asunto de este artículo del

l el no es el de la integración funcional (neurobiología) o integración funcional (sociología) .

La integración funcional es una colección de resultados en las matemáticas y la física donde está no más una región el dominio de un integral del espacio, solamente un espacio de las funciones . Los integrales funcionales se presentan en la probabilidad, en el estudio de las ecuaciones diferenciales parciales y en el acercamiento de Feynman a los mecánicos de Quantum de partículas y de campos.

En un integral ordinario hay una función a ser integrated— el integrand— y una región de espacio sobre la cual para integrar el function— el dominio de la integración. El proceso de la integración consiste en el agregar de los valores del integrando en cada punto del dominio de la integración. La elaboración de este procedimiento riguroso requiere un procedimiento limitador, donde el dominio de la integración se divide en regiones más pequeñas y más pequeñas. Para cada pequeña región el valor del integrando no puede variar mucho así que puede ser substituido por un solo valor. En un integral funcional el dominio de la integración es un espacio de funciones. Para cada función las vueltas del integrando un valor a agregar para arriba. Haciendo este procedimiento actitudes rigurosas desafíos que son el asunto de la investigación en el principio del siglo XXI.

La integración funcional fue introducida por la salchicha de Francfort en 1921 en sus estudios del movimiento browniano . Él desarrolló un &mdash riguroso del método; ahora conocido como el &mdash de la medida de la salchicha de Francfort; para asignar una probabilidad a la trayectoria al azar de una partícula. El Feynman desarrolló otro integral funcional, la trayectoria integral, útil para computar las características del quántum de sistemas. En el integral de la trayectoria de Feynman, la noción clásica de una trayectoria única para una partícula es substituida por una suma infinita de trayectorias clásicas, cada uno cargadas diferentemente según sus características clásicas.

La integración funcional es central a las técnicas de la cuantificación en la física teórica. Las características algebraicas de integrales funcionales se utilizan para desarrollar la serie usada para calcular características en la electrodinámica de Quantum y el modelo estándar .

El problema de la integración funcional

La integración de funciones es una adición. Si el dominio de la integración es los × cuadrados del ; , el integral es computado rompiendo la región en pequeños rectángulos. Cada rectángulo sirve como la base de una prisma cuya altura sea cualquier valor de la función dentro del rectángulo. El integral es la suma de los volúmenes (× bajos; altura) de todas las prismas. Si los rectángulos son bastante pequeños y la función lisa, el proceso converge.

Un funcional es una función que asocia un número a una función. Esto está en la distinción a las funciones comunes que asocian números a otros números. Los ejemplos de functionals incluyen el funcional que es uno para cualquier función, o el funcional que vuelve el integral de la función sobre un dominio.

Por analogía con la integración de funciones, la integración funcional es un procedimiento de la adición donde está un espacio el dominio de la integración de funciones y el integral funcional una adición de cilindros (apenas como las prismas en la integración ordinaria) con el funcional como la altura y una cierta cantidad (o medida) de espacio de función como la base. La “área” de las funciones se puede representar por el Dω, el funcional por el F (los corchetes son de uso frecuente distinguir functionals de funciones comunes), el espacio de funciones por el I y el integral funcional por el width="

$\backslash \; int\_\; \{I\}\; D\; \backslash \; Omega\; \backslash ,\; F\; \backslash .\; ¡$

(1)

ecuación 1 --> El resultado de integrar un funcional es ser un número. Desarrollar una definición al de la ecuación (1) que tiene características similares a la integración ordinaria es el problema de la definición de la integración funcional. No hay teoría general para tener sentido de esta expresión formal pues hay para la integración convencional .

En la integración funcional hay diversos espacios a considerar:
El ω del de las funciones se define en un ν - espacio dimensional del llamado espacio-tiempo. Éste es cuántos dimensionan se utilizan para especificar un punto en el dominio del ω del . El espacio-tiempo se asume a menudo para ser un subconjunto del R ^ν, el espacio euclidiano con dimensiones del ν del . En usos de la integración funcional, el ω del de las funciones representa las trayectorias de la partícula (en este caso ν del = 1) o un campo físico tal como el potencial del vector (en este caso ν del = 4).
El espacio para la gama del ω del de las funciones también varía dependiendo de usos. Este espacio está localmente un subconjunto del R ^κ. En usos puede ser ³ del R, como en los mecánicos de quántum; o un espacio más complicado, tal como un paquete de la tangente como en el caso del chromodynamics de Quantum.
El dominio de la integración es un espacio de función, y probable ser dimensional infinito.

Se espera que una definición de la integración funcional, por analogía con la integración común, satisfaga ciertas características. La integración funcional debe ser sí mismo una funcional linear, tal que   de Dω ∫; ( F + α  del ; G ) =   de Dω ∫; F +   de Dω ∫ del α del ; G . Los volúmenes en espacio funcional deben ser invariantes bajo traducción. Una bola en espacio funcional se centró alrededor de un f de la función o ésa la misma función más un constante debe dar lugar al mismo valor para el integral funcional. También, si el espacio funcional sucede ser dimensional finito, después el integral funcional debe ser relacionado con la integración ordinaria. Estas condiciones son imposibles de satisfacer para los integrales funcionales.

