En la álgebra del extracto, un homomorfismo es un mapa estructura-que preserva entre dos estructuras algebraicas (tal como agrupa los anillos del o los espacios de vector . El homomorfismo del de la palabra viene de la lengua griega : " del significado de los homoios del ; same" y " del significado del morphe del ; shape".

Discusión informal

Porque la álgebra abstracta estudia los sistemas con las operaciones que generan la estructura o características interesante en el sistema, las funciones más interesantes son las que preservan las operaciones. Estas funciones se conocen como homomorphisms del .

Por ejemplo, considerar el los números naturales con la adición como la operación. Una función que preserva la adición debe tener esta característica: f ( + b ) = f ( un ) + f ( b ). Por ejemplo, el 3 x del f ( x ) = es un tal homomorfismo, desde el f ( + el b ) = el 3 ( + el b ) = 3 + 3 el b = el f ( un ) + el f ( b ). Observar que este homomorfismo traza los números naturales nuevamente dentro de sí mismos.

Homomorphisms no tiene que trazar entre los sistemas que tienen las mismas operaciones. Por ejemplo, operación-preservando funciones existir entre el sistema de números verdaderos con la adición y el sistema de números verdaderos positivos con la multiplicación. Una función que preserva la operación debe tener esta característica: el f ( + el b ) = el f ( un ) * f ( b ), puesto que la adición es la operación en el primer sistema y multiplicación es la operación en el segundo. Dado las leyes del f ( x ) de los exponentes = el x del e ^{satisface esta condición: 2 + 3 = 5 traduce al 2} * 3 del e ^{del e = el 5} del e^.

Una característica particularmente importante de homomorphisms es que si un elemento de identidad está presente, está preservada siempre, es decir, trazado a la identidad. La nota en el primer f (0) = 0 del ejemplo, y 0 es la identidad aditiva. En el segundo ejemplo, el f (0) = 1, puesto que 0 es la identidad aditiva, y 1 es la identidad multiplicativa.

Si estamos considerando operaciones múltiples en un sistema, después todas las operaciones se deben preservar para que una función sea considerada como homomorfismo. Aunque el sistema puede ser igual, la misma función pudo ser un homomorfismo, por ejemplo, en la teoría de grupo (sistemas con una sola operación) pero no en la teoría (sistemas del anillo con dos operaciones relacionadas), porque no puede preservar la operación adicional que suena teoría considera.

Definición formal

Un homomorfismo es un mapa a partir de una estructura algebraica a otro del mismo tipo que preserva toda la estructura relevante; es decir las características tienen gusto de los elementos inversos de los elementos de identidad y de las operaciones binarias autores NOTA del del

l algunos utilizan el homomorfismo del de la palabra en un contexto más grande que el de la álgebra. Algún tomar la para significar cualquier clase de estructura que preserva el mapa (tal como mapas continuos en la topología ), o aún una clase más abstracta de map— qué llamamos un &mdash de Morphism ; utilizado en la teoría de la categoría. Este artículo trata solamente el contexto algebraico. Para un uso más general ver el Morphism article.

Por ejemplo; si uno considera dos sistemas $X$ y $Y$ con una operación binaria del solo definida en ellos (una estructura algebraica conocida como magma ), un homomorfismo es un $\backslash \; una\; phi\; del\; mapa:\; X\; \backslash \; rightarrow\; Y$ tales que $del\; \backslash \; phi\; (=\; \backslash \; phi\; de\; u\; \backslash \; del\; cdot\; v)\; (u)\; \backslash \; circ\; \backslash \; phi\; (v)$ donde está la operación el $\backslash \; cdot$ en $X$ y el $\backslash \; circ$ es la operación en $Y$.

