En las matemáticas, la hipótesis ( abreviado CH ) de la serie continua del es una hipótesis, avanzada por el chantre de Jorge, sobre los tamaños posibles que el infinito de fija a chantre de introdujo el concepto de la cardinalidad para comparar los tamaños de sistemas infinitos, y él dio dos pruebas que la cardinalidad del sistema de los números enteros es terminantemente más pequeña que la del sistema de los números verdaderos sus pruebas, sin embargo, no da ninguna indicación del grado a el cual la cardinalidad de los números naturales es menos que el de los números verdaderos. El chantre propuso la hipótesis de la serie continua como solución posible a esta pregunta. Indica: el allí no es ninguÌn sistema cuyo tamaño está terminantemente entre el de los números enteros y el de los números verdaderos. A la luz del teorema del chantre que los tamaños de estos sistemas no pueden ser iguales, estados de esta hipótesis que el sistema de números verdaderos tiene cardinalidad posible mínima que sea mayor que la cardinalidad del sistema de números enteros. El nombre de la hipótesis viene del término '' la serie continua '' para los números verdaderos.
Equivalente, como la cardinalidad de los números enteros es el \ aleph_0 (" " aleph-nulo ;) y la cardinalidad de los números verdaderos es 2^ {\ aleph_0} , la hipótesis de la serie continua dice que no hay sistema S para el cual el \ aleph_0 < |S| < 2^ {\ aleph_0}. si se asume que el axioma de la opción, hay un más pequeño \ aleph_1 del número cardinal mayor que el \ aleph_0, y la hipótesis de la serie continua es alternadamente equivalente al = \ aleph_1. del 2^ del de la igualdad {\ aleph_0} Hay también una generalización de la hipótesis de la serie continua llamada el refrán generalizado de la hipótesis (GCH) de la serie continua: para todo el \ alpha, = \ aleph_ de los ordinales de 2^ {\ aleph_ \ alfa} {\ alpha+1}. Como el primer problema de Hilbert En 1900, el David Hilbert planteó la cuestión de si la hipótesis de la serie continua se sostiene; era el primer del trabajo posterior celebrado de los problemas de Hilbert al lado de Paul que Cohen estableció que la hipótesis de la serie continua es ni demostrable ni refutable de los axiomas de la teoría determinada de Zermelo-Fraenkel con el axioma de la opción. El resultado negativo de Cohen no se acepta universal como disponer de la hipótesis, y el problema de Hilbert sigue siendo un asunto activo de la investigación contemporánea (véase Woodin 2001a). El tamaño de un sistema considera también: l número cardinal Para indicar la hipótesis formalmente, necesitamos una definición: decimos que el S de dos sistemas y el T tienen la misma cardinalidad del o número cardinal si existe un Bijection entre el S y el T . Intuitivo, esto significa que es posible al " pares del off" elementos del S con los elementos del T en tal manera que cada elemento del S está apareado apagado con exactamente un elemento del T y viceversa. Por lo tanto, el sistema {plátano, manzana, pera} tiene la misma cardinalidad que {amarillo, rojo, verde}. Con los sistemas infinitos tales como el sistema de los números enteros o de los números racionales esto llega a ser más complicado para demostrar. Considerar el sistema de todos los números racionales. Uno pudo suponer ingenuo que hay números más racionales que números enteros, y pocos números racionales que números verdaderos, así refutando la hipótesis de la serie continua. Sin embargo, resulta que los números racionales se pueden poner en correspondencia una por con los números enteros, y por lo tanto el sistema de números racionales es los mismos tamaños como el sistema de números enteros: son ambos sistemas contables La discusión diagonal del chantre demuestra eso los números enteros y la serie continua no tienen la misma cardinalidad. La hipótesis de la serie continua indica que cada subconjunto infinito de la serie continua (los números verdaderos cualquiera tienen la misma cardinalidad que los números enteros o la misma cardinalidad que la serie continua. Imposibilidad de la prueba y de la refutación (en ZFC) El chantre creyó que la hipótesis de la serie continua a ser verdad e intentada durante muchos años al prueba él, en vano. Se convirtió en la primera en la lista de David Hilbert de no se sabe importantes que fue presentada en el congreso internacional de los matemáticos en el 1900 del año en París. La teoría determinada axiomática estaba en ese punto no todavía formulado. El Kurt Gödel demostró en 1940 que la hipótesis de la serie continua (CH para el cortocircuito) no se puede refutar de la teoría determinada (ZF) de Zermelo-Fraenkel estándar, incluso si el axioma de la opción se adopta (ZFC). El