El tiempo está igual en todos los marcos de referencia porque es absoluto en mecánicos clásicos. Todos los observadores miden exactamente los mismos intervalos del tiempo y hay una cosa tal como un reloj absolutamente correcto.

Invariación de la longitud: el cuadro euclidiano

Rel3.GIF|pulgar|la derecha|La longitud de un objeto es constante en el plano durante rotaciones en el plano pero no durante rotaciones del plano]] en relatividad especial, el espacio y el tiempo se ensamblan en una serie continua cuadridimensional unificada llamada el espacio-tiempo . Para ganar un sentido como de qué espacio-tiempo es, debemos primero mirar el espacio euclidiano de la física neutoniana.

Este acercamiento a la teoría de la relatividad especial comienza con el concepto de " " de la longitud ;. En experiencia diaria, parece que la longitud de objetos sigue siendo igual no importa cómo se giran o se mueven de un sitio a otro; consecuentemente la longitud simple de un objeto no aparece cambiar ni es " " invariante ;. Sin embargo, como se demuestra en las ilustraciones abajo, qué se está sugiriendo realmente es que la longitud parece ser invariante en un sistema coordinado tridimensional.

La longitud de una línea en un sistema coordinado de dos dimensiones de cartesiano es dada por el teorema de Pythagoras:

l $h^2\; =\; x^2\; +\; y^2.\; \backslash ,$

Uno de los teoremas básicos de la álgebra de vector es que la longitud de un vector no cambia cuando se gira. Sin embargo, una inspección más cercana nos dice que ésta es solamente verdad si consideramos rotaciones confinadas al plano. Si introducimos la rotación en la tercera dimensión, después podemos inclinar la línea del plano. En este caso la proyección de la línea en el plano conseguirá más corta. ¿Hace esta longitud mala no es invariante? Obviamente no. El mundo es tridimensional y en un sistema coordinado de cartesiano 3D la longitud es dada por la versión tridimensional del teorema de Pythagoras: $del$

l k^2 = x^2 + y^2 + z^2. \, lear Esto es invariante bajo todas las rotaciones. La violación evidente de la invariación de la longitud sucedió solamente porque “faltábamos” una dimensión. Parece que, con tal que todas las direcciones en las cuales un objeto puede ser inclinado o ser arreglado se representen dentro de un sistema coordinado, la longitud de un objeto no cambia bajo rotaciones. Un sistema coordinado de 3 dimensiones está bastante en mecánicos clásicos porque el tiempo es absoluto presunto y independiente del espacio en ese contexto. Puede ser considerado por separado.

Observar que invariación de la longitud ordinariamente no está considerado un principio dinámico, no incluso un teorema. Es simplemente una declaración sobre la naturaleza fundamental del espacio sí mismo. El espacio como lo concebimos ordinariamente se llama un espacio euclidiano tridimensional, porque su estructura geométrica es descrita por los principios de la geometría euclidiana . La fórmula para la distancia entre dos puntos es una característica fundamental de un espacio euclidiano, se llama el tensor métrico euclidiano (o simplemente el métrico euclidiano). Generalmente las fórmulas de la distancia se llaman los tensores métricos.

Observar que las rotaciones están relacionadas fundamental con el concepto de longitud. De hecho, uno puede definir longitud o distancia para ser el que permanece iguales (es invariante) bajo rotaciones, o define las rotaciones para ser ése que mantienen la longitud invariante. Dado, es posible encontrar el otro. Si sabemos la fórmula de la distancia, podemos descubrir la fórmula para los coordenadas de transformación en una rotación. Si, por una parte, tenemos la fórmula para las rotaciones entonces podemos descubrir la fórmula de la distancia.

La formulación de Minkowski: introducción de espacio-tiempo

considera también:

l espacio-tiempo Después de Einstein la relatividad especial derivada formalmente del asunto antiintuitivo que la velocidad de la luz es igual a todos los observadores, la necesidad era sentida para una formulación más satisfactoria. Minkowski, empleando los acercamientos matemáticos usados en geometría no-euclidiana y el trabajo matemático de Lorentz y de Poincaré, realizó que un acercamiento geométrico era la llave. Minkowski demostró en 1908 que la nueva teoría de Einstein se podría explicar de una manera natural si el concepto de espacio y de tiempo separados se substituye por una serie continua cuadridimensional llamada espacio-tiempo. Esto era un concepto innovador, y el Rogelio Penrose ha dicho que la relatividad no era verdad completa hasta que el trabajo de Einstein reformulado Minkowski.

