La integración es un concepto de la base de las matemáticas avanzadas, específicamente en los campos del cálculo y del análisis matemático . Dado un f ( x ) de la función de un variable x verdadero y un intervalo de la línea verdadera, el integral $del$

l \ int_a^b f (x) \, dx

es igual al área de una región en el xy - plano limitado por el gráfico f, el x - el eje, y a las líneas verticales x = un y el x = el b, con áreas debajo del x - eje que es restado.

El " del término; integral" puede también referir a la noción Antiderivative, un F de la función cuyo derivado sea el dado f de la función. En este caso se llama un integral indefinido, mientras que los integrales discutidos en este artículo se llaman los integrales definidos . Algunos autores mantienen una distinción entre los antiderivatives y los integrales indefinidos.

Los principios de integración fueron formulados por el Isaac Newton y el Gottfried Wilhelm Leibniz en el último siglo XVII. Con el teorema fundamental del cálculo, eso que desarrollaron independiente, la integración está conectada con la diferenciación, y el integral definido de una función puede ser computado fácilmente una vez que se sabe un antiderivative. Los integrales y los derivados se convirtieron en las herramientas básicas del cálculo, con usos numerosos en ciencia y la ingeniería.

Una definición matemática rigurosa del integral fue dada por el Bernhard Riemann . Se basa en un que limita el procedimiento de que aproxima el área de una región curvilínea rompiendo la región en las losas verticales finas. Comenzando en el siglo XIX, nociones más sofisticadas del integral comenzaron a aparecer, donde el tipo de la función así como el dominio sobre el cual se realiza la integración se ha generalizado. Una línea integral se define para las funciones de dos o tres variables, y el intervalo de la integración es substituido por cierta curva que conecta dos puntos en el plano o en el espacio. En una superficie integral, la curva es substituida por un pedazo de una superficie en el espacio tridimensional. Los integrales del diferencial forman el juego de un papel fundamental en la geometría diferenciada moderno. Estas generalizaciones del integral primero se presentaron de las necesidades de la física, y desempeñan un papel importante en la formulación de muchas leyes físicas, notablemente ésos de la electrodinámica . Los conceptos modernos de integración se basan en la teoría matemática abstracta conocida como integración de Lebesgue, desarrollada por el Enrique Lebesgue .

Historia

Historia del cálculo

integración del Pre-cálculo

La integración se puede remontar desde Egipto antiguo, circa 1800 A., con el papiro matemático de Moscú demostrando conocimiento de una fórmula para el volumen de un tronco piramidal . La técnica sistemática primero documentada capaz de determinar integrales es el método del agotamiento Eudoxus ( circa 370 A.), que intentó encontrar áreas y volúmenes rompiéndolos para arriba en un número infinito de formas para las cuales el área o el volumen era sabida. Este método fue desarrollado y empleado por el Archimedes y utilizado más a fondo para calcular áreas para las parábolas y una aproximación al área de un círculo. Los métodos similares fueron desarrollados independiente en China alrededor del ANUNCIO del siglo III por el Liu Hui, que lo utilizó para encontrar el área del círculo. Este método fue utilizado más adelante por el Zu Chongzhi para encontrar el volumen de una esfera. Algunas ideas del cálculo integral se encuentran en el Siddhanta Shiromani, un texto de la astronomía del siglo XII por el indio Bhāskara II del matemático.

Los avances significativos en técnicas tales como el método de agotamiento no comenzaron a aparecer hasta el ANUNCIO del siglo XVI. En este tiempo el trabajo Cavalieri con su método del de los indivisibles, y el trabajo por el Fermat, comenzó a poner las fundaciones del cálculo moderno. Otros pasos fueron hechos en el siglo XVII temprano por la carretilla y el Torricelli, que proporcionaron las primeras indirectas de una conexión entre la integración y la diferenciación .

Newton y Leibniz

El avance principal en la integración vino en el siglo XVII con el descubrimiento independiente del teorema fundamental del cálculo por el Newton y el Leibniz . El teorema demuestra una conexión entre la integración y la diferenciación. Esta conexión, combinada con la facilidad comparativa de la diferenciación, se puede explotar para calcular integrales. Particularmente, el teorema fundamental del cálculo permite que uno solucione una clase mucho más amplia de problemas. El igual en importancia es el marco matemático comprensivo que Newton y Leibniz desarrollaron. Dado el cálculo infinitesimal conocido, permitió el análisis exacto de funciones dentro de dominios continuos. Este marco se convirtió en eventual el cálculo moderno, cuya notación para los integrales se extrae directo del trabajo de Leibniz. ¡

Formalización de integrales

Mientras que Newton y Leibniz proporcionaron un acercamiento sistemático a la integración, su trabajo careció un grado de rigor. Obispo Berkeley atacó memorable el Infinitesimals como " los fantasmas del quantity" salido;. El cálculo adquirió un pie más firme con el desarrollo de los límites y fue dado una fundación conveniente por el Cauchy por la mitad primer del siglo XIX. La integración era primera riguroso haber formalizado, usar límites, al lado de Riemann . Aunque todos limitaran las funciones por trozos continuas son Riemann integrable en un intervalo limitado, funciones más generales eran consideradas posteriormente, a las cuales la definición de Riemann no se aplica, y el Lebesgue formuló una diversa definición del integral, fundada en la teoría de medida . Otras definiciones de los acercamientos integrales, que extendían de Riemann y de Lebesgue, fueron propuestas.

Notación

El Isaac Newton utilizó una pequeña barra vertical sobre una variable para indicar la integración, o puso la variable dentro de una caja. ¡La barra vertical fue confundida fácilmente con el $\backslash \; el\; punto\; \{x\},\; \backslash !\; de$ o del $x\text{'}\backslash$, que Newton usado para indicar la diferenciación, y la notación de la caja era difícil para que las impresoras reproduzcan, así que estas notaciones no fueron adoptados extensamente.

La notación moderna para el integral indefinido fue introducida por el Gottfried Leibniz en 1675 (; ). Él adaptó el símbolo integral, " ∫", de una letra alargada S, colocándose para el compendio del (latino para el " sum" o " total"). La notación moderna para el integral definido, con límites sobre y debajo de la muestra integral, primero fue utilizada por el José Fourier en el Mémoires de la academia francesa alrededor de 1819-20, reimpreso en su libro de 1822 (; ). En la notación matemática árabe que se escribe de la derecha hacia la izquierda, se utiliza un símbolo integral invertido.

Terminología y notación

Si una función tiene un integral, reputa el integrable. La función para la cual se calcula el integral se llama el integrando . La región sobre la cual una función está siendo integrada se llama el dominio del de la integración . Si el integral no tiene un dominio de la integración, se considera indefinido (uno con un dominio se considera definido). Generalmente el integrando puede ser una función más que una variable, y el dominio de la integración puede ser un área, volumen, una región dimensional más alta, o aún un espacio abstracto que no tiene una estructura geométrica en ningún sentido generalmente.

El caso más simple, el integral de un con valores reales f de la función de un x de la variable verdadera en el intervalo '' b '', es denotado por el $\backslash \; el\; int\_a^b\; f\; del\; (x)\; \backslash ,\; dx.$ El ∫ muestra, un " alargado; S", representa la integración; el un y el b son el límite más bajo y el límite superior de la integración, definiendo el dominio de la integración; el f es el integrando, ser evaluado como x varía sobre el intervalo; y el dx del puede tener diversas interpretaciones dependiendo de la teoría que es utilizada. Por ejemplo, puede ser visto como simplemente notación que indica que el x es la “variable simulada” de la integración, como reflexión de los pesos en la suma de Riemann, una medida (en la integración de Lebesgue y sus extensiones), un infinitesimal (en análisis no estándar) o como cantidad matemática independiente: una forma diferenciada . Casos más complicados pueden variar la notación levemente.

