La hipótesis de Riemann del (también llamado la zeta-hipótesis de Riemann del ), primero formulada por el Bernhard Riemann en 1859, es uno de los problemas sin resolver más famosos y más importantes de las matemáticas . Ha sido un no se sabe por casi 150 años, a pesar de la atracción de esfuerzos concentrados de muchos matemáticos excepcionales. Desemejante de algunos otros problemas celebrados, es más atractivo a los profesionales en el campo que a los aficionados.

La hipótesis de Riemann (RH) es una conjetura sobre la distribución de los ceros del ζ de la zeta-función de Riemann ( s ). La zeta-función de Riemann se define para todo el ≠ 1. del s de los números complejos . Tiene ceros en incluso los números enteros negativos (es decir en el s = − 2, s = − 4, s = − 6,…). Éstos se llaman los ceros triviales . La hipótesis de Riemann se refiere a los ceros no triviales, e indica eso: el

l la parte real de cualquier cero no trivial de la función de zeta de Riemann es ½.

Así los ceros no triviales deben mentir en la línea crítica ½ + supuesto de él con el t un número verdadero y el i la unidad imaginaria . El Riemann la zeta-función a lo largo de la línea crítica se estudia a veces en términos de Z-función, cuyos ceros verdaderos corresponden a los ceros de la zeta-función en la línea crítica.

La hipótesis de Riemann es uno de los problemas abiertos más importantes de las matemáticas contemporáneas, principalmente porque una gran cantidad de profundos y de importantes otros resultados se han probado bajo condición que se sostiene. La mayoría de los matemáticos creen la hipótesis de Riemann para ser verdad. Littlewood y el Atle Selberg se han divulgado como escépticos. El escepticismo de Selberg, eventualmente, disminuyó a partir de sus días jovenes. En 1989 papel, él sugirió que un análogo se sostuviera para una clase mucho más ancha de funciones, la clase de Selberg.000 ha sido ofrecido por el instituto de las matemáticas de la arcilla para la primera prueba correcta.

Historia

Riemann mencionó la conjetura que se sabía como la hipótesis de Riemann en su de papel del 1859 en el número de prepara menos que una magnitud dada, pero como no era esencial para su propósito central en ese papel, él no intentó una prueba. Riemann sabía que los ceros no triviales de la zeta-función fueron distribuidos simétricamente sobre la línea s = ½ + él, y él sabía que todos sus ceros no triviales deben mentir en el ≤ de la gama 0 con referencia (el s ) al ≤ 1.

En 1896, el Hadamard y el De la Vallée-Poussin probaron independiente que ningunos ceros podrían mentir en la línea con referencia (el s ) a = 1. junto con las otras características de los ceros no triviales probados por Riemann, esto demostraron que todos los ceros no triviales deben mentir dentro de la tira crítica 0 < con referencia (el s ) a < 1. Esto era un paso dominante en las primeras pruebas completas del teorema del número primero.

En 1900, el Hilbert incluyó la hipótesis de Riemann en su lista famosa de los problemas sin resolver 23 - es parte del problema 8 en la lista de Hilbert, junto con la conjetura de Goldbach. Cuando estaba pedida qué él haría si después el dormir despertado por quinientos años, Hilbert dijera famoso su primera pregunta sería si la hipótesis de Riemann había sido probada (2003:197 de Derbyshire; 2003:69 de Sabbagh; 1986:16 de Bollobas). La hipótesis de Riemann es la única de los problemas de Hilbert en los problemas premiados del milenio del instituto de las matemáticas de la arcilla.

En 1914, el robusto probó que un número infinito de ceros miente en la línea crítica con referencia a (el s ) = ½. Sin embargo, era todavía posible que un número infinito (y posiblemente la mayoría) de ceros no triviales podrían mentir a otra parte en la tira crítica. El trabajo posterior por robusto y el Littlewood en 1921 y por Selberg en 1942 dieron las estimaciones para la densidad media de ceros en la línea crítica.

El trabajo reciente se ha centrado en el cálculo explícito de las localizaciones de una gran cantidad de ceros (en la esperanza de encontrar un contraejemplo) y de poner los límites superiores en la proporción de ceros que pueden mentir lejos de la línea crítica (en la esperanza de reducir esto a cero).

La estructura del fractal de los ceros de la zeta de Riemann se ha estudiado usar Análisis Rescaled de la gama. La uno mismo-semejanza de las distribuciones cero es absolutamente notable, y es caracterizado por una dimensión grande del fractal de 1.