El concepto de un espacio cuadridimensional es duro de visualizar. Puede ayudar al principio a pensar simplemente en términos de coordenadas. En espacio tridimensional, uno necesita tres números verdaderos referir a un punto. En el espacio de Minkowski, uno necesita cuatro números verdaderos (tres coordenadas del espacio y una vez coordinados) referir a un punto en un instante particular del tiempo. Este punto en un instante particular del tiempo, especificado por los cuatro coordenadas, se llama un acontecimiento. La distancia entre dos diversos acontecimientos se llama el intervalo del espacio-tiempo.

Una trayectoria con el espacio-tiempo cuadridimensional, generalmente llamado espacio de Minkowski, se llama una línea del mundo. Puesto que especifica la posición y el tiempo, una partícula que tiene una línea sabida del mundo tiene una trayectoria y una velocidad totalmente resueltas. Esto es apenas como la representación gráfica de la dislocación gráficamente de una partícula que se mueve en una línea recta contra el tiempo transcurrió. La curva contiene la información motional completa de la partícula.

De la misma forma que la medida de la distancia en el espacio 3D necesitó los tres coordenadas debemos incluir tiempo tan bien como los tres coordenadas del espacio al calcular la distancia en el espacio de Minkowski (en adelante llamado M). En cierto modo, el intervalo del espacio-tiempo proporciona una estimación combinada de hasta dónde dos acontecimientos ocurren en espacio así como el tiempo que transcurre entre su ocurrencia.

Pero hay un problema. El tiempo se relaciona con los coordenadas del espacio, pero no son equivalentes. El teorema de Pythagoras trata todos los coordenadas en un pie igual (véase el espacio euclidiano para más detalles). Podemos intercambiar dos coordenadas del espacio sin el cambio de la longitud, pero no podemos intercambiar simplemente un coordenada del espacio por tiempo, ellos somos fundamental diferentes. Es una cosa enteramente diversa para que separans dos acontecimientos sean separados en espacio y a tiempo. Minkowski propuso que la fórmula para la distancia necesitara un cambio. Él encontró que la fórmula correcta era realmente absolutamente simple, diferenciando solamente por una muestra del teorema de Pythagoras: $del$

l s^2 = x^2 + y^2 + z^2 - (ct) ^2 \,

donde está el c un constante y un t es el coordenada del tiempo. La multiplicación por c, que tiene el $ms^\; de\; la\; dimensión\; \{-\; 1\}$, convierte el tiempo a las unidades de longitud y de este constante tiene el mismo valor que la velocidad de la luz . El intervalo del espacio-tiempo entre dos acontecimientos distintos se da tan cerca $del$

l s^2 = (x_2 - x_1) ^2 + (y_2 - y_1) ^2 + (z_2 - z_1) ^2 - c^2 (t_2 - t_1) ^2. \,

Hay dos puntos importantes que se observarán. En primer lugar, el tiempo está siendo medido en las mismas unidades que longitud multiplicándola por un factor de conversión constante. En segundo lugar, y más importantemente, tiempo-coordinar tiene una diversa muestra que los coordenadas del espacio. Esto significa eso en el espacio-tiempo cuadridimensional, un coordenada es diferente de los otros e influencia la distancia diferentemente. Esta nueva “distancia” puede ser cero o aún negativa. Esta nueva fórmula de la distancia, llamada el métrico del espacio-tiempo, está en el corazón de la relatividad. Esta fórmula de la distancia se llama el tensor métrico del M. Este signo de menos significa que mucha nuestra intuición sobre distancias no se puede transportar directo en intervalos del espacio-tiempo. Por ejemplo, el intervalo del espacio-tiempo entre dos acontecimientos separó ambos a tiempo y el espacio puede ser cero (véase abajo). De ahora en adelante, los términos se distancian fórmula y el tensor métrico será utilizado alternativamente, como ser los términos Minkowski métrico e intervalo del espacio-tiempo.