Introducción

Los integrales aparecen en muchas situaciones prácticas. Considerar una piscina. Si es rectangular, después de su longitud, anchura, y profundidad podemos determinar fácilmente el volumen de agua que puede contener (llenarlo), del área de su superficie (cubrirla), y de la longitud de su borde (rope la). Pero si son ovales con una parte inferior redondeada, todas estas cantidades piden integrales. Las aproximaciones prácticas pueden ser suficientes al principio, pero exigimos eventual respuestas exactas y rigurosas a tales problemas.

Para comenzar, considerar el   del y de la curva; = f ( x ) entre el   del x ; = 0 y   del x ; = 1, con el   del f ( x ); = √ x . Pedimos: ¿ cuál es el área bajo f de la función, en el intervalo a partir de la 0 a 1? y llamar esta (con todo desconocido) área el integral del f . ¡La notación para este integral será el $\backslash \; int\_0^1\; \backslash raíz\; cuadradax\; \backslash ,\; del\; dx\; \backslash ,\; \backslash !$.

Como primera aproximación, mirar el cuadrado de la unidad dado por el x =0 de los lados al x =1 y al y = el f (0) =0 y el y = el f (1)=1. Su área es exactamente 1. Mientras que es, el valor verdadero del integral debe ser algo menos. La disminución de la anchura de los rectángulos de la aproximación dará un mejor resultado; cruzar tan el intervalo en cinco pasos, usar los puntos 0 de la aproximación, ¹⁄ ₅, ²⁄ ₅, y así sucesivamente a 1. ajustes una caja para cada paso usar la altura del final correcto de cada pedazo de la curva, así √ ¹⁄ ₅, √ ²⁄ ₅, y así sucesivamente a √ 1  = 1. que suma las áreas de estos rectángulos, conseguimos una mejor aproximación para el integral buscado, a saber ¡1⁄ ₅* (¹⁄ ₅-0) +√ ²⁄ ₅* (²⁄ ₅-¹⁄ ₅) +… +√ ⁵⁄ ₅* (⁵⁄ ₅-⁴⁄ ≈ 0.7497 de ₅). --¡>

$\backslash \; raíz\; cuadrado\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{5\}\}\; \backslash \; ido\; (\backslash \; frac\; \{1\}\; \{5\}\; -\; 0\; \backslash \; derecho)\; +\; \backslash \; raíz\; cuadrado\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{5\}\}\; \backslash \; 5\}\; -\; dejado\; (\backslash \; del\; frac\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \{\{5\}\; \backslash \; derecho)\; +\; \backslash \; ldots\; +\; \backslash \; raíz\; cuadrado\; \{\backslash \; frac\; \{5\}\; \{5\}\}\; \backslash \; 5\}\; -\; dejado\; (\backslash \; del\; frac\; \backslash \; frac\; \{4\}\; \{5\}\; \backslash )\; derecho\; \backslash \; aproximadamente\; \{5\}\; \{0.7497\; \backslash ,\; \backslash !$

Notar que estamos tomando una suma finito de muchos valores de la función del f, multiplicados con las diferencias de dos puntos subsecuentes de la aproximación. Podemos ver fácilmente que la aproximación sigue siendo demasiado grande. Usar más pasos produce una aproximación más cercana, pero nunca será exacto: substituyendo los 5 subintervalos por doce según lo representado, conseguiremos un valor de aproximación para el área de 0.6203, que es demasiado pequeño. La idea dominante es la transición de agregar el finito muchas diferencias de de los puntos de la aproximación multiplicados por sus valores respectivos de la función a usar infinitamente muy bien, o el infinitesimal del camina. ¡El $\backslash \; internacional\; f\; del\; de\; la\; notación\; (x)\; \backslash ,\; dx\; \backslash ,\; \backslash !$ concibe el integral como una suma cargada (denotada por el " alargado; S"), con valores de la función (tales como las alturas,   del y ; = f ( x )) multiplicado por anchuras infinitesimales del paso, los diferenciales supuestos del (denotados por el dx del ).

En cuanto al cálculo real de integrales, el teorema fundamental del cálculo, debido a Newton y a Leibniz, es el acoplamiento fundamental entre las operaciones que distinguen y que integran. Bajo condiciones convenientes, el valor de un integral sobre una región puede ser determinado mirando el límite de la región solamente. Aplicado a la curva de la raíz cuadrada, dice mirar el   relacionado del F ( x ) de la función; = ²⁄ ₃√ el x ³, y toma simplemente el F (0) del F (1)−, donde 0 y 1 es los límites del intervalo . (Éste es un ejemplo de una regla general, de que para el   del f ( x ); = q del ^{del x, con el   del q ; ≠ −1, la función relacionada, el supuesto Antiderivative es   del F ( x ); = ()/(del q +1} del ^{del x q +1).)}

¡mucho más adelante, debido a Fourier. -->Historically, después de que la falta de esfuerzos tempranos riguroso para definir infinitesimals, Riemann definió formalmente integrales como límite de sumas cargadas ordinarias, de modo que el dx del sugiriera el límite de una diferencia (a saber, la anchura del intervalo). Los defectos de la dependencia de Riemann de intervalos y de la continuidad motivaron más nuevas definiciones, especialmente el integral de Lebesgue, que se funda en una capacidad de ampliar la idea del " measure" de maneras mucho más flexibles. ¡Así el $del\; de\; la\; notación\; \backslash \; el\; int\_A\; f\; (x)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; MU\; \backslash ,\; \backslash !$ refiere a una suma cargada en la cual se repartan los valores de la función, con μ midiendo el peso que se asignará a cada valor. (Aquí el A denota la región de integración.) la geometría diferenciada, con su " cálculo en quot de los múltiples ;, da a notación familiar otra más interpretación. Ahora el f ( x ) y el dx del se convierten en una forma diferenciada, ω   ¡= el dx, un nuevo d del del f ( x ) del operador diferenciado, conocido como el derivado exterior aparece, y el teorema fundamental se convierte en el más general alimentó el teorema, $del\; \backslash \; int\_\; \{A\}\; \backslash \; =\; en\; negrilla\; \{d\}\; \backslash \; de\; Omega\; \backslash \; int\_\; \{\backslash \; parte\; A\}\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash !\; de\; Omega$ de qué teorema de Green, del teorema de la divergencia, y del teorema fundamental del cálculo seguir.

Más recientemente, los infinitesimals han reaparecido con rigor, a través de innovaciones modernas tales como análisis no estándar . No sólo estos métodos justifican las intuiciones de los pioneros, ellos también llevan a las nuevas matemáticas.

Aunque haya diferencias entre estos conceptos del integral, hay considerable traslapo. Así el área de la superficie de la piscina oval se puede manejar como elipse geométrica, como suma de infinitesimals, como integral de Riemann, como integral de Lebesgue, o como múltiple con una forma diferenciada. El resultado calculado será igual para todos.

Definiciones formales

Hay muchas maneras formalmente de definir un integral, no que son equivalentes. Las diferencias existen sobre todo para repartir de los casos especiales de diferenciación que no pueden ser integrables bajo otras definiciones, pero también de vez en cuando por razones pedagógicas. Las definiciones más de uso general del integral son integrales de Riemann e integrales de Lebesgue.