La hipótesis de Riemann y prepara

La formulación tradicional de la hipótesis de Riemann obscurece algo la importancia verdadera de la conjetura. La zeta-función tiene una conexión profunda a la distribución Helge von Koch de los números primeros probada en 1901 que la hipótesis de Riemann es equivalente a la considerable consolidación siguiente del teorema del número primero: para cada ε > 0, tenemos $del$

l \ ido|\ pi (x) - \ int_0^x \ frac {\ mathrm {d} t} {\ ln (t)} \ derecho| = O (x^ {1/2+ \ varepsilon}),

donde está la función el π ( x ) de Primero-cuenta, el ln ( x ) es el logaritmo natural x, y la notación del landó se utiliza en el lado derecho. Una versión no-asintótica, debido al Lowell Schoenfeld, dice que la hipótesis de Riemann es equivalente al

Los ceros de la zeta-función de Riemann y los números primeros satisfacen cierta característica de la dualidad, conocida como las fórmulas explícitas, que demuestra que en la lengua del análisis de Fourier los ceros de la zeta-función de Riemann se pueden mirar como el que las frecuencias armónicas en la distribución de preparan.

La hipótesis de Riemann puede ser generalizada substituyendo la zeta-función de Riemann por el formalmente similar, solamente L-funciones mucho más generales, más globales En este ajuste más amplio, uno cuenta con los ceros no triviales del global L - las funciones para tener parte real el 1/2, y ésta se llama Hipótesis generalizada (GRH) de Riemann. Es esta conjetura, algo que la hipótesis clásica de Riemann solamente para la sola zeta-función de Riemann, que explica la importancia verdadera de la hipótesis de Riemann en matemáticas. Es decir la importancia “de la hipótesis de Riemann” en matemáticas proviene hoy realmente la importancia de la hipótesis generalizada de Riemann, pero es más simple referir a la hipótesis de Riemann solamente en su caso especial original al describir el problema a la gente fuera de matemáticas.

Para muchos global L - las funciones de la función colocan (pero no campos de número se ha probado, la hipótesis de Riemann. Por ejemplo, el hecho de que la suma del gauss, del carácter cuadrático de un campo finito del q del tamaño (con el q impar), tenga valor absoluto

√ q

está realmente un caso de la hipótesis de Riemann en el ajuste del campo de la función.

¡Consecuencias y formulaciones equivalentes del hypothesis< de Riemann! -- Esta sección se liga de la función de zeta de Riemann -->

Las aplicaciones prácticas de la hipótesis de Riemann incluyen muchos asuntos que se indican para ser verdad debajo de la hipótesis de Riemann, y de algo que puedan ser demostrado para ser equivalente a la hipótesis de Riemann. Uno es el índice de crecimiento en el término del error del teorema del número primero dado arriba.

Índice de crecimiento de función de Möbius

Una formulación implica el μ de la función de Möbius. La declaración que la ecuación $del$

l \ frac {1} {\ zetas} = \ ^ del sum_ {n=1} \ infty \ frac {\ MU (n)} {n^s}

es válido para cada s con la parte real mayor que el ½, con la suma en el lado derecho que converge, es equivalente a la hipótesis de Riemann. De esto podemos también concluir eso si la función de Mertens se define cerca

$M\; (x)\; =\; \backslash \; sum\_\; \{n\; \backslash \}\; \backslash \; MU\; (n)$ de le x

entonces la demanda eso

$M\; (x)\; =\; O\; ()\; \backslash ,\; del\; x^\; \{1/2+\; \backslash \; varepsilon\}$

para cada, $\backslash \; varepsilon\; del$

l > 0, \,

es equivalente a la hipótesis de Riemann. Esto pone un límite algo apretado en el crecimiento del M, puesto que incluso sin hipótesis podemos concluir $M\; del$

l (x) \ ne o (x^ \ frac {1} {2})

(Para el significado de estos símbolos, ver la notación grande O.)

Tasas de crecimiento de funciones multiplicativas

La hipótesis de Riemann es equivalente a ciertas conjeturas sobre el índice de crecimiento de otras funciones multiplicativas aparte del μ ( n ). Por ejemplo, si el σ ( n ) es la función del divisor, dado cerca $\backslash \; sigma\; del$

l (n) = \ sum_ {d \ mediados de n} d

entonces $\backslash \; sigma\; del$

l (n) < e^ \ gamma n \ ln \ ln n \,

para el n > 5040. Esto se conoce como teorema del petirrojo y fue dada por el petirrojo del individuo en 1984. Un límite relacionado fue dado por el Jeffrey Lagarias en 2002, que probó que la hipótesis de Riemann es equivalente a la declaración eso $\backslash \; sigma\; del$

l (n) \ le H_n + \ e^ del ln (H_n) {H_n}

para cada n del número natural, donde está el $H\_n$ n - número armónico del th.