En el espacio-tiempo de Minkowski que el intervalo del espacio-tiempo es la longitud invariante, la longitud ordinaria 3D no se requiere para ser invariante. El intervalo del espacio-tiempo debe permanecer iguales bajo rotaciones, pero las longitudes ordinarias pueden cambiar. Apenas como antes, faltábamos una dimensión. Observar que todo esto lejos es simplemente definiciones. Definimos una construcción matemática cuadridimensional que tenga una fórmula especial para la distancia, donde la distancia significa el que permanezca iguales bajo rotaciones (alternativo, una pueda definir una rotación para ser la que mantiene la distancia sin cambios).

Ahora vienen las rotaciones físicas de la partición en el espacio de Minkowski tienen una diversa interpretación que rotaciones ordinarias. Estas rotaciones corresponden a las transformaciones de los bastidores de referencia. El paso a partir de un marco de referencia a otro corresponde a girar el espacio de Minkowski. Una justificación intuitiva para esto se da abajo, pero esto es matemáticamente un postulado dinámico apenas como si se asume que las leyes físicas deben permanecer igual bajo transformaciones galileas (que parece tan intuitivo que no lo reconocemos generalmente para ser un postulado).

Puesto que por definición las rotaciones deben guardar la distancia iguales, el paso a un diverso marco de referencia debe mantener el intervalo del espacio-tiempo entre dos acontecimientos sin cambios. Este requisito se puede utilizar para derivar una forma matemática explícita para la transformación que se debe aplicar a las leyes de la física (comparar con el uso de transformaciones galileas a las leyes clásicas) cuando los marcos de referencia de desplazamiento. Estas transformaciones se llaman las transformaciones de Lorentz. Apenas como las transformaciones galileas que son la declaración matemática del principio de relatividad galilea en mecánicos clásicos, las transformaciones de Lorentz es la forma matemática del principio de relatividad de Einstein. Las leyes de la física deben permanecer iguales bajo transformaciones de Lorentz. Las ecuaciones del maxwell y la ecuación de Dirac satisfacen esta característica, y por lo tanto son leyes (pero clásico incorrectas relativistically correctos, puesto que no transforman correctamente bajo transformaciones galileas).

Con la declaración del Minkowski métrico, el nombre común para la fórmula de la distancia dada arriba, la fundación teórica de la relatividad especial es completo. La base entera para la relatividad especial se puede resumir por el " geométrico de la declaración; los cambios del bastidor de referencia corresponden a las rotaciones en el espacio-tiempo de 4D Minkowski, que se define para tener la fórmula de la distancia dada el above". Las predicciones dinámicas únicas del SENIOR provienen esta característica geométrica del espacio-tiempo. La relatividad especial se puede decir para ser la física del espacio-tiempo de Minkowski. En este caso del espacio-tiempo, hay seis rotaciones independientes que se considerarán. Tres de ellas son las rotaciones estándar en un plano en dos direcciones del espacio. Los otros tres son rotaciones en un plano del espacio y del tiempo: Estas rotaciones corresponden a un cambio de la velocidad, y son descritas por las transformaciones tradicionales de Lorentz.

Como se ha mencionado antes, uno puede substituir fórmulas de la distancia por fórmulas de la rotación. En vez de comenzar con la invariación del Minkowski métrico como la característica fundamental del espacio-tiempo, uno puede indicar (como fue hecho en la física clásica con relatividad galilea) la forma matemática de las transformaciones de Lorentz y requerir que las leyes físicas sean invariantes bajo estas transformaciones. Esto no hace ninguna referencia a la geometría del espacio-tiempo, sino producirá el mismo resultado. Éste era de hecho el acercamiento tradicional al SENIOR, usado original por Einstein mismo. Sin embargo, este acercamiento se considera a menudo ofrecer menos penetración y ser más incómodo que el formalismo más natural de Minkowski.

Marcos de referencia y transformaciones de Lorentz: la relatividad revisitó

Hemos discutido ya eso en mecánicos clásicos que los cambios coordinados del marco corresponden a los transfomations galileos de los coordenadas. ¿Está esto adecuado en el cuadro relativista de Minkowski?

