Un icosahedron ( griego del : eikosaedron del, del eikosi veinte del + asiento del hedron del ; /ˌaɪ.dɹən/ ; plural: - drons, - dracmas /-d ɹə/ ) es cualquier poliedro que tiene 20 caras, pero un icosahedron regular se implica generalmente, que tiene triángulos equilaterales como caras.
En la geometría, el icosahedron regular es uno de los cinco sólidos platónicos que es un poliedro regular convexo integrado por caras triangulares veinte, con cinco encontrándose en cada uno de las doce cimas. Tiene 30 bordes y 12 cimas. Su poliedro dual es el Dodecahedron .
Dimensiones
Si la longitud del borde de un icosahedron regular es , el radio de una esfera circunscrita (uno que toque el icosahedron en todas las cimas) es
y el radio de una esfera inscrita (tangente a cada uno de las caras del icosahedron) es
mientras que es el Midradius, que toca el centro de cada borde, r_m del
donde está el cociente el (también llamado φ) de oro .
Área y volumen
El A de la superficie y el V del volumen de un icosahedron regular del de la longitud del borde un son:
Coordenadas cartesianos
Los coordenadas cartesianos siguiente definen las cimas de un icosahedron con la borde-longitud 2, centradas en el origen:(0, ±1, ±φ) (±1, ±φ, 0) (±φ, 0, ±1) donde φ = (1+√5)/2 es el cociente de oro (también escrito el τ). Observar que estos sistemas de tres centrados mutuamente, mutuamente rectángulos de oro de la forma cinco de las cimas ortogonal
Los 12 bordes de un octaedro regular se pueden repartir en el cociente de oro de modo que las cimas resultantes definan un icosahedron regular. Esto es hecha por los primeros vectores de colocación a lo largo de los bordes del octaedro tales que cada cara es limitada por un ciclo, entonces repartiendo semejantemente cada borde en el medio de oro a lo largo de la dirección de su vector. Los octaedros cinco que definen cualquier icosahedron dado forman un regular el compuesto polihédrico, al igual que los dos icosahedra que se pueden definir de esta manera de cualquier octaedro dado.
Relaciones geométricas
Hay las distorsiones del icosahedron que, mientras que no más asiduo, son sin embargo cima-uniforman. Éstos son el invariante bajo mismas rotaciones que el tetraedro, y son algo análogos al cubo del desaire y al dodecahedron Snub, incluyendo algunas formas que sean el quiral y algo con Th-symmetry, es decir tienen diversos planos de la simetría del tetraedro. El icosahedron tiene una gran cantidad de Stellations incluyendo uno de los poliedros y algo de Kepler-Poinsot de los compuestos regulares, que se podrían discutir aquí.El icosahedron es único entre los sólidos platónicos en poseer un ángulo dihedral no menos que 120°. Su ángulo dihedral es aproximadamente 138. Así, apenas pues los hexágonos tienen ángulos no menos que 120° y no se pueden utilizar como las caras de un poliedro regular convexo porque tal construcción no cumpliría el requisito que por lo menos tres caras cumplen en una cima y dejan un defecto positivo para doblar en tres dimensiones, los icosahedra no se pueden utilizar como las células de un regular convexo Polychoron porque, semejantemente, por lo menos tres células deben encontrarse en un borde y dejar un defecto positivo para doblar en cuatro dimensiones (en general para un convexo Polytope en dimensiones del n, por lo menos tres facetas debe encontrarse en un pico y dejar un defecto positivo para doblar en el n - espacio). Sin embargo, cuando están combinados con las células convenientes que tienen ángulos dihedral más pequeños, los icosahedra se pueden utilizar como células en el polychora semi-regular (por ejemplo la célula del desaire 24), apenas mientras que los hexágonos se pueden utilizar como caras en los poliedros semi-regulares (por ejemplo el icosahedron truncado ). Finalmente, los polytopes no convexos no llevan los mismos requisitos terminantes que polytopes convexos, y los icosahedra son de hecho las células de la célula icosaédrica, uno 120 del polychora regular no convexo diez.