Integral de Riemann

considera también:

integral de Riemann El integral de Riemann se define en términos de sumas de Riemann de funciones con respecto a las particiones marcadas con etiqueta de un intervalo. Dejado ser un intervalo cerrado de la línea verdadera; entonces una partición marcada con etiqueta de es una secuencia finita ¡

$a\; =\; x\_0\; \backslash \; le\; t\_1\; \backslash \; le\; x\_1\; \backslash \; le\; t\_2\; \backslash \; le\; x\_2\; \backslash \; le\; \backslash \; cdots\; \backslash \; le\; x\_\; \{n-1\}\; \backslash \; le\; t\_n\; \backslash \; le\; x\_n\; =\; B.\; \backslash ,\; \backslash !$

Esto reparte el intervalo en _{'' de los subintervalos '' x del i '' yo ''} , que es " tagged" con un &isin distinguido del i del _{del t del punto; '' '' de '' x yo '' . Dejar el Δ i}   del _{; = el i −1} del _{del x del i} − del _{del x sea la anchura del i del subintervalo; entonces el acoplamiento del de una partición tan marcada con etiqueta es la anchura del subintervalo más grande formado por la partición, i =1 del max… n   Δ i} del <sub>. Riemann suma de función f con respecto a tal marcado con etiqueta partición es definido como

$\backslash \; sum\_\; \{i=1\}\; ^\; \{n\}\; f\; ()\; \backslash \; Delta\_i\; del\; t\_i;$ así cada término de la suma es el área de un rectángulo con la altura igual al valor de la función en el punto distinguido del subintervalo dado, y anchura iguales que la anchura del subintervalo. El Riemann integral de un f de la función sobre el intervalo es igual al S si: para todo el ε   >   0 allí existe δ   >   0 tales que, para cualquie partición marcada con etiqueta con el acoplamiento menos que δ, tenemos Cuando las etiquetas elegidas dan (respectivamente, mínimo) el valor máximo de cada intervalo, la suma de Riemann se convierte en (respectivamente, bajar) una suma superior de Darboux, sugiriendo la conexión cercana entre el Riemann integral y el integral de Darboux.</sub>

Integral de Lebesgue

considera también:

integral de Lebesgue El integral de Riemann no se define para una amplia gama de funciones y de situaciones de la importancia en usos (y del interés en teoría). Por ejemplo, el integral de Riemann puede integrar fácilmente densidad para encontrar la masa de una viga de acero, pero no puede acomodar una bola de acero que se basa sobre él. Esto motiva otras definiciones, bajo las cuales un surtido más amplio de funciones es integrable. El integral de Lebesgue, particularmente, alcanza gran flexibilidad dirigiendo la atención a los pesos en la suma cargada.

La definición del integral de Lebesgue comienza así con una medida, μ. En el caso más simple, el μ de la medida de Lebesgue ( A ) de un   del A del intervalo; = es su anchura, &minus del b ; un, de modo que el integral de Lebesgue convenga con el integral (apropiado) de Riemann cuando existen ambos. En casos más complicados, los sistemas que son medidos se pueden hacer fragmentos alto, sin continuidad y ninguna semejanza a los intervalos.

Para explotar esta flexibilidad, los integrales de Lebesgue invierten el acercamiento a la suma cargada. Como pone él, " Para computar el integral de Riemann del f, uno reparte el dominio en subintervals", mientras que en el integral de Lebesgue, " uno en efecto está repartiendo la gama de " del f ;.

Un acercamiento común primero define el integral de la función del indicador de un mensurable A del sistema cerca: $\backslash \; internacional\; 1\_A\; d\; \backslash \; MU\; del\; =\; \backslash \; MU\; (A)$. Esto extiende por linearidades a un mensurable s, que de la función simple logra solamente un número finito, el n, de valores no negativos distintos: el $del\; \backslash \; comienza\; \{alinear\}\; \backslash \; internacional\; s\; \backslash ,\; d\; \backslash \; MU\; y\; \{\}\; =\; \backslash \; a\_i\; 1\_\; \{A\_i\}\; de\; la\; internacional\; \backslash \; dejado\; (\backslash \; del\; sum\_\; \{i=1\}\; del\; ^\; \{n\}\; \backslash \; derecho)\; de\; d\; \backslash \; de\; MU\; \backslash \; \backslash \; y\; \{\}\; =\; \backslash \; sum\_\; \{i=1\}\; ^\; \{n\}\; a\_i\; \backslash \; internacional\; 1\_\; \{\}\; \backslash ,\; de\; A\_i\; d\; \backslash \; de\; MU\; \backslash \; \backslash \; y\; \{\}\; =\; \backslash \; a\_i\; del\; ^\; del\; sum\_\; \{i=1\}\; \{n\}\; \backslash ,\; \backslash \; MU\; (A\_i)\; \backslash \; extremo\; \{alinear\}$ (donde está el la imagen del i del _{del A bajo s de la función simple constante del valor al i} del _{de ). Así si es el E un sistema mensurable uno define el $\backslash \; el\; int\_E\; s\; del\; \backslash ,\; d\; \backslash \; MU\; =\; \backslash \; a\_i\; del\; ^\; del\; sum\_\; \{i=1\}\; \{n\}\; \backslash ,\; \backslash \; MU\; (A\_i\; \backslash \; casquillo\; E).$ Entonces para cualquier la función mensurable no negativa el f uno define el $\backslash \; el\; int\_E\; f\; \backslash ,\; d\; \backslash \; MU\; =\; \backslash \; sorbo\; \backslash \; se\; fueron\; \backslash \; \{\backslash \; int\_E\; s\; \backslash ,\; d\; \backslash \; MU\; del\; \backslash ,\; \backslash \; dos\; puntos\; 0\; \backslash \; leq\; s\; \backslash \; leq\; f\; \backslash \; texto\; \{y\}\; s\; \backslash \; texto\; \{es\; una\; función\; simple\}\; \backslash \; derecho\; \backslash \};$ es decir, el integral del f se fija para ser el Supremum de todos los integrales de las funciones simples que son inferior o igual el f . Un general f de la función mensurable, está partido en su positivo y los valores negativos definiendo el Finalmente, el f es Lebesgue integrable si y entonces el integral es definido por el $\backslash \; el\; int\_E\; f\; \backslash ,\; d\; \backslash \; MU\; =\; \backslash \; int\_E\; f^+\; \backslash ,\; d\; \backslash \; MU\; del\; -\; \backslash \; f^-\; del\; int\_E\; \backslash ,\; d\; \backslash \; MU.\; ¡\backslash ,\; \backslash !$}

Cuando el espacio de medida en el cual se definen las funciones es también un localmente condensar el espacio topológico del (al igual que el caso con el R de los números verdaderos), las medidas compatibles con la topología en un sentido conveniente (el radón mide cuyo la medida de Lebesgue es un ejemplo) y el integral con respecto a él se puede definir diferentemente, a partir de los integrales de las funciones continuas con la ayuda del acuerdo. Más exacto, las funciones compacto apoyadas forman un espacio de vector que lleve una topología natural, y la medida de a (radón) se puede definir como cualquier continuo linear de funcional en este espacio; el valor de una medida en una función compacto apoyada es entonces también por definición el integral de la función. Uno entonces procede a ampliar la medida (el integral) a funciones más generales por continuidad, y define la medida de un sistema como el integral de su función del indicador. Éste es el acercamiento tomado cerca y algunos otros autores. Para los detalles ver las medidas del radón.