Suponer que hay dos personas, Bill y Juan, en los planetas separados que se están moviendo lejos de uno a. Bill y Juan son en los planetas separados tan ellos que ambos piensan que son inmóviles. Juan dibuja un gráfico del movimiento de Bill a través de espacio y el tiempo y éste se demuestra en la ilustración abajo:

Juan ve que Bill se está moviendo a través de espacio tan bien como tiempo pero Bill piensa que él se está moviendo con tiempo solamente. Bill extraería la misma conclusión sobre el movimiento de Juan. De hecho, estas dos opiniónes, que clásico serían consideradas una diferencia en marcos de referencia, son relacionadas simplemente por una transformación coordinada en la opinión del M. Bill de su propia línea del mundo y de la opinión de Juan de la línea del mundo de Bill son relacionadas el uno al otro simplemente por una rotación de coordenadas. Uno se puede transformar en el otro por una rotación del eje del tiempo. La geometría de Minkowski maneja transformaciones de los bastidores de referencia de una manera muy natural.

Los cambios en el marco de referencia, representado por transformaciones de la velocidad en mecánicos clásicos, son representados por rotaciones en el espacio de Minkowski. Estas rotaciones se llaman las transformaciones de Lorentz. Son diferentes de las transformaciones galileas debido a la forma única del Minkowski métrico. Las transformaciones de Lorentz son el equivalente relativista de transformaciones galileas. Las leyes de la física, para estar relativistically correctas, deben permanecer iguales bajo transformaciones de Lorentz. Sigue habiendo la declaración física que deben estar iguales en todos los marcos de referencia de inercia sin cambiar, solamente la transformación matemática entre diversos marcos de referencia cambia. Las leyes del movimiento de Newton son invariantes debajo de galileo algo que las transformaciones de Lorentz, así que son inmediatamente reconocibles como leyes no relativistas y deben ser desechadas en la física relativista. La ecuación de Schrödinger es también no relativista.

Las ecuaciones del maxwell son más difíciles. Se escriben usar vectores y en el primer vistazo aparecer transformar correctamente bajo transformaciones galileas. Pero en una inspección más cercana, varias preguntas son evidentes que no puede ser satisfactoriamente resolved dentro de mecánicos clásicos (véase la historia de la relatividad especial ). Son de hecho transformaciones inferiores invariantes de Lorentz y son relativistas, aunque fueron formuladas antes del descubrimiento de la relatividad especial. La electrodinámica clásica se puede decir para ser la primera teoría relativista en la física. Para hacer el carácter relativista de ecuaciones evidente, se escriben usar vector de 4 componentes como las cantidades llamadas 4 vectores. 4-Vectors transforman correctamente bajo transformaciones de Lorentz. Las ecuaciones escritas usar 4 vectores son automáticamente relativistas. Esto se llama manifestamente la forma de la covariante de ecuaciones. forma 4-Vectors mismo a las partes importantes del formalismo de la relatividad especial.

Postulado de Einstein: la constancia de la velocidad de la luz

El postulado de Einstein que la velocidad de la luz es un constante sale como una consecuencia natural de la formulación de Minkowski.

Asunto 1: el cuando un objeto está viajando en el c en cierto marco de referencia, el intervalo del espacio-tiempo es el cero. Prueba: el intervalo del espacio-tiempo entre el del origen-acontecimiento (0.0) y un del acontecimiento (x, y, z, t) es $del\; s^2\; =\; x^2\; +\; y^2\; +\; z^2\; -\; (ct)\; ^2.\; \backslash ,$
de que la distancia viajó por un objeto que se movía en el v de la velocidad por segundos del t es: el $\backslash raíz\; cuadradadel\; \{x^2\; +\; y^2\; +\; z^2\}\; =\; vt\; \backslash ,$
de que da el $del\; s^2\; =\; (vt)\; ^2\; -\; (ct)\; ^2.\; \backslash ,$
de puesto que el v de la velocidad iguala el c tenemos $del\; s^2\; =\; (ct)\; ^2\; -\; (ct)\; ^2.\; \backslash ,$
de por lo tanto el intervalo del espacio-tiempo entre los acontecimientos de la salida y llegada es dado por el $del\; s^2\; =\; 0\; \backslash ,$

