El infinito (representado comúnmente como el ∞ del símbolo) viene de los infinitas latinos o del " unboundedness." Refiere a varios conceptos distintos (ligados generalmente a la idea del " sin end") cuáles se presentan en la filosofía, las matemáticas, y teología .

En las matemáticas, " infinity" es de uso frecuente en los contextos en donde se trata como si fuera un número (es decir, cuenta o mide cosas: " un número infinito de terms") pero es un diverso tipo de " number" que los números verdaderos . El infinito se relaciona con las clases de los números de Aleph de los límites en la teoría determinada, la paradoja de los cardenales Dedekind-infinito de los sistemas de Russell grande, la aritmética no estándar, la geometría descriptiva de los números de Hyperreal, los números verdaderos ampliados el y infinito absoluto.

Lógica

En lógica que regresa un infinito discusión de está el " una clase distintivo filosófica de discusión que pretende demostrar que una tesis es defectuosa porque genera una serie infinita cuando cualquiera (la forma A) ninguna tal serie existe o (la forma B) era él a existir, la tesis carecería el papel (e., de la justificación) ese él se supone a play."

Símbolo del infinito

El origen exacto del ∞ del símbolo del infinito es confuso. Una posibilidad es sugerida por el nombre que a veces se llama- Lemniscate, del lemnisco latino del, significando el " ribbon." Uno puede imaginarse el caminar por siempre a lo largo de un lazo simple formado de una cinta.

Una explicación popular es que el símbolo del infinito está derivado de la forma de una tira de Möbius. Una vez más uno puede imaginarse el caminar a lo largo de su superficie por siempre. Sin embargo, esta explicación es improbable, puesto que el símbolo había sido funcionando representar el infinito por más de doscientos años antes agosto Fernando Möbius y el listado de Juan Benedicto descubrió la tira de Möbius en el 1858 .

Es también posible que es inspirado por un más viejo el simbolismo alquímico religioso del /. Por ejemplo, se ha encontrado en las tallas tibetanas de la roca, y el Ouroboros, o la serpiente del infinito, se representa a menudo en esta forma.

El Juan Wallis se acredita generalmente con la introducción del ∞ como símbolo para el infinito en el 1655 adentro sus conicis de De sectionibus. Una conjetura sobre porqué él eligió este símbolo es que él lo derivó de un número romano para 1000 que alternadamente fue derivado del número de Etruscan para 1000, que parecía algo face=" del CIƆ y fue utilizado a veces para significar el " many." Otra conjetura es que él la derivó del ω griego de la letra ( Omega ), la letra pasada en el alfabeto griego .

Otra posibilidad es que el símbolo fue elegido porque era fácil girar un " 8" carácter por el 90° cuando el que componía tipo de fue hecho a mano. El símbolo a veces se llama un " eight" perezoso;, evocando la imagen de un " 8" mentira en su lado.

Otra creencia popular es que el símbolo del infinito es una pintura clara del vidrio de la hora dio vuelta al 90°. Obviamente, esta acción haría el vidrio de la hora tardar tiempo infinito para vaciar así la presentación de un ejemplo tangible del infinito. La invención del reloj de arena precede la existencia del símbolo infinito permitiendo que esta teoría sea plausible. ¡

El símbolo del infinito es representado en el Unicode por el ∞ del carácter (U+221E).

Historia

Vistas indias tempranas del infinito

El Isha Upanishad Yajurveda (C.) indica ese " si usted quita una pieza de infinito o agrega una pieza al infinito, qué permanece sigue siendo infinity".

Pūrṇam adaḥ pūrṇam idam del
de (que es lleno, el es lleno) udacyate de pūrṇāt pūrṇam del
de (del lleno, se resta el lleno) ādāya de pūrṇasya pūrṇam del
de (cuando el lleno se toma del lleno) de pūrṇam evāvasiṣyate Isha Upanishad de (el alambique lleno permanecerá.) -

El matemático Surya Prajnapti ( 400 A. del texto indio de la C.) clasifica todos los números en tres sistemas: enumerable, innumerable, e infinito. Cada uno de éstos fue subdividida más a fondo en tres órdenes:

Enumerable: lo más bajo posible, intermedio y lo más arriba posible
Innumerable: casi innumerable, verdadero innumerable e innumerable innumerable
Infinito: casi infinito, verdadero infinito, infinitamente infinito

El Jains era el primer para desechar la idea que todos los infinites eran iguales o igualan. Reconocieron diversos tipos de infinitos: infinito en la longitud (una dimensión ), infinito en el área (dos dimensiones), infinito en el volumen (tres dimensiones), e infinito perpetuo (número infinito de dimensiones).

