En el subcampo matemático del análisis numérico, la interpolación polinómica es la interpolación de un conjunto de datos dado al lado de un polinómico. Es decir los puntos de un ciertas referencias dados (tales como obtenido por el muestreo ), la puntería son encontrar un polinomio que pase exactamente a través de estos puntos.

Usos

Los polinomios se pueden utilizar para aproximar curvas más complicadas, por ejemplo, las formas de letras en la tipografía, dadas algunos puntos. Un uso relacionado es la evaluación del logaritmo natural y de la selección de las funciones trigonométricas algunos puntos de referencias sabidos, crea una tabla de operaciones de búsqueda, y la interpola entre esos puntos de referencias. Esto da lugar a cómputos perceptiblemente más rápidos. La interpolación polinómica también forma la base para los algoritmos en la cuadratura numérica y las ecuaciones diferenciales ordinarias numéricas .

La interpolación polinómica es también esencial realizar la multiplicación secundario-cuadrático y ajustando por ejemplo la multiplicación de Karatsuba y el Toom-Cocinar la multiplicación, donde una interpolación a través de puntos en un polinomio que defina las producciones de producto el producto sí mismo. Por ejemplo, dado el = el f ( x ) = un x de ₀ ⁰ + un x de ₁ ¹ +… y el b = el g ( x ) = el x del b ₀ ⁰ + el x del b ₁ ¹ +… entonces el ab del producto es equivalentes al W ( x ) = el g ( x ) del f ( x ). El encontrar señala a lo largo del W ( x ) substituyendo el x para los pequeños valores en el f ( x ) y los puntos de producciones de g ( x ) del en la curva. La interpolación basada en esos puntos rendirá los términos del W ( x ) y posteriormente del ab del producto. En el caso de la multiplicación de Karatsuba esta técnica es substancialmente más rápida que la multiplicación cuadrático, incluso para las entradas modesto-clasificadas. Esto es especialmente verdad cuando paralelamente hardware ejecutado.

Definición

Dado un sistema de los puntos de referencias del n +1 (el i del _{del i} , del y del _{del x ) donde no hay dos igual i} del _{del x, uno está buscando un polinómico p del n del grado a lo más con el $p\; del\; de\; lacaracterística(x\_i)\; =\; y\_i\; \backslash \; mbox\; \{,\}\; i=0,\; \backslash \; ldots,\; n.$}

El teorema del unisolvence del indica que un tan polinómico p existe y es único.

En más sofisticado término, teorema indica que para n +1 interpolación nodo ( i del <sub>del x ), polinómico interpolación define linear Bijection

$L\_\; n:\backslash mathbb\; \{K\}\; ^\; \{n+1\}\; \backslash \; \backslash \; Pi\_n$ donde está el espacio el $\backslash \; Pi\_n$ de vector de polinomios con el n o menos del grado.</sub>

Construir el polinomio de la interpolación

Suponer que el polinomio de la interpolación está en el $p\; del\; de\; la\; forma\; (x)\; =\; x^n\; del\; a\_n\; +\; el\; x^\; del\; a\_\; \{n-1\}\; \{n-1\}\; +\; \backslash \; los\; cdots\; +\; a\_2\; x^2\; +\; a\_1\; x\; +\; a\_0.\; \backslash \; qquad\; (1)$ La declaración que el p interpola los puntos de referencias significa ese $p\; del\; (x\_i)\; =\; y\_i\; \backslash \; qquad\; \backslash \; el\; mbox\; \{para\; todos\}\; i\; \backslash \; en\; \backslash \; a\; la\; izquierda\; \backslash \; \{0,\; 1,\; \backslash \; puntea,\; n\; \backslash \; derecho\; \backslash \}.$ Si substituimos la ecuación (1) adentro aquí, conseguimos un sistema de las ecuaciones lineares en los coeficientes $a\_k$. El sistema en forma del matriz-vector lee el $del\; \backslash \; comienza\; \{bmatrix\}\; x\_0^n\; y\; x\_0^\; \{n-1\}\; y\; x\_0^\; \{n-2\}\; y\; \backslash \; ldots\; y\; x\_0\; y\; 1\; \backslash \; \backslash \; x\_1^n\; y\; x\_1^\; \{n-1\}\; y\; x\_1^\; \{n-2\}\; y\; \backslash \; ldots\; y\; x\_1\; y\; 1\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; vdots\; y\; \backslash \; vdots\; y\; \backslash \; vdots\; y\; y\; \backslash \; vdots\; y\; \backslash \; de\; los\; vdots\; \backslash \; \backslash \; x\_n^n\; y\; x\_n^\; \{n-1\}\; y\; x\_n^\; \{n-2\}\; y\; \backslash \; ldots\; y\; x\_n\; y\; 1\; \backslash \; extremo\; \{bmatrix\}\; \backslash \; comenzar\; \{el\; bmatrix\}\; del\; a\_n\; \backslash \; \backslash \; del\; a\_\; \{n-1\}\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; de\; los\; vdots\; \backslash \; \backslash \; a\_0\; \backslash \; extremo\; \{bmatrix\}$

\ comenzar {el bmatrix} y_0 \ \ y_1 \ \ \ de los vdots \ \ y_n \ extremo {bmatrix}. Tenemos que solucionar este sistema para que $a\_k$ construya el $p\; interpolant\; (x).$

La matriz a la izquierda se refiere comúnmente como matriz de Vandermonde. Su determinante es diferente a cero, que prueba el teorema del unisolvence: existe un polinomio de interpolación único.