Asunto 2: el un objeto que viaja en el c en un marco de referencia está viajando en el c en todos los marcos de referencia. Prueba: el dejó el objeto moverse con la velocidad v cuando estaba observado desde un diverso marco de referencia. Un cambio en marco de referencia corresponde a una rotación en el M. Puesto que el intervalo del espacio-tiempo se debe conservar bajo rotación, el intervalo del espacio-tiempo debe estar igual en todos los marcos de referencia. En el asunto 1 lo demostramos que para ser poner a cero adentro un marco de referencia, por lo tanto debe estar pone a cero adentro el resto de los marcos de referencia. Conseguimos ese $del\; (vt)\; ^2\; -\; (ct)\; ^2\; =\; 0\; \backslash ,\; el$
de que implica el $del\; |v|\; =\; C.\; \backslash ,$

Las trayectorias de rayos ligeros tienen un intervalo cero del espacio-tiempo, y por lo tanto todos los observadores obtendrán el mismo valor para la velocidad de la luz. Por lo tanto, al si se asume que el universo tiene cuatro dimensiones que sean relacionadas por la fórmula de Minkowski, la velocidad de la luz aparece como constante, y no necesita ser asumida (postulado) para ser constante como en el acercamiento original de Einstein a la relatividad especial.

Retardos del reloj y contracciones de la barra: más en las transformaciones de Lorentz

Otra consecuencia de la invariación del intervalo del espacio-tiempo es que los relojes aparecerán ir más lentos en los objetos que son mudanza en relación con usted. Esto es muy similar a cómo la 2.a proyección de una línea girada en la tercero-dimensión aparece conseguir más corta. La longitud no se conserva simplemente porque estamos no haciendo caso de una de las dimensiones. Dejarnos de vuelta al ejemplo de Juan y de Bill.

Juan observa la longitud del intervalo del espacio-tiempo de Bill como:

l $s^2\; =\; (vt)\; ^2\; -\; (ct)\; ^2\; \backslash ,$

considerando que Bill no piensa que él ha viajado en espacio, escribe tan:

l $s^2\; =\; (0)\; ^2\; -\; (cT)\; ^2\; \backslash ,$

El intervalo del espacio-tiempo, s², es invariante. Tiene el mismo valor para todos los observadores, cualquiera lo mide o cómo él se está moviendo en una línea recta. Esto significa que el intervalo del espacio-tiempo de Bill iguala la observación de Juan del intervalo del espacio-tiempo de Bill tan: $del$

l (0) ^2 - (cT) ^2 = (vt) ^2 - (ct) ^2 \,

y $-\; del$

l (cT) ^2 = (vt) ^2 - (ct) ^2 \,

por lo tanto $t\; del$

l = \} \, del frac {T} {\ raíz cuadrada {1 - \ frac {v^2} {c^2}} .

Así pues, si Juan ve un reloj que sea en descanso en el expediente del marco de Bill un segundo, Juan encontrará que su propio reloj mide entre estas mismas señales un t del intervalo, llamado el tiempo del coordenada del, que es mayor de un segundo. Se dice que los relojes en el movimiento retrasan, concerniente a ésos en observadores en descanso. Esto se conoce como " dilatación relativista del tiempo de un clock" móvil;. El tiempo que se mide en el marco de resto del reloj (en el marco de Bill) se llama la época apropiada del reloj.

En relatividad especial, por lo tanto, los cambios en marco de referencia afectan a tiempo también. El tiempo es no más absoluto. No hay reloj universal correcto, funcionamientos del tiempo a diversas tarifas para diversos observadores.

Puede ser demostrado semejantemente que Juan también observará las barras de medición en descanso en el planeta de Bill para ser más corto en la dirección del movimiento que sus propias barras de medición. Esto es una predicción conocida como " contracción de longitud relativista de un rod" móvil;. Si la longitud de una barra en descanso en el planeta de Bill es $X$, después llamamos esta cantidad el la longitud apropiada de la barra. La longitud $x$ de esa misma barra según lo medido en el planeta de Juan, se llama la longitud del coordenada del, y se da cerca

$x\; =\; X\; \backslash \; raíz\; cuadrado\; \{1\; -\; \backslash \}\; \backslash ,\; del\; frac\; \{v^2\}\; \{c^2\}$.

