Un homomorfismo entre dos álgebra sobre un K del campo, el A y el B, es un $F\; del\; mapa\; :\; A\; \backslash \; rightarrow\; B$ tales que para todo el k en el K y el x, y en el A,
F ( KX ) del

= kF ( x ) del
F ( x del

+ y ) = F ( x ) + F ( y )
F ( xy) del

= F ( y ) del F ( x )

Si el F es el Bijective entonces el F reputa un isomorfismo entre el A y el B .

Ejemplos

Dejar el A = el K ser el sistema de todos los polinomios sobre un K del campo y el B sea el sistema de todas las funciones polinómicas sobre el K . El A y el B son álgebra sobre el K dado por la multiplicación y la adición estándar de polinomios y de funciones, respectivamente. Nosotros puede trazar cada $f\; \backslash ,$ en A a $\backslash \; sombrero\; \{\}\; \backslash ,\; de\; f$ en el B por el $\backslash \; el\; sombrero\; \{f\}\; (t)\; =\; f\; de\; la\; regla\; (t)\; \backslash ,$. Rutinario cheque demuestra que trazando $f\; \backslash \; rightarrow\; \backslash sombrero\{\}\; \backslash ,\; de\; f$ es un homomorfismo del A de las álgebra y del B . Si el K es un campo finito después dejó $p\; del$

l (x) = \ Pi_ {t \ en K} (x-t). \,

el p es un polinomio diferente a cero en el K, no obstante $p\; (t)\; =\; 0\; \backslash ,$ para todo el t en el K, así que $\backslash \; el\; sombrero\; \{p\}\; =\; 0\; \backslash ,$ es la función cero y las álgebra no son isomorfas.

Si el K es infinito entonces dejó el $\backslash \; el\; sombrero\; \{f\}\; =\; 0\; \backslash ,$. Queremos demostrar que esto implica ese $f\; =\; 0\; \backslash ,$. Dejar el $\backslash gradof\; =\; n\; \backslash ,$ y dejar $t\_0,\; t\_1,\; \backslash \; puntea,\; t\_n\; \backslash ,$ sea   del n ; +  elementos distintos 1 del K . Entonces $f\; (t\_i)\; =\; 0\; \backslash ,$ para $0\; \backslash \; le\; i\; \backslash \; le\; n$ y por la interpolación de Lagrange tenemos $f\; =\; 0\; \backslash ,$. Por lo tanto trazando $f\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; sombrero\; \{\}\; \backslash ,\; de\; f$ es inyectivo. Puesto que el trazado es claramente surjective, el F es bijective y así un isomorfismo de la álgebra del A y del B .

Si el A es un Subalgebra del B, después para cada inversible b en el B la función que toma a un en del A a del b ^-1 un b de es un homomorfismo de la álgebra, llamado un automorfismo interno del B . Si el A es también el simple y el B es una álgebra simple central, después cada homomorfismo del A a el B es dado de esta manera por un cierto b en el B ; éste es el teorema de Skolem-Noether.

Zenithic

MS. Found in a Bottle

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