Soluciones de Non-Vandermonde

Estamos intentando construir nuestro polinomio único de la interpolación en el $\backslash \; Pi\_n$ del espacio de vector que es el espacio de vector de polinomios del n del grado. Al usar una base del monomio para el $\backslash \; Pi\_n$ tenemos que solucionar la matriz de Vandermonde para construir los coeficientes $a\_k$ para el polinomio de la interpolación. Esto puede ser una operación muy costosa (según lo contado en ciclos de reloj de una computadora que intenta hacer el trabajo). Eligiendo otra base para el $\backslash \; Pi\_n$ podemos simplificar el cálculo de los coeficientes pero por otra parte tenemos que hacer cálculos adicionales cuando queremos expresar el polinomio de la interpolación en términos de base del monomio.

Un método es escribir el polinomio de la interpolación en la forma de Newton y utilizar el método de las diferencias divididas para construir los coeficientes, e. algoritmo de Neville. El coste es $O\; (operaciones\; de\; n^2)$, mientras que la eliminación gausiana cuesta O$(operaciones\; de\; n^3)$. Además, usted necesita solamente hacer un pedacito del trabajo adicional si un punto extra se agrega al conjunto de datos, mientras que para los otros métodos, usted tiene que hacer de nuevo el cómputo entero.

Otro método es utilizar la forma de Lagrange del polinomio de la interpolación. La fórmula resultante demuestra inmediatamente que el polinomio de la interpolación existe bajo condiciones indicadas en el teorema antedicho.

La forma de Bernstein fue utilizada en una prueba constructiva del teorema de la aproximación de Weierstrass por el Bernstein y ha ganado hoy en día gran importancia en gráficos de computadora bajo la forma de curvas de Bezier

Error de la interpolación

Al interpolar un dado f de la función por un polinomio del n del grado en el 0 del _{del x de los nodos,…, el n} del _{del x conseguimos el error $f\; del$}

l (x) - p_n (x) = ^n de f \ del prod_ {i=0} (x-x_i)

donde
$f$ del

es la notación para las diferencias divididas . Cuando el f es el n +1 mide el tiempo de continuamente diferenciable en el más pequeño I del intervalo que contiene el i del _{del x de los nodos y el x entonces nosotros puede escribir el error en la forma de Lagrange como $f\; del$}

l (x) - p_n (x) = \ frac {f^ {(n+1)} (\ XI)}{(n+1)!} \ ^n del prod_ {i=0} (x-x_i)

para un cierto $\backslash \; xi$ en el I . Así el término de resto en la forma de Lagrange del teorema de Taylor es un caso especial del error de la interpolación cuando todo el i del _{del x de los nodos de la interpolación es idéntico.}

En el caso de $x\_i\; de\; los\; nodos\; de\; la\; interpolación\; =\; de\; x\_0\; +\; de\; ih$ equidistantes, sigue que el error de la interpolación es O$(h^n)$. Sin embargo, esto rinde cualquier información sobre qué sucede cuando $n\; \backslash \; a\; \backslash \; infty$. Esa pregunta se trata en la sección '' características '' de la convergencia.

El límite antedicho del error sugiere el elegir del i del _{del x de los puntos de la interpolación tales que el producto | ∏ (&minus del x ; i} del _{del x ) | es tan pequeño como sea posible. Los nodos de Chebyshev alcanzan esto.}

Constantes de Lebesgue el del de

considera el artículo principal: Lebesgue constante.

Fijamos el x ₀,…, n del _{del x y un intervalo '' b '' de los nodos de la interpolación que contiene todos los nodos de la interpolación. El proceso de la interpolación traza el f de la función a un polinómico p . Esto define un de trazado X del C ('' b '' del espacio) de todas las funciones continuas en '' b '' a sí mismo. El X del mapa es linear y es una proyección en el &Pi del subespacio; n} del _{de polinomios del n o menos del grado.}

El constante L de Lebesgue se define como la norma del operador X . Uno tiene (un caso especial del lema de Lebesgue): $del\; \backslash |f-X\; (f)\; \backslash |\; \backslash \; le\; (L+1)\; \backslash |f-p^*\; \backslash |.$ Es decir el polinomio de la interpolación es a lo más un factor ( L +1) peor que la aproximación mejor. Esto sugiere que busquemos un sistema de nodos de la interpolación ese L pequeño. Particularmente, tenemos para los nodos de Chebyshev: $L\; \backslash \; GE\; \backslash \; frac2\; \backslash \; pi\; \backslash \; registro\; del\; (n+1)\; +\; C\; \backslash patio\backslash \; mbox\; \{para\; un\; cierto\; constante\}\; C.$ Concluimos otra vez que los nodos de Chebyshev son una opción muy buena para la interpolación polinómica, pues el crecimiento en el n es exponencial para los nodos equidistantes. Sin embargo, esos nodos no son óptimos.

