En la topología, dos funciones continuas a partir de un espacio topológico a otro se llaman el homotópico (homos griegos del = los topos idénticos y del = lugar) si uno puede ser " continuamente deformed" en el otro, tal deformación que es llamada un homotopy entre las dos funciones. Un uso excepcional de homotopy es la definición de los grupos de Homotopy y de los grupos, invariants importantes de Cohomotopy en la topología algebraica .
En la práctica, hay dificultades técnicas al usar homotopies con ciertos espacios patológicos. Por lo tanto la mayoría de los topologists algebraicos trabajan con los complejos compacto generados del CW de los espacios o los espectros .
Definición formal
Formalmente, un homotopy entre dos el f de las funciones continuas y el g de a el X del espacio topológico a un Y del espacio topológico se define para ser a H de la función continua: × del X ; → Y del producto X del espacio con el intervalo de unidad al Y tales que, para todo el x de los puntos en el X, H ( x, 0) = f ( x ) y H ( x, 1)= g ( x ).Si pensamos en el segundo parámetro H como " time", entonces el H describe un " deformation" continuo; del f en el g : en el tiempo 0 tenemos el f de la función, en el tiempo 1 que tenemos el g de la función.
Características
El ser homotópico es una relación de equivalencia en el sistema de todas las funciones continuas del X al Y . Esta relación homotopy es compatible con la composición de la función en el sentido siguiente: si f 1, g 1: &rarr del X ; El Y es homotópico, y el f 2, g 2: &rarr del Y ; El Z es homotópico, entonces su f 1 del f 2 o de las composiciones y el g 1 de g 2 o del : &rarr del X ; El Z es homotópico también.
Equivalencia de Homotopy y nulo-homotopy
El dado X de dos espacios y el Y, decimos que son el equivalente homotopy o del mismo tipo homotopy si existen el continuo f de los mapas : &rarr del X ; Y y g : &rarr del Y ; El X tales que el f de g o del es homotópico al g del X y del f o del id del mapa de la identidad es homotópico al Y del id.El f de los mapas y el g se llaman las equivalencias homotopy en este caso. Claramente, cada homeomorfismo es una equivalencia homotopy, pero el inverso no es verdad: por ejemplo, un disco sólido no es homeomórfico a un monopunto, aunque el disco y el punto sean equivalente homotopy.
Intuitivo, el X de dos espacios y el Y son equivalente homotopy si pueden ser transformados en uno otro doblando, encogiéndose y ampliando operaciones. Por ejemplo, un disco sólido o una bola sólida es equivalente homotopy a un punto, y el R 2 - {(0.0)} está el equivalente homotopy al S 1 del círculo de unidad . Esos espacios que son equivalente homotopy a un punto se llaman Contractible .
Un f de la función reputa el nulo-homotópico si es el homotópico a una función constante. (El homotopy del f a una función constante entonces a veces se llama un nulo-homotopy.) Por ejemplo, es simple demostrar que un mapa del S 1 del círculo es nulo-homotópico exacto cuando puede ser extendido a un mapa del D 2 del disco.
Sigue de estas definiciones que un X del espacio es contractible si y solamente si el mapa de la identidad del X al itself— cuál es siempre un equivalence&mdash homotopy; es nulo-homotópico.
Invariación de Homotopy
La equivalencia de Homotopy es importante porque en el algebraico muchos conceptos de la topología son el invariante homotopy, es decir, respetan la relación de la equivalencia homotopy. Por ejemplo, si el X y el Y son espacios equivalentes homotopy, entonces:si el X es trayectoria-conectado, después está tan el Y
si el X es el simplemente conectado, después está tan el Y
la homología (del singular) y los grupos de Cohomology X y del Y son el isomorfo
si el X y el Y trayectoria-está conectado, después los grupos fundamentales X y del Y son isomorfos, y así que son los grupos más altos sin la asunción de la trayectoria-conexión, uno de Homotopy tienen π1 ( X, x0) isomorfo a π1 ( Y, f ( x 0)) donde f : El Y del → del X es una equivalencia y un homotopy x 0 al punto dado en el X .
Un ejemplo de un invariante algebraico de espacios topológicos que no sea homotopy-invariante es la homología compacto apoyada (que es, en línea general, la homología del compactification, y compactification no es homotopy-invariante).