Otros integrales

Aunque los integrales de Riemann y de Lebesgue sean las definiciones más importantes del integral, un número de otros existen, incluyendo:
El Riemann-Stieltjes integral, una extensión del integral de Riemann.
El Lebesgue-Stieltjes integral, desarrollado más lejos por el radón de Juan, que generaliza el Riemann-Stieltjes y los integrales de Lebesgue
El Daniell integral, que incluye el Lebesgue integral y el Lebesgue-Stieltjes integral sin la dependencia de las medidas
El Henstock-Kurzweil integral, definido vario por el Arnaldo Denjoy, el Oskar Perron, y (lo más elegante posible, como el integral del calibrador) el Jaroslav Kurzweil, y desarrollado por el Rafael Henstock . ¡ ¡

Características de la integración

Linearidades

la colección de funciones integrables de Riemann en un intervalo cerrado '' b '' forma un espacio de vector bajo operaciones de la adición y de la multiplicación del pointwise por un escalar, y la operación del del
de la integración $f\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; int\_a^b\; f\; de\; \backslash ;\; dx$ ¡ el es un funcional linear en este espacio de vector. Así, en primer lugar, la colección de funciones integrables es cerrada bajo tomar a las combinaciones lineares y, en segundo lugar, el integral de una combinación linear es la combinación linear de los integrales,

¡ redundante del
por ejemplo, en la integración de Riemann, si el f y el g son funciones integrables con valores reales en un cerrado y un intervalo limitado '' b '' del, y el &alpha del ; y &beta del ; son números verdaderos, entonces el &alpha del de la función; f + &beta del ; g definido cerca (&alpha del ; f + &beta del ; g ) ( x ) = &alpha del ; f ( x ) + &beta del ; g ( x ) para todo el x en '' b '' es integrable, con ---> $\backslash \; int\_a^b\; del\; del$
(\ alfa f + \ g) beta (x) \, = \ alfa \ int_a^b f del dx (x) \, dx + \ beta \ int_a^b g (x) \, dx. \,

semejantemente, el sistema verdadero - funciones integrables valoradas de Lebesgue en un dado E del espacio de medida con &mu del de la medida; es cerrado bajo tomar combinaciones lineares y por lo tanto forma un espacio de vector, y el integral de Lebesgue $f\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; int\_E\; f\; d\; \backslash \; MU$ del

l del
el

l es un funcional linear en este espacio de vector, de modo que $\backslash \; int\_E\; del$

l del
(\ alfa f + \ g) beta \, d \ MU = \ alfa \ int_E f \, d \ MU + \ beta \ int_E.

más generalmente, considera el espacio de vector de todas las funciones mensurables en un espacio de medida ( E, &mu del ; ), tomando valores en un localmente condensan el completo que el topológico V del espacio de vector sobre un localmente condensa el topológico K del campo del, f de : &rarr del E ; V . Entonces uno puede definir un mapa abstracto de la integración que asigna a cada f de la función un elemento del V o del &infin del del símbolo;, del
$f\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; int\_E\; f\; d\; \backslash ,\; \backslash ,\; de\; de\; MU$
de que es compatible con combinaciones lineares. En esta situación la linearidad se sostiene para el subespacio de las funciones cuyo integral es un elemento del V (es decir " finite"). Los casos especiales más importantes se presentan cuando el K es el R, C, o una extensión finita del p del _{del Q del campo de los números de P-adic y del V es un espacio de vector finito-dimensional sobre el K, y cuando el K = el C y el V es un espacio de Hilbert complejo .}

Linearidades, junto con ciertas características y normalización naturales de la continuidad para cierta clase de " simple" las funciones, se pueden utilizar para dar una definición alternativa del integral. Éste es el acercamiento Daniell para el caso de funciones con valores reales en un X del sistema, generalizado por el Bourbaki a las funciones con valores en un espacio de vector topológico localmente compacto. Ver para una caracterización axiomática del integral.

Desigualdades para los integrales

Un número de desigualdades generales se sostienen para las funciones Riemann-integrables definido en un cerrado y un intervalo limitado '' b '' del y se pueden generalizar a otras nociones del integral (Lebesgue y Daniell).
límites superiores y más bajos del

. un f de la función integrable en '' b '', es necesario limitado en ese intervalo. Así hay el m de los números verdaderos y el M de modo que &le del m ; &thinsp del f ; ( x ) ≤ M para todo el x en '' b ''. Puesto que las sumas más bajas y superiores del f sobre '' b '' por lo tanto se limitan cerca, respectivamente, el m (&minus del b ; un ) y M (&minus del b ; un ), sigue ese del
$m\; (b\; -\; a)\; \backslash \; leq\; \backslash \; int\_a^b\; f\; de\; (x)\; \backslash ,\; dx\; \backslash \; leq\; M\; (b\; -\; a).$
desigualdades del

entre las funciones. si &le del f ( x ); el g ( x ) para cada x en '' b '' entonces cada uno de las sumas superiores y más bajas del f es limitado arriba por las sumas superiores y más bajas, respectivamente, del g . Así del
$de\; \backslash \; int\_a^b\; f\; (x)\; \backslash ,\; dx\; \backslash \; leq\; \backslash \; int\_a^b\; g\; (x)\; \backslash ,\; dx.\; el$
de esto es una generalización de las desigualdades antedichas, como M (&minus del b ; el un ) es el integral de la función constante con el M del valor sobre '' b ''.
Subintervalos del . si '' d '' es un subintervalo de '' b '' y el f ( x ) es no negativo para todo el x, entonces del
$de\; \backslash \; int\_c^d\; f\; (x)\; \backslash ,\; dx\; \backslash \; leq\; \backslash \; int\_a^b\; f\; (x)\; \backslash ,\; dx.$
productos del

y valores de funciones absolutos. si el f y el g son dos funciones entonces nosotros puede considerar sus productos de Pointwise y energías, y el del
de los valores absolutos $(fg)\; (x)=\; f\; (x)\; g\; (x),\; \backslash ;\; f^2\; (x)\; =,\; ^2\; \backslash ;\; (de\; f\; (x))\; |f|\; (x)\; =\; |f\; (x)|.\; \backslash ,\; el\; de$ si es el f Riemann-integrable en '' b '' entonces iguales es verdad para | f |, y $del\; \backslash \; se\; fue|\; \backslash \; int\_a^b\; f\; (x)\; \backslash ,\; dx\; \backslash \; derecho|\; \backslash \; leq\; \backslash \; int\_a^b\; |\; f\; (x)\; |\; \backslash ,\; dx.$
de por otra parte, si el f y el g son ambo Riemann-integrables entonces f ², g ², y fg son también Riemann-integrable, y

$\backslash \; se\; fue\; (\backslash \; int\_a^b\; (fg)\; (x)\; \backslash ,\; dx\; \backslash derecho)\; ^2\; \backslash \; leq\; \backslash \; se\; fue\; (\backslash \; int\_a^b\; f\; (x)^2\; \backslash ,\; dx\; \backslash )\; derecho\; \backslash \; a\; la\; izquierda\; (\backslash \; int\_a^b\; g\; (x)^2\; \backslash ,\; dx\; \backslash \; derecho).\; el$
de esta desigualdad, conocida como la desigualdad de Cauchy-Schwarz, desempeña un papel destacado en la teoría del espacio de Hilbert, donde el lado de mano izquierda se interpreta como el producto interno cuadrado-integrable f de dos funciones y del g en el intervalo '' b ''.
desigualdad de Hölder del

