En el subcampo matemático del análisis numérico, la interpolación es un método de construir nuevos puntos de referencias de un sistema discreto de puntos de referencias sabidos.

En la ingeniería y la ciencia uno tiene a menudo un número de puntos de referencias, según lo obtenido por el muestreo o el experimento, e intentos para construir una función que quepa de cerca esos puntos de referencias. Esto se llama el ajuste de curvas o el análisis de regresión . La interpolación es un caso específico del ajuste de curvas, en el cual la función debe entrar exactamente a través de los puntos de referencias.

Un diverso problema que es estrechamente vinculado a la interpolación es la aproximación de una función complicada por una función simple. Suponer que sabemos la función pero es demasiado compleja evaluar eficientemente. Entonces podríamos escoger algunos puntos de referencias sabidos de la función complicada, creando una tabla de operaciones de búsqueda, e intentamos interpolar esos puntos de referencias para construir una función más simple. Por supuesto, al usar la función simple para calcular nuevos puntos de referencias no recibimos generalmente el mismo resultado que cuando usar la función original, pero dependiendo del dominio del problema y del método de la interpolación utilizó el aumento en simplicidad pudo compensar el error.

Debe ser mencionado que hay otra clase muy diversa de interpolación en matemáticas, a saber el " Interpolación del " de los operadores ;. Los resultados clásicos sobre la interpolación de operadores son el teorema de Riesz-Thorin y el teorema de Marcinkiewicz. También hay muchos otros resultados subsecuentes.

Definición

Del significado inter del en medio y poste del, los puntos o nodos. Cualquier medio de calcular un nuevo punto entre dos puntos de referencias de existencia es por lo tanto interpolación.

Hay muchos métodos para hacer esto, muchos cuyo implicar el caber de una cierta clase de función a los datos y el evaluar de esa función en el punto deseado. Esto no excluye otros medios tales como métodos estadísticos de calcular datos interpolados.

La forma más simple de interpolación es tomar el promedio malo de $x$ y de $y$ de dos puntos adyacentes para encontrar el mediados de punto. Esto dará el mismo resultado que la interpolación linear evaluada en el punto mediano.

Dado una secuencia distinto k del _{del x de los números del del n llamado los nodos y para cada k} del _{del x un segundo k} del _{del y del número, estamos buscando un f de la función de modo que $f\; del$}

l (x_k) = y_k \ mbox {,} k=1, \ ldots, n

Un k , k del _{del x de los pares del del y se llama un punto de referencias del y el f se llama un interpolant para los puntos de referencias.}

Cuando el k del _{del y de los números es dado por un sabido f de la función, escribimos a veces el k} del _{del f .}

Ejemplo

Por ejemplo, suponer que tenemos una tabla como el, que da algunos valores de un f de la función desconocida.

Interpolación por trozos constante

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vecino más cercano de la interpolación El método más simple de la interpolación es localizar el valor de datos más cercano, y asigna el mismo valor. En una dimensión, hay raramente buenas razones para elegir éste sobre la interpolación linear, que está casi como barato, pero en dimensiones más altas, en la interpolación multivariante, esto puede ser una opción favorable para su velocidad y simplicidad. clear=" del

Interpolación linear

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linear de la interpolación Uno de los métodos más simples es interpolación linear (conocida a veces como lerp). Considerar el ejemplo antedicho de determinar el f (2.5 es situado a mitad del camino entre 2 y 3, es razonable tomar mitad del camino centraa del f (2.5) entre el f (2) = 0.1411, que las producciones 0.

Generalmente, la interpolación linear toma dos puntos de referencias, dice ( del _{del x un} , del _{del y un} ) y (el b del _{del b} , del y del _{del x ), y el interpolant se da cerca: $del\; +\; \backslash \; frac\; de\; y\; =\; del\; y\_a\; \{(x-x\_a)\; (y\_b-y\_a)\}\{(x\_b-x\_a)\}$ en el punto ( x, y ).}

La interpolación linear es rápida y fácil, pero no es muy exacta. Otra desventaja es que el interpolant no es el diferenciable en el k del _{del x del punto.}

La estimación de error siguiente demuestra que la interpolación linear no es muy exacta. Denotar la función que queremos interpolar por el g, y suponer que el x miente entre el del _{del x un} y el b del _{del x y que el g es dos veces continuamente diferenciable. Entonces el error linear de la interpolación es $del\; |f\; (x)\; -\; g\; (x)|\; \backslash \; le\; C\; (x\_b-x\_a)\; =\; \backslash \; frac18\; \backslash \; max\_\; \{y\; de\; ^2\; \backslash \; del\; patio\; \backslash \; del\; mbox\; \{donde\}\; \backslash \; del\; patio\; C\; \backslash \; adentro\}\; |\; de\; g\; (y)|.$ En palabras, el error es proporcional al cuadrado de la distancia entre los puntos de referencias. El error de algunos otros métodos, incluyendo la interpolación polinómica y la interpolación de la tira (descritas más abajo), es proporcional a energías más altas de la distancia entre los puntos de referencias. Estos métodos también producen interpolants más lisos. clear=" del}

Interpolación polinómica

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polinómico de la interpolación La interpolación polinómica es una generalización de la interpolación linear. Observar que el interpolant linear es una función linear . Ahora substituimos esto interpolant por un polinómico de un grado más alto .