Paul Cohen demostró en 1963 que el CH no se puede probar de esos mismos axiomas cualquiera. Por lo tanto, el CH es la independiente ZFC . Ambos resultados asumen que los axiomas ellos mismos de Zermelo-Fraenkel no contienen una contradicción; esta asunción se cree extensamente para ser verdad. La hipótesis de la serie continua no era la primera declaración demostrada para ser independiente de ZFC. Una consecuencia inmediata del teorema del estado incompleto de Gödel, que fue publicado en 1931, es que hay una declaración formal que expresa la consistencia de ZFC que sea independiente de ZFC. Esta declaración de la consistencia está de un metamathematical, algo que puramente matemática, carácter. La hipótesis de la serie continua y el axioma de la opción estaban entre las primeras declaraciones matemáticas demostradas para ser independiente de la teoría determinada de ZF. Estas pruebas de la independencia no fueron terminadas hasta que Paul Cohen desarrollara el que forzaba en los años 60. La hipótesis de la serie continua es estrechamente vinculada a muchas declaraciones en el análisis, la topología determinada del punto y la teoría de medida . Como resultado de su independencia, muchas conjeturas substanciales en esos campos se han demostrado posteriormente para ser independientes también. Hasta ahora, el CH aparece ser independiente de todos los axiomas cardinales grandes sabidos 'en el contexto de ZFC. Discusiones para y contra el CH Gödel creyó que el CH es falso y que su prueba que el CH es constante demuestra solamente que los axiomas de Zermelo-Frankel son defectuosos. Gödel era un platonist y por lo tanto no tenía ninguÌn problema con la afirmación de la verdad y de la falsedad de la independiente de las declaraciones de su provability. Cohen, aunque un formalista, también tendido hacia el rechazo del CH. Históricamente, matemáticos que favorecieron un " rich" y " large" el universo de sistemas estaba contra el CH, mientras que ésos que favorecían un " neat" y " controllable" CH favorecido universo. Las discusiones paralelas fueron hechas para y contra el axioma del constructibility, que implica el CH. Más recientemente, el capataz de Matthew ha precisado que el ontológico Maximalism se puede utilizar realmente para discutir a favor del CH, porque entre los modelos que tienen los mismos reals, los modelos con el " more" los sistemas de reals tienen una mejor ocasión de satisfacer CH (Maddy 1988, P. Otro punto de vista es que el concepto ingenuo del sistema no es bastante específico determinar si el CH es verdad o falso. Este punto de vista es apoyado por la independencia del CH de los axiomas de ZFC, puesto que estos axiomas son bastantes para establecer las características elementales de sistemas y de cardinalities. Para discutir contra este punto de vista, sería suficiente demostrar los nuevos axiomas que son apoyados por la intuición y la resolución CH en una dirección u otra. Aunque el axioma del constructibility resuelva el CH, no se considera generalmente ser intuitivo verdad más que el CH se considera generalmente ser falso. Por lo menos dos otros axiomas se han propuesto que tienen implicaciones para la hipótesis de la serie continua, aunque estos axiomas no hayan encontrado actual la aceptación amplia en la comunidad matemática. En 1986, Chris Freiling presentó una discusión contra el CH demostrando que la negación del CH es equivalente al axioma de Freiling de la simetría, una declaración sobre las probabilidades . Freiling cree que este axioma es " intuitivo true" pero otros han discrepado. Una discusión difícil contra el CH se convirtió por el W. Hugh que Woodin ha atraído la considerable atención desde el año-2000 (Woodin 2001a, 2001b). El capataz (2003) no rechaza la discusión de Woodin francamente sino la precaución de los impulsos. ¡La hipótesis generalizada de la serie continua La hipótesis generalizada (GCH) de la serie continua indica que si la cardinalidad de un sistema infinito miente entre la de un infinito S del sistema y la de la energía determinado S, después él tiene la misma cardinalidad que el S del sistema o la misma cardinalidad que la energía fijada del S . Es decir, para cualquier cardinal \ lambda infinito no hay cardinal \ kappa tales que el \ lambda < \ kappa <2^ {\ lambda}. una condición equivalente es que el \ el aleph_ {\ alpha+1} =2^ {\ aleph_ \ alfa} para cada ordinal \ alpha. que el Beth numera proporcionan una notación alterna para esta condición: \ aleph_ \ alpha= \ beth_ \ alpha para cada ordinal \ alpha. Ésta es una generalización de la hipótesis de la serie continua puesto que la serie continua tiene la misma cardinalidad que el fijado energía de los números