. suponen que el p y el q son dos números verdaderos, 1 p, ∞ del ≤ del ≤ del q con 1 p + 1 q = 1, y el f y el g son dos funciones Riemann-integrables. Entonces las funciones | f | p del ^{y | g |el q} del ^{es también integrable y los asimientos de la desigualdad del Hölder siguiente: el $de\; \backslash \; se\; fue|\backslash \; internacional\; f\; (x)\; g\; (x)\; \backslash ,\; dx\; \backslash \; derecho|\; \backslash \; leq\; \backslash \; se\; fue\; (\backslash \; internacional\; \backslash \; se\; fue|f\; (x)\; \backslash \; derecho|el\; ^p\; \backslash ,\; el\; dx\; \backslash )\; el\; ^\; correcto\; \{1/p\}\; \backslash \; se\; fueron\; (\backslash \; internacional\; \backslash \; se\; fue|g\; (x)\; \backslash \; derecho|^q\; \backslash ,\; dx\; \backslash )\; ^\; correcto\; \{1/q\}.\; el\; de$ para el p = el q = 2, desigualdad de Hölder se convierte en la desigualdad de Cauchy-Schwarz.
desigualdad de Minkowski del}

. Suponer ese &ge del p ; 1 es un número verdadero y el f y el g son funciones Riemann-integrables. Entonces | f | p del ^{, | g | p} del ^{y | f + g |el p} del ^{es también Riemann integrable y los asimientos siguientes de la desigualdad de Minkowski: el $de\; \backslash \; se\; fue\; (\backslash \; internacional\; \backslash \; se\; fue|f\; (x)+g\; (x)\; \backslash \; derecho|^p\; \backslash ,\; dx\; \backslash \; derecho)\; ^\; \{1/p\}\; \backslash \; leq\; \backslash \; se\; fue\; (\backslash \; internacional\; \backslash \; se\; fue|f\; (x)\; \backslash \; derecho|^p\; \backslash ,\; dx\; \backslash )\; ^\; correcto\; \{1/p\}\; +\; \backslash \; se\; fue\; (\backslash \; internacional\; \backslash \; se\; fue|g\; (x)\; \backslash \; derecho|^p\; \backslash ,\; dx\; \backslash )\; ^\; correcto\; \{1/p\}.\; el\; de$ un análogo de esta desigualdad para el integral de Lebesgue se utiliza en la construcción de los espacios Lp.}

Convenciones

En este f de la sección es una función Riemann-integrable con valores reales . El $del\; \backslash \; el\; int\_a^b\; integrales\; f\; (x)\; \backslash ,\; dx$ sobre un intervalo '' b '' se define si un < de ; b . Esto significa que las sumas superiores y más bajas del f de la función están evaluadas en un de la partición = &le del x ₀; &le del x ₁; … ≤ n del _{del x} = b cuyos valores el i del _{del x está aumentando. Geométrico, esto significa que ocurre la integración " " de izquierda a derecha;, de evaluación f dentro del &thinsp de los intervalos '' x ''; '' yo ''   +1 donde un intervalo con un índice más alto miente a la derecha de uno con un índice más bajo. El de los valores un y el b, las puntos finales del intervalo, se llaman los límites de la integración del f . Los integrales se pueden también definir si un > de ; b :}

que invierte límites de integración. si un > de ; el b entonces define el del
$de\; \backslash \; int\_a^b\; f\; (x)\; \backslash ,\; dx\; =\; -\; \backslash \; int\_b^a\; f\; (x)\; \backslash ,\; dx.$ Esto, con el = el b, implica:
Integrales del sobre intervalos de la longitud cero. si el un es un del
del número verdadero entonces $de\; \backslash \; int\_a^a\; f\; (x)\; \backslash ,\; dx\; =\; 0.$

La primera convención es necesaria en la consideración de tomar integrales sobre subintervalos de '' b ''; el segundo dice que un integral asumido el control un intervalo degenerado, o un punto, debe ser el cero. Una razón de la primera convención es que el integrability del f en un intervalo '' b '' implica que el f es integrable en cualquier subintervalo '' d '', pero particularmente los integrales tienen la característica eso:
aditividad del

la integración en intervalos. si el c es cualquier elemento de '' b '', entonces del
$de\; \backslash \; int\_a^b\; f\; (x)\; \backslash ,\; =\; \backslash \; int\_a^c\; f\; del\; dx\; (x)\; \backslash ,\; +\; \backslash \; int\_c^b\; f\; del\; dx\; (x)\; \backslash ,\; dx.$ Con la primera convención el $resultante\; del\; de\; la\; relación\; \backslash \; comienza\; \{alinear\}\; \backslash \; int\_a^c\; f\; (x)\; \backslash ,\; dx\; y\; \{\}\; =\; \backslash \; int\_a^b\; f\; (x)\; \backslash ,\; -\; \backslash \; int\_c^b\; f\; del\; dx\; (x)\; \backslash ,\; del\; dx\; \backslash \; \backslash \; y\; \{\}\; =\; \backslash \; int\_a^b\; f\; (x)\; \backslash ,\; +\; \backslash \; int\_b^c\; f\; del\; dx\; (x)\; \backslash ,\; dx\; \backslash \; extremo\; \{alinear\}$ está entonces bien definido para cualquier permutación cíclica del al, del b, y del c .

En vez de ver el antedicho como convenciones, uno puede también adoptar el punto de vista que la integración está realizada en los múltiples '' orientados '' solamente. Si el M es un tan orientado m - el múltiple dimensional, y el M es el mismo múltiple con &omega opuesto de la orientación y del ; es un m - formar, después uno tiene (véase abajo para la integración de formas diferenciadas): $\backslash \; int\_M\; \backslash Omegadel\; =\; -\; \backslash \; int\_\; \{M\text{'}\}\; \backslash \; Omega\; \backslash .$

Teorema fundamental del cálculo

considera también: Teorema fundamental l cálculo

El teorema fundamental del del cálculo es la declaración que la diferenciación y la integración son operaciones inversas: si una función continua primero se integra y en seguida se distingue, se recupera la función original. Una consecuencia importante, a veces llamada el teorema en segundo lugar fundamental del del cálculo, permite que uno compute integrales usando un Antiderivative de la función que se integrará.

Declaraciones de teoremas

Teorema fundamental del del cálculo. dejó el f ser una función integrable con valores reales definida en un intervalo cerrado '' b ''. Si el F es definido para el x en '' b '' por el del
$F\; de\; (x)\; =\; \backslash \; int\_a^x\; f\; (t)\; \backslash ,\; el\; F\; del$
de dt. entonces es el continuo en '' b ''. Si el f es continuo en el x en '' b '', después el F es el diferenciable en el x, y &thinsp del F ; ′ ( x ) = f ( x ).
teorema en segundo lugar fundamental del

l cálculo . Dejar el f ser una función integrable con valores reales definida en un intervalo cerrado '' b ''. Si el F es una función tales que &thinsp del F ; ′ ( x ) = f ( x ) para todo el x en '' b '' (es decir, el F es un Antiderivative del f ), entonces del
$de\; \backslash \; int\_a^b\; f\; (t)\; \backslash ,\; despegue\; =\; F\; (b)\; -\; F\; (a).$
corolario del

. Si el f es una función continua en '' b '', después el f es integrable en '' b '', y el F, definido por el del
$F\; de\; (x)\; =\; \backslash \; int\_a^x\; f\; (t)\; \backslash ,$
de dt es un anti-derivado del f en '' b ''. Por otra parte, $del\; \backslash \; int\_a^b\; f\; (t)\; \backslash ,\; despegue\; =\; F\; (b)\; -\; F\; (a).$

Extensiones

Integrales incorrectos

considera también:

incorrecto del integral Un " proper" El integral de Riemann asume que el integrando es definido y finito en un intervalo cerrado y limitado, acorchetado por los límites de integración. Un integral incorrecto ocurre cuando uno o más de estas condiciones no son satisfied. Tales integrales pueden ser definidos en algunos casos considerando el límite de una secuencia de los integrales apropiados de Riemann en intervalos progresivamente más grandes.