Cada tipo de estructura algebraica tiene su propio tipo de homomorfismo. Para las definiciones específicas ver:
Homomorfismo del grupo
Homomorfismo del anillo
Homomorfismo del módulo
Operador linear (un homomorfismo en los espacios de vector
Homomorfismo de la álgebra

La noción de un homomorfismo se puede dar una definición formal en el contexto de la álgebra universal, un campo que estudie las ideas comunes a todas las estructuras algebraicas en este ajuste, un $del\; homomorfismo\; \backslash \; una\; phi:\; A\; \backslash \; el\; rightarrow\; B$ es un mapa entre dos estructuras algebraicas del mismo tipo tales que $del\; \backslash \; phi\; (f\_A\; (x\_1,\; \backslash \; ldots,\; el\; x\_n))\; =\; f\_B\; (\backslash \; phi\; (x\_1),\; \backslash ,\; \backslash \; phi\; (x\_n)\; de\; los\; ldots)\backslash ,$ para cada n - operación ary $f$ y para todo el $x\_i$ en $A$.

Tipos de homomorphisms

un isomorfismo del es un homomorfismo Bijective . Dos objetos reputan isomorfos si hay un isomorfismo entre ellos. Los objetos isomorfos son totalmente indistinguibles por lo que la estructura en la pregunta.

un Epimorphism es un homomorfismo Surjective .
El monomorfismo del del

A es un homomorfismo inyectivo .
El homomorfismo del

A de un objeto a sí mismo se llama un Endomorphism .

un endomorphism que sea también un isomorfismo se llama un automorfismo del .

Los términos antedichos se utilizan en una manera análoga en la teoría de la categoría, sin embargo, las definiciones en la teoría de la categoría son más sutiles; ver el artículo sobre el Morphism para más detalles.

Observar que en el contexto más grande de la estructura que preserva mapas, es generalmente escaso definir un isomorfismo como morphism bijective. Uno debe también requerir que lo contrario sea un morphism del mismo tipo. En el ajuste algebraico (por lo menos dentro del contexto de la álgebra universal ) esta condición adicional se satisface automáticamente. relaciones del

l entre diversas clases de homomorphisms. el
H = fijó de Homomorphisms, M = fijó de los monomorfismos,
P = fijó de los ePimorphisms, S = fijó de los iSomorphisms,
N = fijó de los eNdomorphisms, A = fijó de aviso de Automorphisms.
eso: El ∩ de M P = S, ∩ de S N = A, ∩ de P N = A, ∩ N \ A del
M contiene solamente homomorphisms infinitos, y el ∩ N \ A del
P es vacío.

Núcleo de un homomorfismo

considera también:

l núcleo (álgebra)

Cualquie f del homomorfismo: El Y del → del X define un ~ de la relación de equivalencia en el X por el un   de ;   del f ( del Iff b del ~ un ); = f ( b ). El ~ de la relación se llama el núcleo del f . Es una relación de la congruencia en el X . El determinado X /~ del cociente se puede entonces dar una objeto-estructura de una manera natural, es decir * = * '' y ''. En ese caso la imagen del X en el Y bajo f del homomorfismo es necesario el isomorfo al X /~; este hecho es uno de la nota de los teoremas del isomorfismo en algunos casos (e. el agrupa o los anillos, un de equivalencia K de la clase del solo son suficientes especificar la estructura del cociente; tan podemos escribirle el X / K . (el X / K se lee generalmente como " " del K de la MOD X ;.) También en estos casos, es el K, algo que el ~, que se llama el núcleo f (cf. subgrupo normal, ideal).

Homomorphisms y homomorphisms e-libres en teoría del lenguaje formal

Homomorphisms también se utiliza en el estudio de los lenguajes formales . $dado\; \backslash \; Sigma\_1$ de los alfabetos y $\backslash \; Sigma\_2$, un h de la función: $\backslash \; Sigma\_2^*$ del → del $\backslash \; Sigma\_1^*$ tales que =h (ultravioleta) del $h\; (u)\; h\; (v)$ para todo el u y el v en el $\backslash \; Sigma\_1^*$ se llama un homomorfismo del en el $\backslash \; Sigma\_1^*$. Dejar el e denotar la palabra vacía. Si el h es un homomorfismo en el $\backslash \; Sigma\_1^*$ y el $h\; (x)\; \backslash \; ne\; e$ para todo el $x\; \backslash \; ne\; e$ en el $\backslash \; Sigma\_1^*$, después h se llama un homomorfismo e-libre del .

Ver también

Morphism
Homomorfismo del gráfico
Función continua
Homeomorfismo
Diffeomorphism
Secreto homomórfico que comparte - un protocolo de votación descentralizado simplista.

Zenithic

Luddington

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