enteros. Como el CH, GCH es también independiente de ZFC, pero el Sierpiński probó que ZF + GCH implica el axioma de la opción (CA), así que opción y GCH no son independientes en ZF; no hay modelos de ZF en el cual GCH se sostenga y la CA falla. El Kurt Gödel demostró que GCH es una consecuencia de ZF + el V=L (el axioma que cada sistema es construible concerniente a los ordinales), y es constante con ZFC. Pues GCH implica el CH, el modelo de Cohen en el cual los fall del CH son un modelo en el cual GCH falla, y GCH no es así demostrable de ZFC. Easton utilizó el método de forzar desarrollado por Cohen para probar el teorema de Easton, que las demostraciones él son constantes con ZFC para el \ el aleph_ arbitrariamente grandes \ alpha de los cardenales no poder para satisfacer = \ aleph_ {\ alfa + 1} de 2^ {\ aleph_ \ alfa}. Para cualesquiera sistemas infinitos A y B, si hay una inyección A a B entonces allí es una inyección de subconjuntos de A a los subconjuntos de B. Así para cuaesquiera cardenales infinitos A y B, A del < B \ a 2^A \ a le 2^B. ¡Si A y B son finitos, el A del de la desigualdad < el B más fuertes \ a 2^A < 2^B \! asimientos. GCH implica que esta desigualdad terminante se sostiene para los cardenales infinitos así como cardenales finitos. Implicaciones de GCH para la exponenciación cardinal Aunque la hipótesis generalizada de la serie continua se refiera directo solamente a la exponenciación cardinal con 2 como la base, uno puede deducir de él los valores de la exponenciación cardinal en todos los casos. Implica que es el ^ del \ del aleph_ {\ alfa} {\ aleph_ {\ beta}} : del \ aleph_ {\ beta+1} cuando ≤ β+1 del α del ; del \ aleph_ {\ alfa} cuando el β+1 < el α y el exponente es menos que el Cofinality de la base; y del \ aleph_ {\ alpha+1} cuando el β+1 < el α y el exponente es mayor o igual al cofinality de la base. Ver también Número de Aleph Número de Beth Cardinalidad . ZenithicGeorge Enescu FestivalRandom links:Roberto Carlos (futbolista) | El primer ministerio de Fisher | Marek Grechuta | Whitchurch, Cardiff | La leyenda de 1900
En 1900, el David Hilbert planteó la cuestión de si la hipótesis de la serie continua se sostiene; era el primer del trabajo posterior celebrado de los problemas de Hilbert al lado de Paul que Cohen estableció que la hipótesis de la serie continua es ni demostrable ni refutable de los axiomas de la teoría determinada de Zermelo-Fraenkel con el axioma de la opción.
El resultado negativo de Cohen no se acepta universal como disponer de la hipótesis, y el problema de Hilbert sigue siendo un asunto activo de la investigación contemporánea (véase Woodin 2001a).
considera también:
l número cardinal
Para indicar la hipótesis formalmente, necesitamos una definición: decimos que el S de dos sistemas y el T tienen la misma cardinalidad del o número cardinal si existe un Bijection entre el S y el T . Intuitivo, esto significa que es posible al " pares del off" elementos del S con los elementos del T en tal manera que cada elemento del S está apareado apagado con exactamente un elemento del T y viceversa. Por lo tanto, el sistema {plátano, manzana, pera} tiene la misma cardinalidad que {amarillo, rojo, verde}.
Con los sistemas infinitos tales como el sistema de los números enteros o de los números racionales esto llega a ser más complicado para demostrar. Considerar el sistema de todos los números racionales. Uno pudo suponer ingenuo que hay números más racionales que números enteros, y pocos números racionales que números verdaderos, así refutando la hipótesis de la serie continua. Sin embargo, resulta que los números racionales se pueden poner en correspondencia una por con los números enteros, y por lo tanto el sistema de números racionales es los mismos tamaños como el sistema de números enteros: son ambos sistemas contables La discusión diagonal del chantre demuestra eso los números enteros y la serie continua no tienen la misma cardinalidad.
La hipótesis de la serie continua indica que cada subconjunto infinito de la serie continua (los números verdaderos cualquiera tienen la misma cardinalidad que los números enteros o la misma cardinalidad que la serie continua.
El Kurt Gödel demostró en 1940 que la hipótesis de la serie continua (CH para el cortocircuito) no se puede refutar de la teoría determinada (ZF) de Zermelo-Fraenkel estándar, incluso si el axioma de la opción se adopta (ZFC). El Paul Cohen demostró en 1963 que el CH no se puede probar de esos mismos axiomas cualquiera. Por lo tanto, el CH es la independiente ZFC . Ambos resultados asumen que los axiomas ellos mismos de Zermelo-Fraenkel no contienen una contradicción; esta asunción se cree extensamente para ser verdad.