Si el intervalo es ilimitado, por ejemplo en su extremo superior, después el integral incorrecto está el límite como esa punto final va al infinito. = \ lim_ {b \ \ infty} \ ^ del int_ {a} {b} f (x) dx del dx del ^ del $\backslash \; del\; int\_\; del\; \{a\}\; \{\backslash \; infty\}\; f\; (x)\; Si\; el\; integrando\; es\; definido\; solamente\; o\; finito\; en\; un\; intervalo\; semiabierto,\; un\; límite\; puede\; proporcionar\; por\; ejemplo\; (\; un,\; el\; b\; ],\; después\; otra\; vez\; un\; resultado\; finito.\; =\; \backslash \; lim\_\; \{\backslash \; épsilon\; \backslash \; a\; 0\}\; \backslash \; ^\; del\; int\_\; \{a+\; \backslash \; épsilon\}\; \{b\}\; f\; (x)\; dx$ del dx del ^ del $\backslash \; del\; int\_\; del\; \{a\}\; \{b\}\; f\; (x)$

Es decir, el integral incorrecto es el límite de integrales apropiados como una punto final del intervalo de la integración se acerca a un número verdadero especificado, o de ∞, o − ∞. En casos más complicados, los límites se requieren en ambas puntos finales, o en los puntos interiores.

Considerar, por ejemplo, el $de\; la\; función\; \backslash \; el\; tfrac\; \{1\}\; \{(x+1)\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{x\}\}$ integraron a partir de la 0 al ∞ (demostrado a la derecha). En el límite más bajo, como x va a 0 que la función va al ∞, y el límite superior es sí mismo el ∞, aunque la función va a 0. Así esto es un integral doble incorrecto., por ejemplo, integrados a partir la 1 a 3, una suma de Riemann del ordinario es suficiente producir un resultado del $\backslash \; del\; tfrac\; \{\backslash \; pi\}\; \{6\}$. Para integrar a partir de la 1 al ∞, una suma de Riemann no es posible. Sin embargo, cualquier límite superior finito, dice el t (con el   del t ; >   1), da un resultado, un $\backslash \; un\; tfracbiendefinidos\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\; -\; 2\; \backslash \; arctan\; \backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{t\}\}$. Esto tiene un límite finito como el t va al infinito, a saber $\backslash \; tfrac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}$. Semejantemente, el integral de ¹⁄ ₃ a 1 permite una suma de Riemann también, coincidente otra vez produciendo el $\backslash \; el\; tfrac\; \{\backslash \; pi\}\; \{6\}$. Reemplazo de ¹⁄ ₃ por un positivo arbitrario s del valor (con el   del s ; <   1) es igualmente seguro, dando el $-\; \backslash \; el\; tfrac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\; +\; 2\; \backslash \; arctan\; \backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{s\}\}$. Esto, tiene también un límite finito como el s va a cero, a saber $\backslash \; tfrac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}$. Combinando los límites de los dos fragmentos, el resultado de este integral incorrecto es $del\; \backslash \; comienza\; \{alinear\}\; \backslash \; int\_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; frac\; \{dx\}\; \{(x+1)\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{x\}\}\; y\; \{\}\; =\; \backslash \; lim\_\; \{s\; \backslash \; a\; 0\}\; \backslash \; int\_\; \{s\}\; ^\; \{1\}\; \backslash \; frac\; \{dx\}\; \{(x+1)\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{x\}\}\; +\; \backslash \; lim\_\; \{t\; \backslash \; \backslash \; infty\}\; \backslash \; ^\; del\; int\_\; \{1\}\; \{t\}\; \backslash \; del\; frac\; \{dx\}\; \{(x+1)\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{x\}\}\; \backslash \; \backslash \; y\; \{\}\; =\; \backslash \; lim\_\; \{s\; \backslash \; a\; 0\}\; \backslash \; dejados\; (-\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\; +\; 2\; \backslash \; arctan\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{s\}\}\; \backslash \; derechos)\; +\; \backslash \; lim\_\; \{t\; \backslash \; \backslash \}\; \backslash \; dejado\; (\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\; -\; 2\; \backslash \; arctan\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{t\}\}\; \backslash \; derecho)\; \backslash \; infty\; \backslash \; y\; \{\}\; =\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\; +\; \backslash \; del\; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\; \backslash \; \backslash \; y\; \{\}\; =\; \backslash \; pi.\; \backslash \; extremo\; \{alinear\}$ Este proceso no es éxito garantizado; un límite puede no poder existir, o puede ser ilimitado. Por ejemplo, sobre el intervalo limitado 0 a 1 el integral del $\backslash \; del\; tfrac\; \{1\}\; \{x^2\}$ no converge; y sobre el intervalo ilimitado 1 al ∞ el integral del $\backslash \; del\; tfrac\; \{1\}\; \{\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{x\}\}$ no converge.

¡ Puede también suceder que un integrando es ilimitado en un punto interior, en este caso el integral se debe partir en ese punto, y los integrales del límite en ambos lados deben existir y deben ser limitados. Así el $del\; \backslash \; comienza\; \{alinear\}\; \backslash \; int\_\; \{-\; ^\; de\; 1\}\; \{1\}\; \backslash \; frac\; \{dx\}\; \{\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{x^2\}\}\; y\; \{\}\; =\; \backslash \; lim\_\; \{s\; \backslash \; a\; 0\}\; \backslash \; int\_\; \{-\; 1\}\; ^\; \{-\}\; \backslash \; frac\; \{dx\}\; de\; s\; \{\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{x^2\}\}\; +\; \backslash \; lim\_\; \{t\; \backslash \; a\; 0\}\; \backslash \; del\; int\_\; \{t\}\; del\; ^\; \{1\}\; \backslash \; del\; frac\; \{dx\}\; \{\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{x^2\}\}\; \backslash \; \backslash \; y\; \{\}\; =\; \backslash \; lim\_\; \{s\; \backslash \; a\; 0\}\; 3\; (1\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{s\})\; +\; \backslash \; lim\_\; \{t\; \backslash \; a\; 0\}\; 3\; (1\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{t\})\; \backslash \; \backslash \; y\; \{\}\; =\; 3\; +\; 3\; \backslash \; \backslash \; y\; \{\}\; =\; 6.\; \backslash \; extremo\; \{alinear\}$ ¡Pero similar integral

$\backslash \; int\_\; \{-\; ^\; de\; 1\}\; \{1\}\; \backslash \; frac\; \{dx\}\; \{\}\; \backslash ,\; \backslash !\; de\; x$ no puede ser asignado un valor de esta manera, pues no convergen los integrales sobre y debajo de cero independiente. (Sin embargo, ver el valor principal de Cauchy.)

Integración múltiple

Los integrales pueden ser regiones asumidas el control con excepción de intervalos. Un integral sobre un determinado E de un f de la función se escribe generalmente: $del$

l \ int_E f (x) \, dx

Aquí el x no necesita ser un número verdadero, sino puede ser otra cantidad conveniente, por ejemplo, un vector en el R ³. El teorema de Fubini demuestra que tales integrales se pueden reescribir como un integral iterado . Es decir el integral puede ser calculado integrando un coordenada a la vez.

