En las matemáticas, la integración de Monte Carlo del es la cuadratura numérica usar números pseudaleatorios que los métodos de la integración de es decir, Monte Carlo son los algoritmos para la evaluación aproximada de los integrales definidos los generalmente multidimensionales. Los algoritmos generalmente evalúan el integrando en una rejilla regular. Los métodos de Monte Carlo, sin embargo, eligen aleatoriamente los puntos en los cuales se evalúa el integrando.

Informal, estimar el área de un dominio D, primero escoger un dominio simple d cuya área se calcule fácilmente y que contenga la D. Ahora escoger una secuencia de puntos al azar que caigan dentro de la D. Alguna fracción de estos puntos también caerá dentro de la D. El área de D entonces se estima como esta fracción multiplicada por el área de la D.

El algoritmo tradicional de Monte Carlo distribuye el uniformemente de los puntos de la evaluación sobre la región de la integración. Los algoritmos adaptantes tales como VEGAS y MISER utilizan el muestreo de la importancia y técnicas del muestreo estratificado para conseguir un mejor resultado.

El algoritmo tradicional

El algoritmo computa una estimación de un integral definido multidimensional de la forma,

$I\; =\; \backslash \; int\_\; \{x\_l\}\; ^\; \{x\_u\}\; \backslash \; int\_\; \{y\_l\}\; ^\; \{y\_u\}\; f\; (x,\; y,\; \backslash \; ldots)\; \backslash ,\; dx\; \backslash ,\; dy\; \backslash \; ldots\; =\; \backslash \; int\_\; \{V\}\; f\; (x,\; y,\; \backslash )\; \backslash ,\; de\; los\; ldots\; dx\; \backslash ,\; dy\; \backslash \; ldots$

sobre el Hypercube con el volumen $V$ definido por {( x, y, …) | l &le del _{del x de} ; &le del x ; u , l &le del _{del x del del y de ; &le del y ; u} , &hellip del _{del y ; }.}

Los puntos de muestras llanos del algoritmo de Monte Carlo uniformemente de la región de la integración para estimar el integral y su error. Suponer que la muestra tiene N del tamaño y denota los puntos en la muestra por el x ₁, …, N del _{del x . Entonces la estimación para el integral es dada por el $E\; (f\; del\; ;\; N)\; =\; V\; \backslash \; cdot\; \backslash \; langle\; f\; \backslash rangle=\; V\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{N\}\; \backslash \; ^\; N-F\; (x\_i),$ del sum_ {i=1} donde el $\backslash \; el\; langle\; f\; \backslash \; rangle$ denota el medio de muestra del integrando.}

La variación de la función se puede estimar usar el $\backslash \; sigma^2\; (E\; del\; ;\; N)\; =\; \backslash \; frac\; \{V\}\; \{N\}\; \backslash \; ^N\; del\; sum\_\; \{i=1\}\; -\; \backslash \; langle\; f\; \backslash \; rangle\; (de\; f\; (x\_i))\; ^2.$

La variación de la estimación del integral se puede estimar usar el $\backslash \; sigma^2\; (E\; del\; ;\; N)\; =\; \backslash \; frac\; \{V\}\; \{N^2\}\; \backslash \; ^N\; del\; sum\_\; \{i=1\}\; -\; \backslash \; langle\; f\; \backslash \; rangle\; (de\; f\; (x\_i))\; ^2.$

Para grande N este variación disminuye asintótico como var ()/ N del f, donde está la variación el var ( f ) verdadera de la función sobre la región de la integración. La estimación de error sí mismo debe disminuir como σ ( f )/√ N . La ley familiar de los errores que disminuyen como 1/√ El N se aplica: para reducir el error por un factor de 10 requiere un aumento de cien veces en el número de puntos de muestra.

La expresión antedicha proporciona una estimación estadística del error en el resultado. Esta estimación de error no es un &mdash encuadernado del error terminante; el muestreo al azar de la región puede no destapar todas las características importantes de la función, dando por resultado un underestimate del error.

MISER Monte Carlo

El algoritmo del MISER de la prensa y de Farrar se basa en el muestreo estratificado recurrente. Esta técnica apunta reducir el error total de la integración concentrando puntos de la integración en las regiones de la variación más alta.