Considerar otra vez el problema dado arriba. El sexto polinomio siguiente del grado pasa a través de todos los siete puntos: $f\; del\; (x)\; =\; -0.$ ¡ Substituyendo el x = 2.5, encontramos ese f (2.

, Si tenemos puntos de referencias del n, hay generalmente exactamente un polinomio del &minus del n del grado a lo más; 1 que pasa a través de todos los puntos de referencias. El error de la interpolación es proporcional a la distancia entre los puntos de referencias al n de la energía. Además, el interpolant es un polinomio y así infinitamente diferenciable. Así pues, vemos que la interpolación polinómica soluciona todos los problemas de la interpolación linear.

Sin embargo, la interpolación polinómica también tiene algunas desventajas. El cálculo del polinomio de interpolación es relativamente muy de cómputo costoso (véase la complejidad de cómputo ). Además, la interpolación polinómica no puede ser así que exacto después de todos, especialmente en el extremo señala (véase el fenómeno de Runge). Estas desventajas pueden ser evitadas usando la interpolación de la tira. clear=" del

Interpolación de la tira

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la interpolación de la tira

Recordar que la interpolación linear utiliza una función linear para cada uno de intervalos. Ranurar los polinomios del bajo-grado de las aplicaciones de la interpolación en cada uno de los intervalos, y elige los pedazos del polinomio tales que caben suavemente juntos. La función resultante se llama una tira .

Por ejemplo, la tira cúbica natural es el por trozos cúbico y dos veces continuamente diferenciable. Además, su segundo derivado es cero en los puntos del extremo. La tira cúbica natural que interpola los puntos en la tabla antedicha es dada por el $f\; del\; (x)\; =\; \backslash \; a\; la\; izquierda\; \backslash \; \{\backslash \; comenzar\; \{matriz\}\; -0.9937\; x,\; y\; \backslash \; mbox\; \{si\}\; x\; \backslash \; adentro,\; \backslash \; \backslash \; -0.1396,\; y\; \backslash \; mbox\; \{si\}\; x\; \backslash \; adentro,\; \backslash \; \backslash \; 0.3623,\; y\; \backslash \; mbox\; \{si\}\; x\; \backslash \; adentro,\; \backslash \; \backslash \; 0.8381,\; y\; \backslash \; mbox\; \{si\}\; x\; \backslash \; adentro,\; \backslash \; \backslash \; 0.8259,\; y\; \backslash \; mbox\; \{si\}\; x\; \backslash \; adentro,\; \backslash \; \backslash \; -0.9282,\; y\; \backslash \; mbox\; \{si\}\; x\; \backslash \; adentro.\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; extremo\; \{matriz\}\; \backslash \; derecho.$

En este caso conseguimos el f (2.

Como la interpolación polinómica, la interpolación de la tira incurre en un error más pequeño que la interpolación linear y el interpolant es más lisas. Sin embargo, el interpolant es más fácil de evaluar que los polinomios del alto-grado usados en la interpolación polinómica. También no sufre del fenómeno de Runge. clear=" del

Otras formas de interpolación

Otras formas de interpolación pueden ser construidas escogiendo una diversa clase de interpolants. Por ejemplo, la interpolación racional es la interpolación por las funciones racionales y la interpolación trigonométrica es interpolación por los polinomios trigonométricos el que Fourier discreto transforma es un caso especial de la interpolación trigonométrica. Otra posibilidad es utilizar las olitas

La fórmula de interpolación de Whittaker-Shannon puede ser utilizada si el número de puntos de referencias es infinito.

La interpolación multivariante es la interpolación de funciones más que una variable. Los métodos incluyen la interpolación bilinearia y la interpolación de Bicubic en dos dimensiones, y la interpolación trilineal en tres dimensiones.

A veces, sabemos no sólo el valor de la función que queremos interpolar, en algunos puntos, pero también de su derivado. Esto lleva a los problemas de la interpolación de Hermite.

Conceptos relacionados

Se utiliza la extrapolación del término si queremos encontrar puntos de referencias fuera de la gama de puntos de referencias sabidos.

En problemas del ajuste de curvas, el constreñimiento que el interpolant tiene que pasar exactamente a través de los puntos de referencias es relaxed. Se requiere solamente para acercarse a los puntos de referencias tan de cerca como sea posible. Esto requiere dar parámetros los interpolants potenciales y tener cierta manera de medir el error. En el caso más simple esto lleva a los m3inimos cuadr3aticos la aproximación.

La teoría de la aproximación estudia cómo encontrar la mejor aproximación a una función dada por otra función de una cierta clase predeterminada, y cómo bueno es esta aproximación. Esto rinde claramente un límite en como de bien la poder interpolant aproxima la función desconocida.

Zenithic

Osman Nuri Topbaş

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