La inducción Transfinite es una extensión de la inducción matemática a los sistemas well-ordered, por ejemplo a los sistemas de los ordinales o de los cardenales .

Inducción Transfinite

Suponer siempre que para todo el β < el α, P (β) sea verdades, después P (α) es también verdad. Entonces la inducción transfinite nos dice que P es verdad para todos los ordinales.

Es decir, si P (α) es verdad siempre que P (β) sea verdad para todo el β < α, después P (α) es verdad para todo el α. O, más prácticamente: para probar una característica P para todo el α de los ordinales, uno puede asumir que está sabido ya para todo el más pequeño β < α.

La prueba se analiza generalmente en tres casos:
caso del cero del

: prueban que P (0) es verdad.
caja del sucesor del del

: prueban que para cualquier sucesor ordinal β+1, P (β+1) sigue de P (β) (y, en caso de necesidad, P (α) para todo el α < β).
caso del límite del del

: prueban que para cualquier λ ordinal del límite, P (λ) sigue para de todo el α < λ.

Notar que el segundo y tercer caso es idéntico a excepción del tipo de ordinal considerado. No necesitan formalmente ser probados por separado, pero las pruebas están en la práctica típicamente así que diferente en cuanto a requerir las presentaciones separadas.

Repetición Transfinite

La repetición Transfinite es un método de construir o de definir algo y es estrechamente vinculada al concepto de inducción transfinite. Como ejemplo, una secuencia del A _α de los sistemas es definida para cada α ordinal, especificando tres cosas:
Qué A ₀ es
Cómo determinar el A _α+1 del A _α (o posiblemente de la secuencia entera hasta el A _α)
Para un λ ordinal del límite, cómo determinar el A _λ de la secuencia del A _α para el α < el λ

Más formalmente, podemos indicar el teorema Transfinite de la repetición como sigue. Las funciones dadas G₁, G₂, G₃ de la clase, allí existen una secuencia Transfinite F único con dom (F) = $\backslash \; mathrm\; \{Ord\}$ (el $\backslash \; el\; mathrm\; \{Ord\}$ es la clase apropiada de todos los ordinales) tales que
F (0) = G₁ ($\backslash \; emptyset$)
F ($\backslash \; alfa\; +\; 1$) = G₂ (F ($\backslash \; alpha$)), para todo el $\backslash \; alfa\; \backslash \; en\; \backslash \; mathrm\; \{Ord\}$
F ($\backslash \; alpha$) = G₃ (F$\backslash \; upharpoonright\; \backslash \; alpha$), para todo el $\backslash \; alfa\; \backslash \; neq\; 0$ del límite

Observar que requerimos los dominios de G₁, G₂, G₃ ser bastante amplios hacer las características antedichas significativas. La unicidad de la secuencia que satisface estas características se puede probar usar la inducción transfinite.

Más generalmente, uno puede definir objetos por la repetición transfinite en cualquier relación fundamentada R. (el R no necesita incluso ser un sistema; puede ser una clase apropiada, con tal que sea un fijar-como la relación de ; es decir, para cualquie x, la colección de todo el y tales que el yRx del debe ser un sistema.)

Relación al axioma de la opción

Hay una idea falsa popular que la inducción transfinite, o repetición transfinite, o ambas, requiere el axioma de la opción (CA). La inducción Transfinite se puede aplicar al sistema well-ordered. Es, sin embargo, muy a menudo el caso que las pruebas o las construcciones usar la inducción transfinite también utilizan el axioma de la bien-orden de la opción un sistema.

Por ejemplo, considerar la construcción siguiente Vitali determinado: Primero, Bien-orden que los reals dicen en una secuencia < un r _α | α, donde está la cardinalidad c de la serie continua . Dejar el igual r ₀ del v ₀. Entonces dejar el igual r _α1 del v ₁, donde está menos tal α1 que el r _α1  −   el v ₀ no es un número racional . Continuar; en cada paso elegir el lo más menos posible verdadero de la secuencia del r que no tiene una diferencia racional con ningún elemento hasta el momento construido en la secuencia del v . Continuar hasta que todos los reals en la secuencia del r se agoten. La secuencia final del v enumerará el sistema de Vitali.

La discusión antedicha utiliza la CA en una manera evidente al principio, bien-pidiendo los reals. Otras aplicaciones son más sutiles. Por ejemplo, una construcción por la repetición transfinite no especificará con frecuencia un valor único del para el A _α+1, dado la secuencia hasta α, sino especificará solamente una condición del que el A _α+1 deba satisfacer, y sostiene que es posible cumplir esta condición. Si no es posible definir un ejemplo único de tal sistema en cada etapa, después puede ser necesario invocar la CA para elegir uno tales en cada paso. Para las inducciones/las repeticiones de la longitud contable, el axioma más débil de la opción dependiente, C.

Ver también

Épsilon-inducción

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Zenithic

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