Estas dos ecuaciones se pueden combinar para obtener la forma general de la transformación de Lorentz en una dimensión espacial: el $del$

l del
\ comienza {alinear} el &= de T \ gamma \ a la izquierda (- \ frac {v x} {c^ {2} de t} \) \ derecho \ X &= \ gamma \ se fue (x - v t \) derecho \ \ \ extremo {alinear} o equivalente: el $del\; del$
\ comienza {alinear} el &= de t \ gamma \ a la izquierda (T + \ frac {v X} {c^ {2}} \) \ derecho \ x &= \ gamma \ se fue (X + v T \) derecho \ \ \ extremo {alinear} donde el factor de Lorentz es dado por el $\backslash \; la\; gamma\; =\; \{1\; \backslash \; sobre\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{1\; -\; v^2/c^2\}\}$

Las fórmulas antedichas para los retardos del reloj y las contracciones de longitud son casos especiales de la transformación general.

Alternativo, estas ecuaciones para la dilatación del tiempo y la contracción de longitud (aquí obtenida de la invariación del intervalo del espacio-tiempo), pueden ser obtenido de directo de la transformación de Lorentz fijando X = 0 para la dilatación del tiempo, significando que el reloj está en descanso en el marco de Bill, o fijando t = 0 para la contracción de longitud, significando que Juan debe medir las distancias a los puntos del extremo de la barra móvil al mismo tiempo.

Una consecuencia de las transformaciones de Lorentz es la fórmula modificada de la velocidad-adición: $del$

l s = {v+u \ sobre 1+ (v/c) (u/c)}.

Simultaneidad y desincronización del reloj

tener un sistema de acontecimientos simultáneos alrededor de ellos que miran como componer el actual instante. La relatividad de la simultaneidad da lugar a los observadores que están moviendo en relación con que tiene diversos sistemas de acontecimientos en su actual instante.

El efecto neto del universo cuadridimensional es que los observadores que son en el movimiento en relación con usted parecen tener coordenadas del tiempo que se inclinen encima en la dirección del movimiento, y consideran cosas ser simultáneas que no ser simultáneo para usted. Las longitudes espaciales en la dirección del recorrido se acortan, porque inclinan hacia arriba y hacia abajo, concerniente al eje del tiempo en la dirección del recorrido, relacionada con una rotación del espacio tridimensional.

El gran cuidado es necesario al interpretar espacio-tiempo diagrams. Diagrams los actuales datos en dos dimensiones, y no puede demostrar fiel cómo, por ejemplo, aparece un intervalo del espacio-tiempo de la longitud cero. lear

Relatividad general: una ojeada adelante

Desemejante de las leyes del movimiento de Newton, la relatividad no se basa sobre postulados dinámicos. No asume cualquier cosa sobre el movimiento o fuerzas. Algo, se ocupa de la naturaleza fundamental del espacio-tiempo. Se refiere a describir la geometría del contexto en el cual todos los fenómenos dinámicos ocurren. En cierto modo por lo tanto, es una meta-teoría, una teoría que presente una estructura que el resto de las teorías deban seguir. En verdad, la relatividad especial es solamente un caso especial. Asume que el espacio-tiempo es plano. Es decir, asume que la estructura del espacio de Minkowski y del tensor métrico de Minkowski es constante en todas partes. En la relatividad general, Einstein demostró que éste no es verdad. La estructura del espacio-tiempo es modificada por la presencia de materia. Específicamente, la fórmula de la distancia dada arriba es no más generalmente válida excepto en espacio libremente de Massachusetts. Sin embargo, apenas como una superficie curvada se puede considerar el plano en el límite infinitesimal de cálculo, un espacio-tiempo curvado se puede considerar plano en una pequeña escala. Esto significa que el métrico de Minkowski escrito en la forma diferenciada es generalmente válido.

l $ds^2\; =\; dx^2\; +\; dy^2\; +\; dz^2\; -\; c^2\; dt^2\; \backslash ,$

Uno dice que el Minkowski métrico es el válido localmente, pero no puede dar una medida de distancias extendidas demasiado distancia. Es el inválido global . De hecho, en relatividad general el métrico global sí mismo llega a ser dependiente en la distribución en masa y varía a través de espacio. El problema central de la relatividad general es solucionar las ecuaciones de campo famosas de Einstein para una distribución en masa dada y encontrar la fórmula de la distancia que se aplica en ese caso particular. La formulación del espacio-tiempo de Minkowski era la progresión toxicológica conceptual a la relatividad general. Su fundamental nueva perspectiva permitió no sólo el desarrollo de la relatividad general, pero también hasta cierto punto de las teorías de campo de Quantum .

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