Características de la convergencia

¿Es natural pedir, para el cual las clases de funciones y para qué nodos de la interpolación la secuencia de interpolar polinomios convergen a la función interpolada mientras que el n del grado va al infinito? La convergencia se puede entender en las maneras diferentes, e. pointwise, uniforme o en una cierta norma integral.

La situación es algo mala para los nodos equidistantes, en que la convergencia uniforme incluso no está garantizada para las funciones infinitamente diferenciadas. Un ejemplo clásico, debido a Carle Runge, es el f ( x ) = 1/(de la función 1 + el x ²) considerado en el intervalo 5. El error de la interpolación || &minus del f ; n del _{del p ||∞ crece sin límite como &rarr del n ; ∞. Otro ejemplo es el f ( x ) de la función = | x | en el intervalo 1, para el cual los polinomios de interpolación incluso no convergen pointwise excepto en los tres puntos del x = − 1, 0, y 1.}

Uno pudo pensar que mejores características de la convergencia pueden ser obtenidas eligiendo diversos nodos de la interpolación. El teorema siguiente parece ser una respuesta algo encouraging: el para cualquier f ( x ) de la función continuo en un intervalo allí existe una tabla de nodos para los cuales la secuencia de interpolar el $p\_n\; de\; los\; polinomios\; (x)$ converge al f ( x ) uniformemente en. Está claro que la secuencia de polinomios del mejor $p^*\_n\; de\; laaproximación(x)$ converge al f ( x ) uniformemente (debido al teorema de la aproximación de Weierstrass). Ahora tenemos demostrar solamente que cada $p^*\_n\; (x)$ se puede obtener por medio de la interpolación en ciertos nodos. Pero esto es verdadero debido a una característica especial de los polinomios de la mejor aproximación sabidos del teorema de la alternación de Chebyshev. Específicamente, sabemos que tales polinomios deben intersecar el n del f ( x ) por lo menos +1 veces. Eligiendo los puntos de la intersección como nodos de la interpolación obtenemos coincidir polinómico de interpolación con el mejor polinomio de la aproximación.

El defecto de este método, sin embargo, es que los nodos de la interpolación se deben calcular de nuevo para cada nuevo f ( x ) de la función, pero el algoritmo es duro ser ejecutado numéricamente. ¿Existe una sola tabla de nodos para los cuales la secuencia de interpolar polinomios converja a cualquier f ( x ) de la función continua? La respuesta es desafortunadamente negativa pues es indicada por el teorema siguiente : el

l para cualquier tabla de nodos allí es un f ( x ) de la función continua en un intervalo para en el cual la secuencia de interpolar polinomios diverja.

La prueba esencialmente utiliza la valoración de un límite más bajo del constante de Lebesgue, que definimos arriba para ser la norma del operador del n del _{del X (donde está el operador el n} del _{del X de proyección en Π n} del _{). Ahora buscamos una tabla de nodos para los cuales $del\; \backslash \; el\; lim\_\; \{n\; \backslash \; \backslash \; infty\}\; X\_n\; f\; =\; f,$ para cualquie $f\; \backslash \; en\; C\; ().$ Debido al teorema, éste de Banach-Steinhaus es solamente posible cuando las normas del n} del _{del X se limitan uniformemente, que no pueden ser verdades puesto que sabemos ese $\backslash |X\_n\; \backslash |\backslash \; geq\; \backslash \; frac\; \{2\}\}\; \backslash \; registro\; (n+1)+C.$ {\ pi}

Por ejemplo, si los puntos equidistantes se eligen como nodos de la interpolación, la función del fenómeno de Runge demuestra divergencia de tal interpolación. Observar que esta función es no sólo continua pero incluso mide el tiempo infinitamente de diferenciable en 1. Para mejores nodos de Chebyshev, sin embargo, tal ejemplo es mucho más duro de encontrar debido a el teorema : el

l para cada función absolutamente continua en 1 la secuencia de interpolar los polinomios construidos en los nodos de Chebyshev converge al f ( x ) uniformemente.

Conceptos relacionados

El fenómeno de Runge demuestra que para los elevados valores del n, el polinomio de la interpolación puede oscilar violentamente entre los puntos de referencias. Este problema es resuelto comúnmente por el uso de la interpolación de la tira. Aquí, el interpolant es un no polinomio sino una tira : una cadena de varios polinomios de un grado más bajo.

Usar las funciones armónicas para interpolar una función periódica se hace generalmente usar la serie de Fourier Del, por ejemplo en el Fourier discreto transformar . Esto se puede ver como forma de interpolación polinómica con funciones bajas armónicas, ve la interpolación trigonométrica y el polinomio trigonométrico .

Los problemas de la interpolación de Hermite son ésos donde no sólo los valores del polinómico p se dan, pero también algunos derivados. La interpolación de Birkhoff es la generalización que permite para que algunos derivados sean dados, sin especificar los valores del p ellos mismos.

Los métodos de la colocación para la solución de ecuaciones diferenciadas e integrales se basan en la interpolación polinómica.

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