En las matemáticas, un hipergrafo es una generalización de un gráfico, donde los bordes pueden conectar cualquier número de las cimas . Formalmente, un hipergrafo es un $de\; los\; pares\; (X,\; E)$ donde está un sistema $X$ de elementos, llamado los nodos del o las cimas del, y $E$ es un sistema de subconjuntos no vacíos de los hyperedges llamados $X$ del . Por lo tanto, $E$ es un subconjunto de $\backslash \; \{P\}\; de\; (x)\; \backslash \; de\; la\; barra\; mathcal\; \backslash \; emptyset$, donde está la energía el $\backslash \; \{P\}\; (X)$ mathcal determinado de $X$. Mientras que los bordes del gráfico son pares de nodos, los hyperedges son sistemas arbitrarios de nodos, y pueden por lo tanto contener un número arbitrario de nodos.

Un hipergrafo también se llama un el sistema determinado o una familia del de los sistemas extraída del X del sistema universal . Los hipergrafos pueden ser vistos mientras que la incidencia estructura y viceversa.

Desemejante de gráficos, los hipergrafos son difíciles de dibujar en el papel, así que tienden a ser estudiados usar la nomenclatura de la teoría determinada algo que las descripciones más ilustradas (como “árboles”, “bosques” y “ciclos ") de la teoría de gráfico .

Teoremas

Muchos teoremas que implican gráficos también se sostienen para los hipergrafos. El teorema de Ramsey es un ejemplo típico. Algunos métodos para estudiar simetrías de gráficos extienden a los hipergrafos. Por ejemplo, un homomorfismo del hipergrafo es un mapa del sistema de la cima de un hipergrafo a otros tales que cada borde traza a un otro borde. Un isomorfismo del hipergrafo es un homomorfismo que es inversible. Un automorfismo del hipergrafo es un isomorfismo de una cima fijada en sí mismo, de que es el relabeling de cimas. El sistema de automorfismos de un H del hipergrafo (= ( X,   E )) está un grupo bajo composición, llamado el grupo del automorfismo del hipergrafo y Aut escrito ( H ). La colección de hipergrafos es una categoría con homomorphisms del hipergrafo como Morphisms

Un transversal o el que golpea el sistema de un H del hipergrafo = (el X, el E ) es un $T\; del\; sistema\; \backslash \; un\; subseteq\; X$ que tiene intersección no vacía con cada borde. Un transversal T se llama el mínimo si no hay subconjunto apropiado del T un transversal. El hipergrafo transversal H es el hipergrafo ( X, F ) cuyo determinado F del borde consiste en todos los transversals mínimos del H . La computación del hipergrafo transversal tiene usos en el aprendizaje de máquina y otros campos de informática, como la teoría del juego, la indexación de direcciones de la base de datos, el problema del SAT y optimización .

Un H del hipergrafo se llama k-uniforma o un k-hipergrafo si cada borde tiene k de la cardinalidad. Un gráfico es apenas un hipergrafo uniforme 2. El d del grado (v) de un v de la cima es el número de bordes que lo contengan. El H es el k-regular si cada cima tiene k del grado.

Dejar = \ {del $V\; v\_1,\; v\_2,\; ~\; \backslash \; ldots,\; v\_n\; del\; ~\; \backslash \}$ y = \ {del $E\; e\_1,\; e\_2,\; e\_m\; del\; ~\; \backslash \; del\; ~\; de\; los\; ldots\; \backslash \}$. Cada hipergrafo tiene un $n\; \backslash \; un$ A\; dela\; matrizde\; incidencia\; del\; de\; las\; épocas\; m$=\; (a\_\; \{ij\})$ donde

$a\_\; \{ij\}\; =\; \backslash \; se\; fue\; \backslash \; \{\backslash \; comienzan\; \{matriz\}\; 1\; y\; \backslash \; mathrm\; \{si\}\; ~\; v\_i\; \backslash \; en\; e\_j\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; \backslash \; mathrm\; \{si\; no\}\; \backslash \; fin\; \{\}\; \backslash \; right.$ de la matriz

El transporta $A^t$ de la matriz de la incidencia define un $H^*\; del\; hipergrafo\; =\; (V^*,\; E^*)$ llamado el dual de $H$, donde está un $V^*$ m - el sistema de elemento y $E^*$ es un n - sistema de elemento de subconjuntos de $V^*$. Para el $v^*\_j\; \backslash \; en\; V^*$ y $e^*\_i\; \backslash \; en\; E^*,\; v^*\_j\; del\; ~\; \backslash \; en\; de\; e^*\_i$ si y solamente si $a\_\; de\; \{ij\}\; =\; 1$. El dual de un hipergrafo uniforme es regular y viceversa. La consideración se dobla lleva a menudo a los descubrimientos.

Colorante del hipergrafo

El colorante del hipergrafo se define como sigue. Dejar el $H=\; (V,\; E)$ sea un hipergrafo tales que $\backslash \; Vert\; V\; \backslash \; Vert\; =\; n$. Demandamos que el $C=\; \backslash \; \{c\_1,\; c\_2,\; \backslash \; los\; ldots,\; c\_n\; \backslash \}$ es un colorante apropiado de $H$ si y solamente si, para todo el $e\; \backslash \; en,\; \backslash \; vert\; e\; \backslash \; vert\; >\; 1$ de E, existe $v\_i,\; v\_j\; \backslash \; en\; e$ tales que el $c\_i\; \backslash \; neq\; c\_j$.

Ver también

alboroto (matemáticas)
Erdő teorema del s-Ko-Rado
El casi desune los sistemas
El desune los sistemas
Partición de un sistema
Característica de intersección finita
Complejo simplicial abstracto
Estructura de la incidencia
Teorema de Kruskal-Katona
Sistema P

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