Criterio de Riesz, sumas binomiales

El criterio de Riesz fue dado por el Marcelo Riesz en 1916, de manera que la relación ¡$-\; del$

l \ ^ del sum_ {k=1} \ infty \ frac {(-) ^k x} {(k-1)! \, \ zeta (2k)}= O \ (x^ {1/4+ \ épsilon} \ derecho) dejado

se sostiene para todo el $\backslash \; epsilon>0$ si y solamente si los asimientos el derecho.

(1918) robustos posterior proporcionaron una ecuación integral para ¡$-\; del$

l \ ^ del sum_ {k=1} \ infty \ frac {(-) ^k x} {(k-1)! \, \ zeta (2k)}=f (x) usar una variante del resummation de Borel con Mellin transforman

Otro funciona relacionado a las funciones multiplicativas tiene tasas de crecimiento equivalentes a la hipótesis de Riemann también.

Hay varias relaciones en las sumas binomiales que son equivalentes al derecho. Por ejemplo, dejar

$c\_k\; =\; \backslash \; sum\_\; \{j=0\}\; ^k\; (-\; ^j\; de\; 1)\; \{k\; \backslash \; elige\}\; \backslash \; frac\; de\; j\; \{1\}\; \{\backslash \; zeta\; (2j+2)\}$

Báez-Duarte y Flajolet y Vallée han demostrado que el derecho se sostiene si y solamente si $c\_k\; del$

l \ k^ del ll {- 3/4+ \ épsilon}

para todo el $\backslash \; epsilon>0$. Semejantemente, dejar

$d\_k\; =\; \backslash \; sum\_\; \{j=2\}\; ^k\; (-\; ^j\; de\; 1)\; \{k\; \backslash \; elige\}\; \backslash \; frac\; de\; j\; \{1\}\; \{\backslash \; zeta\; (j)\}$

entonces Flajolet y Vepstas demuestran que el derecho se sostiene si y solamente si

para todo el $\backslash \; epsilon>0$ y un cierto $C\_\; constante\; \backslash \; epsilon$ dependiendo del $\backslash \; epsilon$. El entrar en la prueba es el $\backslash \; MU\; de\; la\; función\; de\; Mobius\; (n)$, y así que los resultados similares se sostienen para las sumas binomiales sobre/\ zeta, $\backslash \; zeta^\; \backslash \; prima\; \backslash \; zeta$ del $\backslash \; de\; la\; zeta\; (S1)\; y\; así\; sucesivamente,\; que\; corresponden\; a\; la\; serie\; de\; Dirichlet\; para\; la\; función\; de\; Totient\; de\; Euler,\; la\; función\; del\; divisor,\; y\; así\; sucesivamente.$

Criterio de Weil, criterio de Li

El criterio de Weil es la declaración que la positividad de cierta función es equivalente a la hipótesis de Riemann. Relacionado es el criterio, una declaración de Li que la positividad de cierta secuencia de números es equivalente a la hipótesis de Riemann.

Relación a la secuencia de Farey

Dos otras declaraciones equivalentes a la hipótesis de Riemann implican la secuencia de Farey. Si el n del del F es la secuencia de Farey del n de la orden, comenzando con 1 n y hasta 1/1, después la demanda que para todo el e > ½ $del$

l \ ^m del sum_ {i=1}|F_n (i) - i/m| = O (n^e)

es equivalente a la hipótesis de Riemann. Aquí el $m\; =\; \backslash \; el\; ^n\; del\; sum\_\; \{i=1\}\; \backslash \; la\; phi\; (i)$ es el número de términos en la secuencia de Farey del n de la orden. El equivalente a la hipótesis de Riemann es semejantemente ^m del $\backslash \; del\; sum\_\; del\; \{i=1\}\; (F\_n\; (i)\; -\; i/m)^2\; =\; O\; (n^e),$ para todo el e > − 1.

Relación a la teoría de grupo

La hipótesis de Riemann es equivalente a ciertas conjeturas de la teoría de grupo . Por ejemplo, si el g ( n ) es la pedido máxima de los elementos del simétrico n del del S del grupo n del grado, conocido como la función del landó, después la hipótesis de Riemann es equivalente al límite, para todo el n mayor que un cierto M, de $del$

l \ ln g (n) < \ raíz cuadrada {\ ^ del operatorname {Li} {- 1} (n)}.

Línea crítica teorema

La hipótesis de Riemann es equivalente a la declaración que el $\backslash \; el\; zeta\text{'}(s)$, el derivado del $\backslash \; zeta$, no tiene ningún cero adentro la tira

l de los res.

Que el ζ tiene solamente ceros simples en la línea crítica es equivalente a su derivado que no tiene ningún cero en la línea crítica, así que bajo hipótesis generalmente en la zeta-función de Riemann podemos ampliar la región cero-libre a . Este acercamiento ha sido fructuoso; refinarlo permitió que a Levinson normando probara su consolidación de la línea crítica teorema .