Según Singh (1987), José (2000) y Agrawal (2000), el enumerable más alto N del número del Jains corresponde al concepto moderno del $aleph-nulo\; \backslash \; aleph\_0$ (el número cardinal del sistema infinito de los números enteros 1, 2,…), el número Transfinite cardinal más pequeño. El Jains también definió un sistema entero de números cardinales infinitos, cuyo el enumerable más alto N del número es el más pequeño.

En el trabajo de Jaina sobre la teoría de los sistemas, dos tipos básicos de números infinitos son distinguidos. En los argumentos ontológicos de la comprobación y, una distinción fue hecha en medio asaṃkhyāta (" incontable, innumerable") y ananta (" del ; sin fin, unlimited"), entre los infinitos rígido limitados y libremente limitados.

¡Infinito matemático

El infinito se utiliza en varias ramas de las matemáticas.

Cálculo

considera también: [[límite (matemáticas)]], [[serie (matemáticas)]], [[integral incorrecto]]

En el análisis verdadero, el $\backslash \; infty$ del símbolo, llamado " infinity", denota un límite ilimitado . el $x\; \backslash \; el\; rightarrow\; \backslash \; infty$ significa que el x crece más allá de cualquier valor asignado, y los medios - \ infty del $x\; \backslash \; del\; rightarrow\; x\; son\; eventual\; menos\; que\; cualquier\; valor\; asignado.\; Si\; \ge \; 0\; del\; f\; (\; t\; )\; para\; cada\; t,\; entonces$

$\backslash \; int\_\; \{a\}\; ^\; \{\}\; \backslash ,\; de\; b\; f\; (t)\; \backslash \; despegue\; \backslash \; =\; \backslash \; infty$ significa que el f ( t ) no limita un área finita de a a b
$\backslash \; int\_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \}\; infty\; \backslash ,\; f\; (t)\; \backslash \; despegue\; \backslash \; =\; \backslash \; infty$ significa que el área bajo f ( t ) es infinita.
$\backslash \; int\_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \}\; infty\; \backslash ,\; f\; (t)\; \backslash \; despegue\; \backslash \; =\; 1$ significa que el área bajo iguales 1 del f ( t )

El infinito también se utiliza para describir la serie infinita :
$\backslash \; el\; sum\_\; \{i=0\}\; ^\; \{\backslash \}\; infty\; \backslash ,\; f\; (i)\; =\; x$ significa que la suma de la serie infinita converge a un cierto verdadero x del valor.
$\backslash \; el\; sum\_\; \{i=0\}\; ^\; \{\backslash \}\; infty\; \backslash ,\; =\; \backslash \; infty$ de f (i) significa que diverge la suma de la serie infinita en el sentido específico que las sumas parciales crecen sin límite.

Características algebraicas

considera también:

l [[línea de número verdadero extendida]]

El infinito es de uso frecuente no sólo definir un límite sino como un valor en el sistema de numeración verdadera affinely extendido. Los puntos etiquetados el $\backslash \; infty$ y el $-\; \backslash \; infty$ se pueden agregar al espacio topológico de los números verdaderos, produciendo el compactification del dos-punto del de los números verdaderos. El adición de características algebraicas a esto nos da los números verdaderos extendidos. Podemos también tratar el $\backslash \; infty$ y el $-\; \backslash \; infty$ como iguales, llevando al compactification del uno-punto del de los números verdaderos, que es la línea descriptiva verdadera . La geometría descriptiva también introduce una línea en el infinito en la geometría plana, y así sucesivamente para dimensiones más altas.

La línea de número verdadero extendida agrega dos elementos llamados infinito ($\backslash \; infty$), mayores que el resto de los números verdaderos extendidos, y el infinito negativo ($-\; \backslash \; infty$), menos que el resto de los números verdaderos extendidos, para los cuales algunas operaciones aritméticas pueden ser realizadas.