Un icosahedron se puede también llamar un bipyramid pentagonal gyroelongated . Puede ser descompuesto en una pirámide pentagonal de Gyroelongated y una pirámide pentagonal o en un antiprism pentagonal y dos pirámides pentagonales igual
El icosahedron se puede también llamar un tetraedro snub, pues el snubification de un tetraedro regular da un icosahedron regular. Alternativo, usar la nomenclatura para los poliedros snub que refiere a un cubo snub como cuboctahedron snub (cuboctahedron = cubo rectificado ) y un dodecahedron snub como icosidodecahedron snub (icosidodecahedron = dodecahedron rectificado), uno puede llamar el icosahedron el octaedro snub (octaedro = tetraedro rectificado).
Un rectificó formas del icosahedron de un Icosidodecahedron .
Icosahedron contra dodecahedron
Cuando un icosahedron está inscrito en una esfera, ocupa menos del volumen de la esfera (60.54%) que un Dodecahedron inscrito en la misma esfera (66.
Formas y aplicaciones naturales
Muchos el virus del herpes de los virus e., tiene la forma de un icosahedron. Las estructuras virales se construyen de subunidades idénticas repetidas de la proteína y el icosahedron es la forma más fácil a montar usar estas subunidades. Se utiliza un poliedro regular del porque puede ser construido de una sola proteína básica de la unidad usada una y otra vez; esto ahorra el espacio en el genoma viral .
En algunos juegos de Roleplaying que el veinte-echado a un lado muere (para el cortocircuito, el d20 ) se utiliza en la determinación de éxito o de falta de una acción. Este muere está bajo la forma de icosahedron regular. Puede ser numerado de " 0" al " 9" dos veces (en qué forma sirve generalmente como diez-echado a un lado morir, o el d10, pero la mayoría de las versiones modernas se etiquetan de " 1" al " 20".
Un icosahedron es el tablero tridimensional del juego para el Icosagame, conocido antes como el juego del cristal de Ico.
Un icosahedron se utiliza en el Scattergories del juego de mesa para elegir una letra del alfabeto. Seises pequeño-utilizaron letras, tales como X, Q, y se omite Z.
El muere dentro de una magia 8-Ball que ha impreso en él que 20 respuestas a las preguntas sí-no son un icosahedron regular.
El icosahedron exhibido en una forma funcional se considera en la cortina ligera de Sol de la Flor . El rosetón formó por la demostración traslapada de los pedazos una semejanza a la flor del Frangipani .
Si cada borde de un icosahedron es substituido por un resistor del ohmio de un, la resistencia entre las cimas opuestas está 0.5 ohmios, y ése entre las cimas adyacentes 11/30 ohmio.
El grupo de la simetría del icosahedron es el isomorfo al grupo de alternancia en cinco letras. Este grupo simple nonabelian es el subgrupo normal del único no trivial del grupo simétrico en cinco letras. Puesto que el grupo de Galois de la ecuación general de Quintic es isomorfo al grupo simétrico en cinco letras, y el hecho de que el grupo icosaédrico sea simple y nonabelian significa que las ecuaciones quintic no necesitan tener una solución en radicales. La prueba del teorema de Abel-Ruffini utiliza este simple hecho, y el Felix Klein escribió un libro que hizo uso de la teoría de simetrías icosaédricas para derivar una solución analítica a la ecuación quintic general.
¡The es de uso frecuente en los juegos video como substituto para una esfera, porque los polígonos planos se pueden rendir mucho más rápido que superficies cuadráticos.
Cultura popular
En el Rose de la serie del profeta por el Margarita Weis y el Tracy Hickman el universo reputa en la forma de una joya icosahedric llamada Sul. En esta joya cada cara representa una deidad del panteón y cada cima representa una calidad o un patrocinio que sean compartidos por cinco de dioses cuyas caras se encuentran en esa cima.
Ver también
Icosahedron truncado
Uso geodésico de las rejillas un icosahedron iterativo bisecado de generar rejillas en una esfera
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