Conjeturas de Disproven

Conjeturas más fuertes que la hipótesis de Riemann también se han formulado, pero tienen una tendencia a ser disproven. El Paul Turan demostró eso si las sumas $del$

l \ n^ del ^M del sum_ {n=1} {- s}

no tener ningún cero cuando la parte real del s es mayor de uno entonces la hipótesis de Riemann es verdad, pero el Hugh Montgomery demostró que la premisa es falsa. Otra conjetura más fuerte, la conjetura de Mertens, también ha estado disproven.

Conjeturas más débiles

Hipótesis de Lindelöf

La hipótesis de Riemann tiene varias consecuencias más débiles también; uno es la hipótesis de Lindelöf del en el índice de crecimiento de la función de zeta en la línea crítica, que dice que, para cualquie e > 0, el $\backslash \; la\; zeta\; del$

l \ se fueron (\ frac12 + él \ derecho) = O (t^e),

como el t tiende al infinito.

Denotando por el n del _{del p el n - el número primero del th, un resultado por el Albert Ingham, demuestra que la hipótesis de Lindelöf implica que, para cualquie e > 0, n+1} - n del _{del p del}

l del _{del p} < e, del p ^1/2+

si el n es el suficientemente grande. Sin embargo, este resultado es peor que el de la conjetura primera grande del boquete, indicado abajo.

Conjetura primera grande del boquete

Otra conjetura es la conjetura primera grande del boquete. El Cramér probó eso, asumiendo Riemann hipótesis, boquete entre primero p y su sucesor es $O\; (\backslash \; raíz\; cuadrado\; \{\}\; \backslash \; ln\; p)$ de p. En promedio, el boquete está simplemente $O\; (\backslash \; ln\; p)$ y evidencia numérica no lo sugiere puede crecer casi tan rápido como la hipótesis de Riemann parece permitir, mucho menos tan rápidamente como el mejor que se puede demostrar actualmente sin ella.

Pruebas frustradas de la hipótesis de Riemann

Varios equipos de matemáticos han tratado el derecho durante décadas, y algunas pruebas pretendidas van inverificado en fecha 2007 . Sin embargo, éstos han sido recibidos con escepticismo por la comunidad matemática, y los profesionales en grande no lo creen para ser verdad. Watkins de la universidad de Exeter tiene una compilación de tales demandas (semejante serio y absurdo), y algunos otros se pueden encontrar en la base de datos de ArXiv .

Conexión posible con teoría del operador

considera también:

la conjetura Hilbert-Pólya

Se ha especulado de largo que la manera correcta del de derivar la hipótesis de Riemann ha sido encontrar a un operador del Uno mismo-adjoint, de la existencia cuyo la declaración sobre las partes reales de los ceros de ζ ( s ) seguiría cuando uno aplica el criterio en los valores propios verdaderos esto ha llevado a muchas investigaciones; pero todavía no ha probado fructuoso.

La distribución de los ceros de la función de zeta de Riemann comparte algunas características estadísticas con los valores propios de las matrices al azar extraídos del conjunto unitario gausiano . Esto da una cierta ayuda a la conjetura de Hilbert-Pólya.

En 1999, la baya de Michael y Jon Keating conjeturaron que hay un poco de $de\; lacuantificación\backslash \; sombrero\; desconocidos\; H$ del $H=xp$ hamiltoniano clásico de modo que $del$

l \ zeta (1/2+i \ sombrero H) = 0

y más fuerte, eso los ceros de Riemann coincide con el espectro del operador $1/2\; +\; i\; \backslash \; el\; sombrero\; H$. Éste debe ser puesto en contraste con la cuantificación canónica que lleva al principio de incertidumbre de Heisenberg $=1/2$ y a los números naturales como espectro del oscilador armónico de Quantum. El punto crucial es que el hamiltoniano debe ser operador hermitiano (o el operador de adjoint más exacto cerrado del uno mismo ) de modo que la cuantificación fuera una realización del programa de Hilbert-Pólya.

Búsqueda para los ceros de la ζ-función

Hay una larga historia de tentativas de cómputo de explorar tantos ceros de la ζ-función como sea posible. Una persona notable tal tentativa era ZetaGrid, un proyecto de la computación distribuida, que comprobó sobre mil millones ceros al día en que funcionaba. El proyecto fue cerrado en noviembre de 2005. El en fecha 2006, ningún proyecto de cómputo ha tenido éxito en encontrar un contraejemplo a la hipótesis de Riemann.

En 2004, el Javier Gourdon y el Patrick Demichel verificaron la hipótesis de Riemann con los primeros diez ceros no triviales trillón usar el algoritmo de Odlyzko-Schönhage.

El Michael Rubinstein ha hecho público un algoritmo para generar los ceros.

Zenithic

Hadleigh, Essex

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