La idea del muestreo estratificado comienza con la observación que para dos desune las regiones a y b con las estimaciones de Monte Carlo del $E\_a\; integral\; (f)$ y $E\_b\; (f)$ y el $\backslash \; sigma\_a^2\; de\; las\; variaciones\; (f)$ y el $\backslash \; sigma\_b^2\; (f)$, la variación $Var\; (f)$ del $E\; combinado\; de\; la\; estimación\; (f)\; =\; (el\; 1/2)\; (E\_a\; (f)\; +\; E\_b\; (f))$ se da cerca, $del$

l \ mathrm {Var} (f) = (\ sigma_a^2 (N_a f)/4) + (\ sigma_b^2 (f)/4 N_b)

Puede ser demostrado que esta variación es reducida al mínimo distribuyendo los puntos tal que, $N\_a\; del$

l /(N_a + N_b) = \ sigma_a/(\ + \ sigma_b del sigma_a)

Por lo tanto la estimación de error más pequeña es obtenida asignando puntos de muestra en proporción con la desviación estándar de la función en cada subregión.

El algoritmo del MISER procede bisecando la región de la integración a lo largo de un eje coordinado para dar dos subregiones en cada paso. La dirección es elegida examinando todas las bisecciones posibles de d y seleccionando el que reducirá al mínimo la variación combinada de las dos subregiones. La variación en las subregiones es estimada muestreando con una fracción del número total de puntos disponibles para el paso actual. El mismo procedimiento entonces se repite recurrentemente para cada uno de los dos medios espacios de la mejor bisección. Los puntos de muestra restantes se asignan a las subregiones usar la fórmula para N_a y N_b. Esta asignación recurrente de los puntos de la integración continúa abajo a una profundidad definida por el usuario donde está integrada cada subregión usar una estimación llana de Monte Carlo. Estos valores del individuo y sus estimaciones de error entonces se combinan hacia arriba para dar un resultado total y una estimación de su error.

Este las rutinas utilizan el algoritmo de Monte Carlo del MISER para integrar la función f sobre la región hypercubic dévil-dimensional definida por los límites en los órdenes xl y el xu más bajos y superiores, cada uno del tamaño dévil. La integración utiliza un número fijo de llamadas de función, y obtiene puntos de muestreo al azar usar el generador de número al azar R. Un espacio de trabajo previamente asignado s debe ser suministrado. El resultado de la integración se vuelve en resultado, con un abserr estimado del error absoluto.

Parámetros configurables

El algoritmo del MISER tiene varios parámetros configurables.

estimate_frac

Este parámetro especifica la fracción del número actualmente disponible de llamadas de función que se asignen a estimar la variación en cada paso recurrente. En puesta en práctica de s de la biblioteca GNU el científico la ', el valor prefijado es 0.

min_calls

Este parámetro especifica el número mínimo de llamadas de función requeridas para cada estimación de la variación. Si el número de llamadas de función asignadas a la estimación usar estimate_frac baja debajo de min_calls entonces los min_calls se utilizan en lugar de otro. Esto se asegura de que cada estimación mantenga un nivel razonable de exactitud. En puesta en práctica de s de la biblioteca GNU el científico la ', el valor prefijado de min_calls es 16 * amortiguar.

min_calls_per_bisection

Este parámetro especifica el número mínimo de llamadas de función requeridas para proceder con un paso de la bisección. Cuando un paso recurrente tiene pocas llamadas disponibles que min_calls_per_bisection realiza una estimación llana de Monte Carlo de la subregión actual y termina su rama de la repetición. En puesta en práctica de s de la biblioteca GNU el científico la ', el valor prefijado de este parámetro es 32 * los min_calls.

alfa

Controles de este parámetro cómo las variaciones estimadas para las dos subregiones de una bisección se combinan al asignar puntos. Con el muestreo recurrente la variación total debe escalar mejor que 1/N, puesto que los valores de las subregiones serán obtenidos usar un procedimiento que reduzca al mínimo explícitamente su variación. Para acomodar este comportamiento el algoritmo del MISER permite que la variación total dependa de un parámetro \ de una alfa del escalamiento, $del$

l \ mathrm {Var} (f) = {\ sigma_a \ sobre N_a^ \ alfa} + {\ sigma_b \ sobre N_b^ \ alfa}