Análisis complejo

Como en análisis verdadero, en el análisis complejo el $\backslash \; infty$ del símbolo, llamó el " infinity", denota un límite ilimitado . el $x\; \backslash \; el\; rightarrow\; \backslash \; infty$ significa que la magnitud $|x|$ de x crece más allá de cualquier valor asignado. Un punto etiquetado el $\backslash \; infty$ de se puede agregar al plano complejo como espacio topológico que da el compactification del uno-punto del plano complejo. Cuando se hace esto, el espacio resultante es un múltiple complejo unidimensional, o el Riemann superficial, llamó el plano complejo extendido o la esfera de Riemann . Las operaciones aritméticas similares a ésas dadas abajo para los números verdaderos extendidos pueden también ser definidas, aunque no hay distinción en las muestras (por lo tanto una excepción es que el infinito no se puede agregar a sí mismo). Por una parte, esta clase de infinito permite la división por cero, a saber $z/0\; =\; \backslash \; infty$ para cualquier z del número complejo. En este contexto son a menudo útiles para considerar el las funciones meromórficas como mapas en la esfera de Riemann que toma el valor del $\backslash \; infty$ en los postes. El dominio de una función complejo-valorada se puede ampliar para incluir el punto en el infinito también. Un ejemplo importante de tales funciones es el grupo de las transformaciones de Möbius

Análisis no estándar

considera también:

l análisis no estándar

La formulación original del cálculo por Newton y cantidades infinitesimales usadas Leibniz. En el vigésimo siglo, fue demostrado que este tratamiento se podría poner en un pie riguroso a través de varios sistemas lógicos, incluyendo el análisis infinitesimal liso y el análisis no estándar . En estes 3ultimo, los infinitesimals son inversibles, y sus lo contrario son números infinitos. Los infinitos en este sentido son parte de un campo entero ; no hay equivalencia entre ellos como con el Transfinites de Cantorian por ejemplo si H es un número infinito, después H + H = 2H, y H + 1 son diversos números infinitos.

Fijar la teoría

considera también: Cardinalidad,

l del número ordinal

Un diverso tipo de " infinity" es el los infinitos cardinales ordinales de y de la teoría determinada. El chantre de Jorge desarrolló un sistema de números Transfinite que en los cuales el primer cardenal transfinite es el $Aleph-nulo\; (\backslash \; aleph\_0)$, la cardinalidad del sistema de los números naturales este concepto matemático moderno del infinito cuantitativo desarrollado en el siglo de fines del siglo diecinueve del trabajo por Cantor, Gottlob Frege, Richard Dedekind y otros, usar la idea de colecciones, o el fija

El acercamiento de Dedekind era esencialmente adoptar la idea de la correspondencia una por como estándar para comparar el tamaño de sistemas, y rechazar la opinión Galileo (que derivó Euclid ) que el conjunto no puede ser los mismos tamaños como la partición. Un sistema infinito se puede definir simplemente como uno que tiene los mismos tamaños como por lo menos uno de su " " apropiado ; piezas; esta noción del infinito se llama Dedekind infinito.

El chantre definió dos clases de números infinitos, de los números ordinales y de los números cardinales . Los números ordinales se pueden identificar con los sistemas Well-ordered, o la cuenta continuada a cualquier punto de parada, incluyendo puntos después de que un número infinito se haya contado ya. Generalizando finito y el infinito ordinario ordena que sean mapas de los números enteros positivos que lleva a los mappings de números ordinales, y secuencias transfinite. Los números cardinales definen el tamaño de los sistemas, significando cuántos miembros contienen, y pueden ser estandardizados eligiendo el primer número ordinal de cierto tamaño para representar el número cardinal de ese tamaño. El infinito ordinal más pequeño es el de los números enteros positivos, y fijado que tiene la cardinalidad de los números enteros es el contable infinito del . si un sistema es demasiado grande ser introducido una a una correspondencia con los números enteros positivos, se llama no numerable. Las opiniones del chantre de prevalecieron y las matemáticas modernas aceptan infinito real. Ciertos sistemas extendidos del número, tales como los números de Hyperreal incorporan los números (finitos) ordinarios y los números infinitos de diversos tamaños.

