paralelas a sus asíntotas: $del\; (x-h)\; (y-k)\; =\; c\; \backslash ,$

Simple ejemplo de éste son hipérbola

$y=\; \backslash \; frac\; \{m\}\; \{\}\; \backslash ,\; de\; x$.

Polar

Hipérbola Este-Oeste de la abertura del : =a del
$r^2\; del$
de \ sec 2 \ theta \, Hipérbola norte-sur de la abertura del : =-a del
$r^2\; del$
de \ sec 2 \ theta \, hipérbola de la abertura del Noreste-sudoeste del : =a del
$r^2\; del$
de \ csc 2 \ theta \, hipérbola de la abertura del Noroeste-sureste del : =-a del
$r^2\; del$
de \ csc 2 \ theta \,

En todas las fórmulas el centro está en el poste, y el un es el eje semi-principal y eje semi-de menor importancia.

Paramétrico

Hipérbola Este-Oeste de la abertura del : el $del\; de\; \backslash \; comienza\; \{matriz\}\; x\; =\; a\; \backslash \; sec\; de\; t\; +\; de\; h\; \backslash \; \backslash \; y\; =\; b\; \backslash \; tan\; de\; t\; +\; de\; k\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; extremo\; \{matriz\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mathrm\; \{o\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; comenzar\; \{la\; matriz\}\; x\; =\; \backslash \; P.\; a\; \backslash \; garrote\; de\; t\; +\; de\; h\; \backslash \; \backslash \; y\; =\; b\; \backslash \; sinh\; de\; t\; +\; de\; k\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; extremo\; \{matriz\}$

Hipérbola norte-sur de la abertura del : el $del\; de\; \backslash \; comienza\; \{matriz\}\; x\; =\; a\; \backslash \; tan\; de\; t\; +\; de\; h\; \backslash \; \backslash \; y\; =\; b\; \backslash \; sec\; de\; t\; +\; de\; k\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; extremo\; \{matriz\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mathrm\; \{o\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; comenzar\; \{la\; matriz\}\; x\; =\; a\; \backslash \; sinh\; de\; t\; +\; de\; h\; \backslash \; \backslash \; y\; =\; \backslash \; P.\; b\; \backslash \; garrote\; de\; t\; +\; de\; k\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; extremo\; \{matriz\}$

En todas las fórmulas ( h, k ) está el centro de la hipérbola, que un es el eje semi-principal, y el b es el eje semi-de menor importancia.

Ver también

style=" del
Parábola
Círculo
Sector hiperbólico
Ángulo hiperbólico
Función hiperbólica
Trayectoria hiperbólica
Estructura hiperbólica
Hyperboloid
Multilateration
Ecuación diferencial parcial hiperbólica
Crecimiento hiperbólico