En las matemáticas, el Riemann-Stieltjes integral es una generalización Riemann integral, nombrada después Bernhard Riemann y Thomas Juan Stieltjes .

Definición

El integral de Riemann-Stieltjes de un verdadero - el f de la función valorada de una variable verdadera con respecto a un g de la función verdadera se denota cerca $del$

l \ int_a^b f (x) \, dg (x)

y definido para ser el límite, como el acoplamiento P de la partición del intervalo '' b '' se acerca a cero, de la suma que aproxima $del$

l \ sum_ {x_i \ en P} f (c_i) (g (x_ {i+1}) - g (x_i))

donde está en el _{el i} del _{del c '' del subintervalo '' x del th '' del i yo '' +1}. El f de dos funciones y el g respectivamente se llaman el integrando y el integrador. Lo más comúnmente posible, el g será no decreciente, pero esto no se requiere. Para que exista este integral de Riemann-Stieltjes es necesario que el f y el g no comparten ninguna puntos de la discontinuidad.

Una alternativa, y levemente un más general, definición del integral de Riemann-Stieltjes utiliza las mismas sumas que aproximan que arriba, pero toma el límite para ser un límite de Moore-Smith en el sistema dirigido de particiones de '' b ''. Es decir, tomar el límite como los puntos de la división se insertan cada vez más en la partición. Con esta definición, un integral puede existir cuando el f y el g comparten puntos de la discontinuidad, mientras no sean discontinuos del mismo lado en el mismo punto.

Para otra formulación de la integración que es mucho más general, ver la integración de Lebesgue. Es notable sin embargo, eso si se permiten los integrales incorrectos de Riemann-Stieltjes, el integral de Lebesgue no es terminantemente más general.

Características y relación al integral de Riemann

Si el g sucede estar por todas partes el diferenciable, después el integral puede todavía ser diferente Riemann integral $del$

l \ int_a^b f (x) g'(x) \, dx,

por ejemplo, si el derivado es ilimitado. Pero si el derivado es continuo, serán iguales. Esta condición también se satisface si el g es el integral (de Lebesgue) de su derivado; en este caso el g reputa el absolutamente continuo.

Sin embargo, el g puede tener discontinuidades del salto, o puede tener cero casi del derivado por todas partes mientras que todavía siendo continuo y aumentando (por ejemplo, el g podría ser la función del chantre o la función del signo de interrogación de Minkowski), de cualquier cuyo los casos el integral de Riemann-Stieltjes no son capturados por ninguna expresión que implica derivados del g .

El integral de Riemann-Stieltjes admite la integración por las partes en la forma $del$

l \ int_a^b f (x) \, dg (x)=f (b) g (b) - - \ int_a^b g de f (a) g (a) (x) \, df (x).

y la existencia del integral a la izquierda implica la existencia del integral a la derecha.

Existencia del integral

El mejor teorema simple de la existencia indica que si el f es continuo y el g está de la variación limitada en '' b '', después el integral existe. Observar que el g es de variación limitada si y solamente si es la diferencia entre dos funciones monótonas. Si el g no está de variación limitada, después habrá las funciones continuas que no pueden ser integradas con respecto al g .

¡Uso al theory< de la probabilidad! -- Esta sección se liga de la distribución de probabilidad -->

Si es el g la función de distribución de probabilidad acumulativa de un X de la variable al azar que tenga una función de densidad de probabilidad con respecto a la medida de Lebesgue, y el f es cualquier función para la cual el valor previsto E (| f ( X )|) es finito, después, al igual que bien sabido a los estudiantes de la teoría de las probabilidades, la función de densidad de probabilidad del X es el derivado del g y tenemos $E\; del$

l (f (X)) = \ ^ del int_ {- \ infty} \ g'(infty de f (x) x) \, dx.

Pero esta fórmula no trabaja si el X no tiene una función de densidad de probabilidad con respecto a la medida de Lebesgue. Particularmente, no trabaja si la distribución del X es discreta (es decir, toda la probabilidad es explicada por las punto-masas), e incluso si es el g de la función de distribución acumulativa continua, no trabaja si el g no puede ser el absolutamente continuo (otra vez, la función del chantre puede servir como ejemplo de esta falta). Pero la identidad $E\; del$

l (f (X)) = \ ^ del int_ {- \ infty} \ f infty (x) \, dg (x)

se sostiene si el g es cualquier función de distribución de probabilidad acumulativa de en la línea verdadera, no importa cómo enfermo-está comportado.

Uso al análisis funcional

El integral de Riemann-Stieltjes aparece en la formulación original del teorema del F. Riesz que representa el espacio dual del $C$ del espacio de Banach de funciones continuas en un intervalo $$ como integrales de Riemann-Stieltjes contra funciones de la variación limitada (más adelante, ese teorema fue reformulado en términos de medidas).

También, el integral de Riemann-Stieltjes aparece en la formulación del teorema espectral para los operadores (no compactos) del uno mismo-adjoint (o más generalmente, normal) en un espacio de Hilbert (en este teorema, el integral se considera con respecto a una familia espectral supuesta de proyecciones). Riesz para los detalles

Ver también

Lebesgue-Stieltjes integral

.

Zenithic

Isaac Serna

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