Apenas mientras que el integral definido de una función positiva de una variable representa el área de la región entre el gráfico de la función y el x - el eje, el integral doble de una función positiva de dos variables representa el volumen de la región entre la superficie definida por la función y el plano que contiene su dominio . (El mismo volumen se puede obtener vía el &mdash integral del triple ; el integral de una función en &mdash de tres variables; del f ( x, y, z ) de la función constante = 1 sobre la región antedicha entre la superficie y el plano.) Si el número de variables es más alto, después el integral representa un Hypervolume, un volumen de un sólido de más de tres dimensiones que no puedan ser representadas gráficamente.

Por ejemplo, el volumen del paralelepípedo de caras 4 × 6 × El 5 de mayo se obtenga de dos maneras:
Por el del
del integral doble $de\; \backslash \; iint\_D\; 5\; \backslash \; dx\; \backslash ,$
de dy del f ( x, y ) de la función = 5 calculados en el D de la región en el xy - plano que es la base del paralelepípedo. Por el
integral triple del
del
$\backslash \; iiint\_\; \backslash \; mathrm\; de\; \{paralelepípedo\}\; 1\; \backslash ,\; dx\; \backslash ,\; dy\; \backslash ,$
de dz de la función constante 1 calculada en el paralelepípedo sí mismo.

Porque es imposible calcular el Antiderivative de una función más que una variable, los integrales múltiples indefinidos del no existen, así que tales integrales son todo el definido.

Línea integrales

considera también: Línea

l del integral El concepto de un integral se puede ampliar a dominios más generales de la integración, tales como líneas y superficies curvadas. Tales integrales se conocen como línea integrales e integrales superficiales respectivamente. Éstos tienen usos importantes en la física, como al ocuparse de los campos de vector

Una línea integral (a veces llamado una trayectoria del integral) es un integral donde la función ser integrada se evalúa a lo largo de una curva . Varia diversa línea integrales es funcionando. En el caso de una curva cerrada también se llama un integral de contorno del .

La función que se integrará puede ser un campo escalar o un campo de vector . El valor de la línea integral es la suma de valores del campo en todos los puntos en la curva, cargados por una cierta función escalar en la curva (comúnmente longitud de arco o, para un campo de vector, el producto escalar del campo de vector con un vector diferenciado en la curva). Esta carga distingue la línea integral de integrales más simples definidos en los intervalos que muchas fórmulas simples en la física tienen análogos continuos naturales en términos de línea integrales; por ejemplo, el hecho de que el trabajo sea igual a la fuerza multiplicada por distancia se puede expresar (en términos de cantidades del vector) como: $W=\; del\; \backslash \; vec\; F\; \backslash \; cdot\; \backslash \; vec\; d$; cuál es sido paralelo a por la línea integral: $W=\; \backslash \; int\_C\; \backslash \; vec\; F\; \backslash \; cdot\; d\; \backslash \; vec\; s$ del ; cuál resume componentes del vector a lo largo de una trayectoria continua, y así encuentra el trabajo hecho en un objeto que se mueve a través de un campo, tal como un campo eléctrico o gravitacional

Integrales superficiales

considera también:

superficial del integral Una superficie integral del es un integral definido asumido el control una superficie (que pueda ser un curvado determinado en el espacio ); puede ser pensado en como el análogo del integral doble de la línea integral . La función que se integrará puede ser un campo escalar o un campo de vector . El valor del integral superficial es la suma del campo en todos los puntos en la superficie. Esto puede ser alcanzada partiendo la superficie en los elementos superficiales, que proporcionan la división para las sumas de Riemann.

Por un ejemplo de usos de los integrales superficiales, considerar un v del campo de vector en un superficial S ; es decir, para cada x del punto en el S, v ( x ) está un vector. Imaginarse que nosotros tienen un líquido el atravesar del S, tal que el v ( x ) determina la velocidad del líquido en el x . El flujo se define como la cantidad de líquido que atraviesa el S en la cantidad de la unidad de tiempo. Para encontrar el flujo, necesitamos tomar el producto de punto del v con el normal de la superficie de la unidad a el S en cada punto, que nos dará un campo escalar, que integramos sobre la superficie:

$\backslash \; int\_S\; \{\backslash \}\; \backslash \; cdot\; del\; mathbf\; v\; \backslash ,\; d\; \{\backslash \; mathbf\; \{S\}\}$. El flujo flúido en este ejemplo puede ser de un líquido físico tal como agua o aire, o de flujo eléctrico o magnético. Así los integrales superficiales tienen usos en la física, particularmente con la teoría clásica del electromagnetismo .

Integrales de formas diferenciadas

considera también:

diferenciado de la forma

Una forma diferenciada es un concepto matemático en los campos del cálculo multivariante, de la topología diferenciada y de los tensores . La notación moderna para la forma diferenciada, así como la idea de las formas diferenciadas como siendo los productos de cuña de los derivados exteriores que formaban una álgebra exterior, fue introducida por el Élie Cartan .

Trabajamos inicialmente en un sistema abierto en el n del ^{del R . Las 0 formas se definen para ser un liso f de la función . Cuando integramos un f de la función sobre un m - dimensional S del subespacio del n} del ^{del R, lo escribimos como el $\backslash \; int\_S\; f\; del\; \backslash ,\; dx^1\; \backslash \; los\; cdots\; dx^m.$}

(Los exponentes son índices, no exponentes.) Podemos considerar el dx ¹ del a través del n del ^{del dx del para ser los objetos formales ellos mismos, algo que las etiquetas añadidas para hacer parecer de los integrales las sumas de Riemann alternativo, nosotros pueden verlas mientras que Covectors y así una medida de " density" (por lo tanto integrable en un sentido general). Llamamos el dx 1 del ,…, el básico 1 '' formas '' del del dxn .}

Definimos el producto de cuña, " ∧ ", un " bilineario; multiplication" operador en estos elementos, con el alternando la característica de eso ¡dx^a del $del$

l \ dx^a de la cuña = 0 \, \!

para todo el de los índices un . Observar que la alternación junto con linearidades implica el b &and del ^{del dx del ; del del dx del un   = del del dx − un ∧ b} del ^{del dx del . Esto también se asegura de que el resultado del producto de cuña tenga una orientación .}

Definimos el sistema de todos estos productos para ser el básico 2 - las formas del, y nosotros definimos semejantemente el sistema de los productos del del ^{del dx del de la forma un} ∧ b &and del ^{del dx del ; c} del ^{del dx del a ser básico 3 - el forma . Un general k - la forma es entonces una suma cargada de formas básicas de la k del, donde están el los pesos liso f de las funciones. Junto éstos forman un espacio de vector con el básico k - las formas como los vectores de la base, y 0 forma (las funciones lisas) como el campo de escalares. El producto de cuña entonces extiende al k - formas de la manera natural. Sobre el n del n} del ^{del R a lo más los covectors pueden ser linear independiente, así una forma de la k del con el   del k ; >   el n será siempre cero, por la característica de alternancia.}

Además del producto de cuña, hay también el exterior d del operador del derivado . Este operador traza el k - ( k +1) de las formas - las formas. Para un k - formar el ω = el dx^a del f sobre el n del ^{del R, definimos la acción del d cerca: $del$}

l {\ d en negrilla} {\ Omega} = \ ^n del sum_ {i=1} \ dx^i del frac {\ f parcial} {\ x_i parcial} \ cuña dx^a.

con la extensión al general k - formas que ocurren linear.