Nuestra intuición ganada de los sistemas finitos analiza cuando el ocuparse del ejemplo infinito de los sistemas uno de esto es paradoja de Hilbert del hotel magnífico .

Cardinalidad de la serie continua

considera también: Cardinalidad la serie continua

Uno de los resultados más importantes del chantre era que la cardinalidad de la serie continua ($\backslash \; mathbf\; c$) es mayor que la de los números naturales ($\{\backslash \; aleph\_0\}$); es decir, hay el R de números más verdaderos que el N de los números enteros. A saber, el chantre demostró que $\backslash \; el\; mathbf\; \{c\}\; =\; 2^\; \{\backslash \; aleph\_0\}\; >\; \{\backslash \; aleph\_0\}$ (véase la discusión diagonal del chantre).

La hipótesis de la serie continua indica que no hay número cardinal entre la cardinalidad de los reals y la cardinalidad de los números naturales, = \ aleph_1 es decir, del $\backslash \; del\; mathbf\; \{c\}.\; Sin\; embargo,\; estahipótesisse\; puede\; ni\; probar\; ni\; refutar\; dentro\; de\; la\; teoría\; determinada\; extensamente\; aceptada\; de\; Zermelo-Fraenkel,\; incluso\; si\; se\; asume\; que\; el\; axioma\; de\; la\; opción\; .$

La aritmética cardinal se puede utilizar para demostrar no sólo que el número de puntos en una línea de número verdadero es igual al número de puntos en cualquier segmento de esa línea, pero que éste es igual al número de puntos en un plano y, de hecho, en cualquier espacio finito-dimensional. Estos resultados son alto antiintuitivos, porque implican que existen los subconjuntos apropiados y los sobreconjuntos apropiados de un infinito S del sistema que tengan los mismos tamaños como S, aunque el S contenga los elementos que no pertenecen a sus subconjuntos, y los sobreconjuntos del S contiene los elementos que no se incluyen en él.

El primer de estos resultados es evidente considerando, por ejemplo, la función de la tangente, que proporciona una correspondencia una por entre el intervalo 0.5π y el R (véase también la paradoja de Hilbert del hotel magnífico ). El segundo resultado fue probado por Cantor en 1878, pero llegó a ser solamente intuitivo evidente en 1890, cuando el José Peano introdujo las líneas curvadas de compilación de las curvas que torcedura y vuelta bastante para llenar el conjunto de cualquie cuadrado, o cubo, o Hypercube, o espacio finito-dimensional. Estas curvas se pueden utilizar para definir una correspondencia una por entre los puntos en el lado de un cuadrado y ésos en el cuadrado.

Es también posible demostrar que existen los sistemas con la cardinalidad terminantemente mayor que el $\backslash \; el\; mathbf\; c$. Incluyen, por ejemplo:

el sistema de todos los subconjuntos del R, es decir, la energía determinado del R, escrita el P ( R ) o 2 ^{el R}
el R del ^{del R del sistema de todas las funciones del R a el R}

Ambos tienen la cardinalidad $2^\; \backslash \; =\; \backslash \; beth\_2$ del mathbf {c} (véase el número de Beth).

Matemáticas sin infinito

El Leopold Kronecker rechazó la noción del infinito y comenzó una escuela de pensamiento, en la filosofía de las matemáticas llamadas el Finitism que influenció la escuela filosófica y matemática del constructivismo matemático .

Infinito físico

En la física, las aproximaciones de los números verdaderos se utilizan para las medidas continuas y los números naturales se utilizan para las medidas discretas (es decir contando). Por lo tanto es asumido por los físicos que ninguna cantidad mensurable podría tener un valor infinito, por ejemplo tomando un valor infinito en un sistema extendido del número verdadero (véase también: Número de Hyperreal), o requiriendo la cuenta de un número infinito de acontecimientos. Es por ejemplo imposible presumido que cualquier cuerpo tenga masa infinita o energía infinita. Existe el concepto de entidades infinitas (tales como una onda plana infinito) pero no hay medios de generar tales cosas.