Los autores del papel original que describe a MISER recomiendan el $\backslash \; la\; alfa\; =\; el\; 2$ del valor como una buena opción, obtenida de experimentos numéricos, y ésta se utiliza como el valor prefijado en puesta en práctica de s de la biblioteca GNU el científico '.

estremecimiento

Este parámetro introduce una variación fraccionaria al azar del estremecimiento del tamaño en cada bisección, que se puede utilizar para romper la simetría de los integrandos que se concentran cerca del centro exacto de la región hypercubic de la integración. En puesta en práctica de s de la biblioteca GNU el científico la ', el valor prefijado del estremecimiento es cero, así que no se introduce ninguna variación. Si está necesitado, un valor típico del estremecimiento es alrededor 0.

VEGAS Monte Carlo

El algoritmo de VEGAS de G.Lepage se basa en el muestreo de la importancia. Él puntos de muestras de la distribución de probabilidad descrita por el $de\; la\; función|f|$, para concentrar los puntos en las regiones que hacen la contribución más grande al integral.

Generalmente si el integral de Monte Carlo de $f$ se muestrea con los puntos distribuidos según una distribución de probabilidad descrita por la función $g$, obtenemos un $E\_g\; de\; la\; estimación\; (f;\; N)$,

$E\_g\; (f;\; N)\; =\; E\; (f/g;\; N)$

con una variación correspondiente,

$Var\_g\; (f;\; N)\; =\; Var\; (f/g;\; N)$

Si la distribución de probabilidad se elige como $g\; =\; |f|/I\; (|f|)$ entonces puede ser demostrado que el $V\_g\; de\; la\; variación\; (f;\; N)$ desaparece, y el error en la estimación será cero. No es en la práctica posible muestrear de la distribución exacta $g$ para una función arbitraria, así que los algoritmos del muestreo de la importancia apuntan producir aproximaciones eficientes a la distribución deseada.

El algoritmo de VEGAS aproxima la distribución exacta haciendo un número de pasos sobre la región de la integración mientras que histografía la función $f$. Cada histograma se utiliza para definir una distribución de muestra para el paso siguiente. Este procedimiento converge asintótico a la distribución deseada. Para evitar el número de compartimientos del histograma que crecen como $K^d$ la distribución de probabilidad es aproximado por una función separable: $g\; (x\_1,\; x\_2,\; \backslash \; ldots)\; =\; g\_1\; (x\_1)\; g\_2\; (x\_2)\; \backslash \; ldots$ de modo que el número de compartimientos requeridos sea solamente $Kd$. Esto es equivalente a localizar los picos de la función de las proyecciones del integrando sobre las hachas coordinadas. La eficacia de VEGAS depende de la validez de esta asunción. Es la más eficiente cuando los picos del integrando bien-se localizan. Si un integrando se puede reescribir en una forma que sea aproximadamente separable esto aumenta la eficacia de la integración con VEGAS.

VEGAS incorpora un número de características adicionales, y combina el muestreo estratificado y el muestreo de la importancia. La región de la integración se divide en un número de " boxes", con cada caja consiguiendo un número fijo de puntos (la meta es 2). Cada caja puede entonces tener un número fraccionario de compartimientos, pero si los compartimientos/caja son menos de dos, Vegas cambia a una reducción buena de la variación (algo que el muestreo de la importancia).

Este las rutinas utilizan el algoritmo de VEGAS Monte Carlo para integrar la función $f$ sobre la región hypercubic dévil-dimensional definida por los límites más bajos y superiores en los órdenes $xl$ y $xu$, cada uno del tamaño $dim$. La integración utiliza un número fijo de llamadas de las llamadas de función, y obtiene puntos de muestreo al azar usar el generador de número al azar $r$. Un espacio de trabajo previamente asignado $s$ debe ser suministrado. El resultado de la integración se vuelve en $result$, con un error absoluto estimado $abserr$. El resultado y su estimación de error se basan en un promedio cargado de muestras independientes. El Chi por el grado de libertad para el promedio cargado se vuelve vía el componente del struct del estado, $s\; \backslash \; a\; chisq$, y debe ser constante con 1 para que el promedio cargado sea confiable.