La hipótesis de la serie continua no era la primera declaración demostrada para ser independiente de ZFC. Una consecuencia inmediata del teorema del estado incompleto de Gödel, que fue publicado en 1931, es que hay una declaración formal que expresa la consistencia de ZFC que sea independiente de ZFC. Esta declaración de la consistencia está de un metamathematical, algo que puramente matemática, carácter. La hipótesis de la serie continua y el axioma de la opción estaban entre las primeras declaraciones matemáticas demostradas para ser independiente de la teoría determinada de ZF. Estas pruebas de la independencia no fueron terminadas hasta que Paul Cohen desarrollara el que forzaba en los años 60.
La hipótesis de la serie continua es estrechamente vinculada a muchas declaraciones en el análisis, la topología determinada del punto y la teoría de medida . Como resultado de su independencia, muchas conjeturas substanciales en esos campos se han demostrado posteriormente para ser independientes también.
Hasta ahora, el CH aparece ser independiente de todos los axiomas cardinales grandes sabidos 'en el contexto de ZFC.
Gödel creyó que el CH es falso y que su prueba que el CH es constante demuestra solamente que los axiomas de Zermelo-Frankel son defectuosos. Gödel era un platonist y por lo tanto no tenía ninguÌn problema con la afirmación de la verdad y de la falsedad de la independiente de las declaraciones de su provability. Cohen, aunque un formalista, también tendido hacia el rechazo del CH.
Históricamente, matemáticos que favorecieron un " rich" y " large" el universo de sistemas estaba contra el CH, mientras que ésos que favorecían un " neat" y " controllable" CH favorecido universo. Las discusiones paralelas fueron hechas para y contra el axioma del constructibility, que implica el CH. Más recientemente, el capataz de Matthew ha precisado que el ontológico Maximalism se puede utilizar realmente para discutir a favor del CH, porque entre los modelos que tienen los mismos reals, los modelos con el " more" los sistemas de reals tienen una mejor ocasión de satisfacer CH (Maddy 1988, P.
Otro punto de vista es que el concepto ingenuo del sistema no es bastante específico determinar si el CH es verdad o falso. Este punto de vista es apoyado por la independencia del CH de los axiomas de ZFC, puesto que estos axiomas son bastantes para establecer las características elementales de sistemas y de cardinalities. Para discutir contra este punto de vista, sería suficiente demostrar los nuevos axiomas que son apoyados por la intuición y la resolución CH en una dirección u otra. Aunque el axioma del constructibility resuelva el CH, no se considera generalmente ser intuitivo verdad más que el CH se considera generalmente ser falso.
Por lo menos dos otros axiomas se han propuesto que tienen implicaciones para la hipótesis de la serie continua, aunque estos axiomas no hayan encontrado actual la aceptación amplia en la comunidad matemática. En 1986, Chris Freiling presentó una discusión contra el CH demostrando que la negación del CH es equivalente al axioma de Freiling de la simetría, una declaración sobre las probabilidades . Freiling cree que este axioma es " intuitivo true" pero otros han discrepado. Una discusión difícil contra el CH se convirtió por el W. Hugh que Woodin ha atraído la considerable atención desde el año-2000 (Woodin 2001a, 2001b). El capataz (2003) no rechaza la discusión de Woodin francamente sino la precaución de los impulsos.
Ésta es una generalización de la hipótesis de la serie continua puesto que la serie continua tiene la misma cardinalidad que el fijado energía de los números enteros. Como el CH, GCH es también independiente de ZFC, pero el Sierpiński probó que ZF + GCH implica el axioma de la opción (CA), así que opción y GCH no son independientes en ZF; no hay modelos de ZF en el cual GCH se sostenga y la CA falla.
El Kurt Gödel demostró que GCH es una consecuencia de ZF + el V=L (el axioma que cada sistema es construible concerniente a los ordinales), y es constante con ZFC. Pues GCH implica el CH, el modelo de Cohen en el cual los fall del CH son un modelo en el cual GCH falla, y GCH no es así demostrable de ZFC. Easton utilizó el método de forzar desarrollado por Cohen para probar el teorema de Easton, que las demostraciones él son constantes con ZFC para el \ el aleph_ arbitrariamente grandes \ alpha de los cardenales no poder para satisfacer = \ aleph_ {\ alfa + 1}
Para cualesquiera sistemas infinitos A y B, si hay una inyección A a B entonces allí es una inyección de subconjuntos de A a los subconjuntos de B. Así para cuaesquiera cardenales infinitos A y B, A del < B \ a 2^A \ a le 2^B. ¡Si A y B son finitos, el A del de la desigualdad < el B más fuertes \ a 2^A < 2^B \! asimientos. GCH implica que esta desigualdad terminante se sostiene para los cardenales infinitos así como cardenales finitos.
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