Categoría de Homotopy
La idea de homotopy se puede dar vuelta en una categoría formal de la teoría de la categoría. La categoría homotopy es la categoría cuyos objetos son espacios topológicos, y cuyos morphisms son clases de equivalencia homotopy de mapas continuos. El X de dos espacios topológicos y el Y son isomorfos en esta categoría si y solamente si son homotopy-equivalentes. Entonces un Functor en la categoría de espacios topológicos es invariante homotopy si puede ser expresado como functor en la categoría homotopy.Por ejemplo, los grupos de la homología son invariantes homotopy functorial del : esto significa que si el f y el g del X al Y son homotópicos, después los homomorphisms del grupo indujeron por el f y el g en el nivel de los grupos de la homología sea igual: n
( f ) de H = n ( g ) de H: &rarr del n ( X ) de H; n ( Y ) de H para todo el n . Asimismo, si el X y el Y son además trayectoria-conectado, después los homomorphisms del grupo indujo por el f y el g en el nivel de los grupos de Homotopy es también igual: π n ( f ) del = π n ( g ) del : π &rarr del n ( X ) del ; π n ( Y ) del .
Homotopy relativo
Para definir el grupo fundamental, uno necesita la noción del homotopy concerniente a un subespacio . Éstos son los homotopies que mantienen los elementos del subespacio fijados. Formalmente: si el f y el g es mapas continuos del X al Y y el K es un subconjunto X, después decimos que el f y el g son el en relación con homotópico K si existe un homotopy H : × del X ; → Y entre el f y el g tales que H ( k, t ) = f ( k ) = g ( k ) para todo el &isin del k ; &isin del K y del t ;. También, si el g es un contraer del X al K y al f es el mapa de la identidad, éste se sabe mientras que una deformación fuerte contrae del X al K .
Timelike homotopy
En un múltiple de Lorentzian, ciertas curvas se distinguen como Timelike . Un Timelike homotopy entre dos curvas del timelike es un homotopy tales que cada curva intermedia es timelike. No hay curva cerrada (adaptador de canal a canal) del timelike en un múltiple de Lorentzian timelike homotópico a un punto (es decir, timelike nulo homotópico); tal múltiple por lo tanto se dice para ser multiplica conectado por las curvas del timelike. Un múltiple tal como la esfera 3 puede ser el simplemente conectado (por cualquie tipo de curva), pero sea multiplica el timelike conectado.
Característica de la extensión de Homotopy
Otra participación útil de la característica homotopy es la característica de la extensión de Homotopy, cuál caracteriza la extensión de un homotopy entre dos funciones de un subconjunto de un cierto sistema al sistema sí mismo. Es útil al ocuparse Cofibrations
Isotopy
En caso de que sean los dos dados el f de las funciones continuas y el g del X del espacio topológico al Y del espacio topológico el Homeomorphisms uno puede preguntar si pueden ser conectados “con homeomorphisms”. Esto da lugar al concepto de isotopy, que es un homotopy, el H, en la notación usada antes, tales que para cada fijo t, H ( x, t ) da un homeomorfismo.Requiriendo que dos homeomorphisms sean isotópicos sean realmente un requisito más fuerte que ése sean homotópicos. Por ejemplo, el mapa del disco de la unidad en el R 2 definido por el f ( x, y ) = (− x, − el y ) es equivalente a una rotación de 180 grados alrededor del origen, y así que el mapa y el f de la identidad son isotópicos porque pueden ser conectados por rotaciones. Sin embargo, el mapa en el intervalo en el R definido por el f ( x ) = − el x es el no isotópico a la identidad. Libremente el discurso, homotopy del f a la identidad tendría que intercambiar las puntos finales, que significarían que tendrían que “pasar con”. Por otra parte, el f ha cambiado la orientación del intervalo, por lo tanto no puede ser isotópico a la identidad.
En &mdash geométrico de la topología ; por ejemplo en &mdash de la teoría de nudo ; la idea de isotopy se utiliza para construir relaciones de equivalencia. ¿Por ejemplo, cuándo se deben dos nudos considerar iguales? Tomamos dos nudos, K 1 y K 2, en tres espacio dimensional . La idea intuitiva del que deforme uno al otro debe corresponder a una trayectoria de homeomorphisms: el comenzar isotopy con el homeomorfismo de la identidad del espacio tridimensional, y terminación en un homeomorfismo, h, tal que el h mueve el K 1 a el K 2.
Ver también
que traza el grupo de la claseHomeotopy
.
| Random links: | Quandong | Lista de gente en estampillas de Gran Bretaña | Piedra de afilar de la operación | Tejido | Craigleith |