El algoritmo de VEGAS computa un número de estimaciones independientes del integral interno, según el parámetro de las iteraciones descrito más abajo, y vueltas su promedio cargado. El muestreo al azar del integrando puede producir de vez en cuando una estimación donde está cero el error, particularmente si la función es constante en algunas regiones. Una estimación con el error cero hace el promedio cargado analizar y se debe dirigir por separado. En las puestas en práctica originales del FORTRAN de VEGAS la estimación de error es hecha diferente a cero substituyendo un pequeño valor (típicamente 1e-30). La puesta en práctica en GSL diferencia de esto y evita el uso de un constante arbitrario -- cualquiera asigna a valor al peso que es el peso medio de las estimaciones anteriores, o descartes él según el procedimiento siguiente:
el del

que la estimación actual tiene error cero, promedio cargado tiene
The finito del error estimación actual se asigna un peso que es el peso medio de las estimaciones anteriores.
La estimación actual del tiene error finito, las estimaciones anteriores tenían
The del error cero que se desechan las estimaciones anteriores y el procedimiento que hace un promedio cargado comienza con la estimación actual.
La estimación actual del tiene error cero, las estimaciones anteriores tenían estimaciones del
The del error cero se hacen un promedio usar el medio aritmético, pero no se computa ningún error.

Parámetros configurables

El algoritmo de VEGAS es configurable.

chisq

Este parámetro da el Chi por el grado de libertad para la estimación cargada del integral. El valor del chisq debe estar cercano a 1. Un valor del chisq que diferencia perceptiblemente a partir de la 1 indica que los valores de diversas iteraciones son contrarios. En este caso el error cargado será subestimado, y otras iteraciones del algoritmo son necesarias obtener resultados confiables.

alfa

La alfa del parámetro controla la tiesura del algoritmo rebinning. Se fija típicamente entre uno y dos. Un valor de cero previene rebinning de la rejilla. En puesta en práctica de s de la biblioteca GNU el científico la ', el valor prefijado es 1.

iteraciones

El número de iteraciones a realizarse para cada llamada a la rutina. En puesta en práctica de s de la biblioteca GNU el científico la ', el valor prefijado es 5 iteraciones.

etapa

Fijando esto determina la etapa del cálculo. Normalmente, la etapa = 0 que comience con una nueva rejilla uniforme y vacia promedio cargado. Llamando vegas con la etapa = 1 conserva la rejilla del funcionamiento anterior pero de descartes el promedio cargado, de modo que pueda uno " tune" la rejilla usar un número relativamente pequeño de puntos y entonces hace un funcionamiento grande con la etapa = 1 en la rejilla optimizada. La etapa del ajuste = 2 subsistencias la rejilla y el promedio cargado del funcionamiento anterior, pero puede aumentar (o disminución) el número de compartimientos del histograma en la rejilla dependiendo del número de llamadas disponibles. Eligiendo la etapa = 3 entra en el lazo principal, para no cambiar nada, y es equivalentes a realizar iteraciones adicionales en una llamada anterior.

modo

Las opciones posibles son GSL_VEGAS_MODE_IMPORTANCE, GSL_VEGAS_MODE_STRATIFIED, GSL_VEGAS_MODE_IMPORTANCE_ONLY. Esto determina si VEGAS utilizará el muestreo de la importancia o el muestreo estratificado, o si puede escoger en sus los propios. En dimensiones bajas VEGAS utiliza el muestreo estratificado terminante (más exacto, se elige el muestreo estratificado si hay menos de 2 compartimientos por la caja).

Referencias y lectura adicional

El algoritmo del MISER se describe en el artículo siguiente,
Prensa del

W. Farrar, muestreo estratificado recurrente para la integración multidimensional de Monte Carlo, computadoras en la física, v4 (1990), pp190-195.

El algoritmo de VEGAS se describe en los papeles siguientes,
G. Lepage, un nuevo algoritmo del

para la integración multidimensional adaptante, diario de la física de cómputo 27, 192-203, (1978)
G. Lepage, VEGAS: Un programa multidimensional adaptante de la integración, prueba preliminar CLNS 80-447, marzo de 1980 de Cornell ---- basado en manual de s de la biblioteca GNU el científico ', que se publica debajo del GFDL (y por lo tanto libre de utilizar para Wikipedia). Original disponible aquí.

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