El intentar generalizar directo la noción del volumen en espacio funcional no ha llevado a una teoría útil de la integración funcional. La discretización del integral funcional en el de la ecuación (1) podía ser un acercamiento hacia su definición. Para la caja de trayectorias unidimensionales (el ν=1 y el κ del =1), la integración funcional es substituido por un n - integral dimensional y el funcional se computa del valor del ω del de la trayectoria y de los puntos del n . El integral funcional entonces sería el valor del n - integral dimensional en el límite del n que va al infinito:

$\backslash \; internacional\; D\; \backslash Omega\backslash ,\; F\; (\backslash \; Omega)\; =\; \backslash \; lim\_\; \{n\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \}\; infty\; \backslash \; internacional\; d\; \backslash \; omega\_1\; \backslash \; internacional\; d\; \backslash \; omega\_2\; \backslash \; ldots\; \backslash \; internacional\; d\; \backslash \; omega\_n\; F\; (\backslash \; omega\_1,\; \backslash ,\; \backslash \; omega\_n\; de\; los\; ldots)$

(2)

El “tamaño” de un espacio de función se puede computar de esta expresión usando el funcional simple F =1. que elige un espacio de función adonde cada ω_i varía sobre la gama limitada del W de la longitud, el n - el integral dimensional es igual al W ⁿ. Esto divergirá al infinito o convergerá para poner a cero adentro el límite. La construcción de una teoría de la integración cuando el valor del integral puede solamente ser cero o del infinito no es muy interesante.

La mayor parte de los cilindros que contribuyen al integral funcional (2) corresponden a las funciones discontinuas. En el movimiento browniano o en la formulación integral de la trayectoria de los mecánicos de quántum, las trayectorias son continuas. Ambos usos no generalizaron la noción del volumen a los espacios funcionales, como en el de la ecuación (1), sino generalizaron algo la noción de un integral gausiano . En usos, el ser funcional integrado se relaciona con un funcional S de la acción que se presenta de mecánicos clásicos. Los functionals de la acción se pueden escribir como la suma de dos términos, S ₀ + el i del _{del S, con el S 0 implicando el derivado de la función ajustada. Por ejemplo, para el caso del = unidimensional \ internacional d \ tau del de las trayectorias $S\_0\; \backslash ,\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; punto\; \{\backslash \; Omega\}\; ^2\}\; \{2\}$. Las trayectorias lisas llevan a los pequeños valores del funcional, y las variaciones grandes de la trayectoria (como si casi sea discontinuo) llevan a los valores grandes del funcional. Introducción de un término exp (− El S 0) en el integral funcional debe humedecer los efectos de trayectorias discontinuas. Esto lleva a los integrales funcionales gausianos.}

Integración gausiana

En vez de generalizar la noción del volumen a las dimensiones infinitas, el integral gausiano puede ser generalizado. Si el M es × del n un del positivo; n simétrico matriz, y x y J son n - los vectores dimensionales, el integral gausiano básico se pueden utilizar para demostrar ese $\backslash \; internacional\; Dx\; del\; \backslash ,\; =\; \backslash \; frac\; del\; e^\; \{-\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; x\; \backslash \; cdot\; M\; \backslash \; cdot\; x\; +\; x\; \backslash \; cdot\; J\}\; \{1\}$

{\ raíz cuadrada Acercamientos a los integrales de la trayectoria

Los integrales funcionales donde está trayectorias el espacio de la integración (ν del = 1) se pueden definir en muchas maneras diferentes. Las definiciones bajan en dos diversas clases: las construcciones derivaron de la producción de la teoría de la salchicha de Francfort que un integral basó en una medida ; considerando que no hacen las construcciones que siguen el integral de la trayectoria de Feynman. Incluso dentro de estas dos divisiones amplias, los integrales no son idénticos, es decir, se definen para diversas clases de funciones.

El integral de la salchicha de Francfort

En la salchicha de Francfort integral una probabilidad se asigna a una clase de trayectorias del movimiento browniano . La clase consiste en el w de las trayectorias que se sabe para pasar con una pequeña región de espacio en un momento dado. El paso con diversas regiones de espacio se asume que asumen a la independiente de uno a y de la distancia entre cualquier dos puntos de la trayectoria browniana para ser el distribuido gausiano con una variación que dependa del t del tiempo y de un D del constante de difusión: $del\; \backslash \; mathrm\; \{Prob\}\; (w\; (s+t),\; t|w,\; s)\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\}\; \backslash \; exp\; \{\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{2\; \backslash \; pi\; D\; t\}\; \backslash \; ido\; (\{-\; \backslash \; frac\; \{\backslash |w\; (s+t)\; -\; w\; \backslash |^2\}\; \{2Dt\}\}\; \backslash )$ derecho La probabilidad para la clase de trayectorias puede ser encontrada multiplicando las probabilidades de comenzar en una región y después de estar en el siguiente. La medida de la salchicha de Francfort puede ser desarrollada considerando el límite de muchas pequeñas regiones.

Ito y cálculo de Stratonovich

El integral de Feynman

Fórmula del trotón del

La idea de Kac de las rotaciones del fieltro.
Usar x-punto-punto-ajustado o i S + x-punto-ajustado.
El Cartier DeWitt-Morette confía en los integradores algo que medidas

Ver también

Trayectoria integral de Feynman
Función de partición .

Zenithic

Lee Bowman

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