La hipótesis de Riemann es una de las conjeturas más importantes de las matemáticas . Es una declaración sobre los ceros de la función de zeta de Riemann . Los varios objetos geométricos y aritméticos se pueden describir por el global de las L-funciones del supuesto, que son formalmente similares a la zeta-función de Riemann. Uno puede entonces hacer la misma pregunta acerca de los ceros de estos L - funciones, rindiendo las varias generalizaciones de la hipótesis de Riemann. Muchos matemáticos creen estas generalizaciones de la hipótesis de Riemann para ser verdad. Los únicos casos de estas conjeturas se han probado que ocurren en el caso del campo de la función (no el caso del campo de número).
global L - las funciones se pueden asociar a los campos de número elípticos de las curvas (en este caso se llaman las zeta-funciones de Dedekind de ), a las formas de onda de Maass y a los carácteres de Dirichlet (en este caso se llaman las L-funciones de Dirichlet. Cuando la hipótesis de Riemann se formula para las zeta-funciones de Dedekind, se conoce como la hipótesis ampliada de Riemann y cuando se formula para el L - funciones de Dirichlet, él se conoce como la hipótesis generalizada de Riemann. Estas dos declaraciones serán discutidas más detalladamente abajo. (Muchos matemáticos utilizan la hipótesis generalizada de Riemann de la etiqueta para cubrir la extensión de la hipótesis de Riemann a todo el global L - funciones, no apenas el caso especial del L - funciones de Dirichlet.)
Hipótesis generalizada de Riemann (GRH)
La hipótesis generalizada de Riemann (para el L - funciones de Dirichlet) fue formulada probablemente por primera vez por Piltz en 1884. Como la hipótesis original de Riemann, tiene consecuencias de gran envergadura sobre la distribución de los números primeros
La declaración formal de la hipótesis sigue. Un carácter de Dirichlet es un &chi totalmente multiplicativo de la función aritmética ; tales que existe un positivo k del número entero con χ ( n + k ) = χ ( n ) para todo el n y el χ ( n ) = 0 siempre que gcd ( n, k ) > 1. Si se da tal carácter, definimos la L-función correspondiente de Dirichlet del por el
para cada s del número complejo con la parte real > 1. Por la continuación analítica, esta función se puede ampliar a un plano complejo definido meromórfico de la función en general. La hipótesis generalizada de Riemann afirma eso para cada &chi del carácter de Dirichlet; y cada s del número complejo con L (χ, s ) = 0: si la parte real del s está entre 0 y 1, después es realmente el 1/2.
El &chi del caso; ( n ) = 1 para todo el n rinde la hipótesis ordinaria de Riemann.
Consecuencias de GRH
Una progresión aritmética del en los números naturales es un sistema de los números del de la forma al, + el d, un d, de +2 un d de +3,… donde están números el un y el d naturales y el d es diferente a cero. El teorema de Dirichlet indica que si el un y el d son el coprimero, después una progresión tan aritmética contiene el infinitamente muchos números primeros de . Dejar el π ( x, un, d ) denotar el número de números primeros en esta progresión que sean inferior o igual el x . Si la hipótesis generalizada de Riemann es verdad, entonces para cada coprimero un y el d y para cada ε > 0
donde φ ( d ) denota la función de la phi de Euler y O es el símbolo del landó. Ésta es una considerable consolidación del teorema del número primero.
Si GRH es verdad, después para cada primero p existe un modulo '' p '' (un generador de la raíz primitiva del grupo multiplicativo del p del modulo de los números enteros) que sea menos de 70 (ln ( p ))2; esto es de uso frecuente en pruebas.
La conjetura débil de Goldbach también sigue de la hipótesis generalizada de Riemann.
Si GRH es verdad, después la prueba del primality de Miller-Rabin se garantiza para funcionar en tiempo polinómico. (La prueba que no requiere GRH, la prueba del primality del polinómico-tiempo de A del primality AKS, se ha publicado recientemente.)
Si GRH es verdad, después el algoritmo de la Caña-Tonelli se garantiza para funcionar en tiempo polinómico. El algoritmo de la Caña-Tonelli es útil para encontrar soluciones: donde " n" es una MOD cuadrático p, " del residuo ; p" es primero y x es la variable desconocida. Este algoritmo es un paso importante adentro el tamiz cuadrático ( Carl Pomerance ) que descompone en factores algoritmo.
Si se asume que la verdad del GRH, la estimación del carácter que la suma en la desigualdad Pólya-Vinogradov se puede mejorar al , q que era el módulo del carácter.
Hipótesis extendida de Riemann (ERH)
Suponer que el K es un campo de número (una extensión finito-dimensional del campo del Q de los números racionales ) con el anillo K de los números enteros O (este anillo es el encierro integral del Z de los números enteros en el K ). Si el un es un ideal del K de O, con excepción del ideal cero denotamos su norma por Na del . La zeta-función de Dedekind del del K entonces es definida por el para cada s del número complejo con la parte real > 1. La suma amplía sobre todo el diferente a cero de los ideales un del K de O. La zeta-función de Dedekind satisface una ecuación funcional y se puede extender por la continuación analítica al plano complejo del conjunto. La función resultante codifica la información importante sobre el K del campo de número. La hipótesis extendida de Riemann afirma que para cada K del campo de número y cada s del número complejo con ζ K La hipótesis de Riemann del ordinario sigue la extendida si una toma el campo de número para ser el Q, con el anillo del Z de los números enteros. .
Ver también
Conjetura de Artin Random links: Lista de monarcas de Aragonese | Edrophonium | Simon James Dawson | El círculo íntimo (novela)