Este acercamiento más general permite un acercamiento coordinar-libre más natural a la integración en los múltiples que también permite para una generalización natural del teorema fundamental del cálculo, llamado alimentó el teorema, que podemos indicar como ¡

$\backslash \; int\_\; \{\backslash \; Omega\}\; \{\backslash \; d\; en\; negrilla\}\; \backslash \; Omega\; =\; \backslash \; int\_\; \{\backslash \}\; parcial\; \backslash \; de\; Omega\; \backslash \; Omega\; \backslash ,\; \backslash !$

donde ω es un general k - formar, y ∂ Ω denota el límite del &Omega de la región;. Así en caso de que ω es las 0 formas y Ω es un intervalo cerrado de la línea verdadera, ésta reduce al teorema fundamental del cálculo . En caso de que ω es una 1 forma y Ω es una región de 2 dimensiones en el plano, el teorema reduce al teorema de Green . Semejantemente, usar 2 formas, y 3 formas y dualidades de Hodge, podemos llegar el alimentamos el teorema y el teorema de la divergencia. De esta manera podemos ver que las formas diferenciadas proporcionan una vista unifying de gran alcance de la integración.

Métodos y usos

Integrales computacionales

La técnica más básica para computar integrales de una variable verdadera se basa en el teorema fundamental del cálculo . Procede como esto: Elegir un f ( x ) de la función y un intervalo '' b ''.

Encontrar un antiderivative del f, es decir, un F de la función tales que F = el f .

Por el teorema fundamental del cálculo, con tal que el integrando y el integral no tengan ninguna singularidad en la trayectoria de la integración,

: $\backslash \; int\_a^b\; f\; (x)\; \backslash ,\; dx\; =\; F\; (b)\; -\; F\; ($

de a). Por lo tanto el valor del integral es el F ( del − del F ( b ) un ).

Observar que el integral no es realmente el antiderivative, pero el teorema fundamental permite que utilicemos antiderivatives para evaluar integrales definidos.

El paso difícil está encontrando a menudo un antiderivative del f . Es raramente posible echar un vistazo en una función y anotar su antiderivative. Más a menudo, es necesario utilizar una de las muchas técnicas que se han desarrollado para evaluar integrales. La mayor parte de estas técnicas reescriben un integral como diverso que sea esperanzadamente más manejable. Las técnicas incluyen:
Integración por la substitución
Integración por las piezas
Integración por la substitución trigonométrica
Integración por las fracciones parciales

Incluso si estas técnicas fallan, puede todavía ser posible evaluar un integral dado. La técnica más común siguiente es el cálculo del residuo, mientras que para la serie de Taylor de los integrales de Nonelementary se puede utilizar a veces para encontrar el antiderivative. Hay también muchas maneras menos comunes de calcular integrales definidos; por ejemplo, la identidad de Parseval se puede utilizar para transformar un integral sobre una región rectangular en una suma infinita. De vez en cuando, un integral se puede evaluar por un truco; para un ejemplo de esto, ver el integral gausiano .

Los cómputos de volúmenes de sólidos de la revolución se pueden hacer generalmente con la integración del disco o la integración de Shell.

Los resultados específicos que han sido resueltos por varias técnicas se recogen en la lista de los integrales .

Algoritmos simbólicos

considera también:

simbólico de la integración

Muchos problemas en matemáticas, la física, y la ingeniería implican la integración donde una fórmula explícita para el integral se desea. Las tablas extensas de los integrales se han compilado y se han publicado durante los años con este fin. Con la extensión de las computadoras muchos profesionales, educadores, y estudiantes han dado vuelta a los sistemas de la álgebra de la computadora que se diseñan específicamente para realizar tareas difíciles o aburridas, incluyendo la integración. La integración simbólica presenta un desafío especial en el desarrollo de tales sistemas.

Una dificultad matemática importante en la integración simbólica es ésa en muchos casos, a la fórmula cerrada para el antiderivative de una función algo inocente de mirada no existe simplemente. Por ejemplo, se sabe que eso los antiderivatives del exp ( x ²) de las funciones, del x del ^{del x y del sin    del x ; /el x no se puede expresar en la forma cerrada que implica solamente el las funciones exponenciales racionales de y, el logaritmo, el las funciones trigonométricas inversas trigonométricas de y, y las operaciones de la multiplicación y de la composición; es decir ningunas de las tres funciones dadas son integrables en de las funciones elementales que la teoría de Galois diferenciada proporciona los criterios generales que permiten que uno determine si el antiderivative de una función elemental sea elemental. Desafortunadamente, resulta que las funciones con expresiones cerradas de antiderivatives son la excepción algo que la regla. Por lo tanto, los sistemas automatizados de la álgebra no tienen ninguna esperanza de poder encontrar un antiderivative para una función elemental aleatoriamente construida. En el lado positivo, si los “bloques huecos” para los antiderivatives se fijan por adelantado, puede todavía estar sea posible decidir a si el antiderivative de una función dada se puede expresar usar estos bloques y operaciones de la multiplicación y de la composición, y encontrar la respuesta simbólica siempre que exista. El algoritmo Risch-Normando, ejecutado en el Mathematica y los sistemas de la álgebra de la computadora del arce, hace apenas eso para las funciones y los antiderivatives construidos de funciones racionales, de logaritmo de los radicales, y de funciones exponenciales.}

Algunos integrandos especiales ocurren a menudo bastante para autorizar estudio especial. Particularmente, puede ser útil tener, en el sistema de antiderivatives, las funciones especiales de la física (como las funciones de Legendre la función hipergeométrica, la función gamma y así sucesivamente). Ampliar el algoritmo Risch-Normando de modo que incluya estas funciones es posible pero estimulante.

La mayoría de los seres humanos no pueden integrar tales fórmulas generales, tan en cierto modo computadoras son más expertos en la integración de fórmulas alto complicadas. Las fórmulas muy complejas son poco probables tener antiderivatives de la forma cerrada, así que cuánto de una ventaja hace este presente es una pregunta filosófica que está abierta para el discusión.

Cuadratura numérica

considera también:

numérico de la integración

Los integrales encontrados en un curso básico del cálculo se eligen deliberadamente para la simplicidad; ésos encontrados en usos verdaderos no son siempre tan serviciales. Algunos integrales no se pueden encontrar exactamente, algunos requieren las funciones especiales que ellos mismos es un desafío a computar, y otros son tan complejos que encontrar la respuesta exacta es demasiado lento. Esto motiva el estudio y el uso de los métodos numéricos para aproximar los integrales, que utilizan hoy la coma flotante aritmético en las computadoras electrónicas digitales que se presentaron muchas de las ideas mucho anterior, para los cálculos de la mano; pero la velocidad de computadoras de fines generales como el ENIAC creó una necesidad de mejoras.

Las metas de la integración numérica son exactitud, confiabilidad, eficacia, y generalidad. Los métodos sofisticados pueden superar sumamente un método ingenuo por las cuatro medidas (; ; ). Considera, por ejemplo, integral

$\backslash \; int\_\; \{-\; ^\; de\; 2\}\; \{2\}\; \backslash \; tfrac15\; \backslash \; se\; fue\; (\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{100\}\; (322\; +\; 3\; x\; (98\; +\; x\; (37\; +\; x)))\; -\; 24\; \backslash \; frac\; \{x\}\; \{1+x^2\}\; \backslash )\; dx\; correcto,$ cuál tiene la respuesta exacta ⁹⁴⁄ ₂₅  = 3. (En práctica ordinaria la respuesta no se sabe por adelantado, así que una tarea importante - no explorada aquí - es decidir a cuando una aproximación es bastante buena.) “Un acercamiento del libro del cálculo” divide la gama de la integración en, por ejemplo, 16 pedazos iguales, y computa valores de la función.

Ver también

style=" del
Tabla de los integrales - integrales de las funciones mas comunes.
Listas de los integrales
Integral múltiple
Antiderivative
Integración numérica
Ecuación integral
Riemann integral
Suma de Riemann
Diferenciación bajo muestra integral
Producto integral