Debe ser precisado que esta práctica de rechazar los valores infinitos para las cantidades mensurables no viene a priori del o de las motivaciones ideológicas, pero algo de motivaciones más metodológicas y más pragmáticas. Una de las necesidades de cualquier teoría física y científica es dar las fórmulas usables a las cuales corresponde o por lo menos la realidad aproximada. Pues un objeto del ejemplo eventualmente de la masa gravitacional infinita era existir, cualquier uso de la fórmula para calcular la fuerza gravitacional llevaría a un resultado infinito, que estaría de ninguna ventaja puesto que el resultado sería siempre igual sin importar la posición y la masa del otro objeto. La fórmula sería útil ni para computar la fuerza entre dos objetos de masa finita ni para computar sus movimientos. Si un objeto total infinito fuera existir, cualquier objeto de la masa finita sería atraído con la fuerza infinita (y por lo tanto la aceleración) por el objeto total infinito, que no es lo que podemos observar en realidad.

Este punto de vista no significa que el infinito no se puede utilizar en la física. Para el motivo de la conveniencia, los cálculos, las ecuaciones, las teorías y las aproximaciones utilizan a menudo la serie infinita, las funciones ilimitadas etc., y pueden implicar cantidades infinitas. Los físicos sin embargo requieren que el resultado final sea físicamente significativo. En la teoría de campo de Quantum los infinitos se presentan que necesitan ser interpretados a fin de llevar a un resultado físicamente significativo, una renormalización llamada de proceso . Un uso donde se presentan los infinitos es la cuantificación de las temperaturas termodinámicas

Sin embargo, hay algunas circunstancias actual-aceptadas donde está infinito el resultado final. Un ejemplo es los calabozos . Los físicos han verificado que, cuando una estrella experimenta el derrumbamiento gravitacional, se encogerá eventual abajo a un punto del tamaño cero, y tienen así densidad infinita. Éste es un ejemplo de qué se llama una singularidad matemática, o un punto donde las leyes de las matemáticas, y por lo tanto de la física, analizan. Algunos físicos ahora creen que la singularidad puede ser físicamente verdadera, y que ha dado vuelta desde entonces a su atención a encontrar nuevas matemáticas donde están posibles los infinitos.

Infinito en cosmología

considera también:

físico del cosmología

Una pregunta intrigante es si el infinito real existe en nuestro universo físico : ¿Hay infinitamente muchas estrellas? ¿El universo tiene volumen infinito? El espacia el " ir en forever" ¿? Éste es un no se sabe importante del cosmología . Observar que la cuestión de ser infinita está lógicamente a parte de la cuestión del tener límites. La superficie de dos dimensiones de la tierra, por ejemplo, es finita, con todo no tiene ningún borde. Caminando/navegación/conduciendo derecho bastante tiempo, usted volverá al punto exacto que usted comenzó de. El universo, por lo menos en principio, pudo tener una topología similar ; si usted vuela su vehículo espacial todo derecho bastante tiempo, quizás usted revisitaría eventual su punto de partida. Si, sin embargo, el el universo está ampliando nunca entonces usted podría nunca volver a su punto de partida incluso en escala de tiempo infinito.

En la computación

El estándar flotante de IEEE especifica valores positivos y negativos del infinito; éstas pueden ser el resultado del desbordamiento aritmético, división por cero, u otras operaciones excepcionales.

Algunos lenguajes de programación que (por ejemplo, el J y la UNIDAD ) especifican el más grande y menos elementos, es decir valoran que comparen (respectivamente) mayor que o menos que el resto de los valores. Éstos se pueden también llamar la tapa y el inferior, o más el infinito y menos el infinito ; son útiles pues el centinela valora en los algoritmos que implican el que clasifica, que busca o la visualización en una ventana . En las idiomas que no tienen el más grande y menos elementos, pero permitir el que sobrecarga de los operadores emparentados que es posible al crea más grande y menos elementos (con un cierto por encima, y el riesgo de incompatibilidad entre las puestas en práctica).

En los artes

Las ilustraciones de la perspectiva utilizan el concepto de los puntos Vanishing imaginario situados en una distancia infinita del observador. Esto permite que los artistas creen las pinturas que representan realista distancia y foreshortening de objetos.

Conocen a algunos artistas específicamente para emplear el concepto de infinito en sus trabajos:
M. Escher

.