En las matemáticas, un isomorfismo ( griego del : ison "equal", y " del morphe del ; shape") está un Bijective f del mapa tales que el f y su   ^{inverso del f ; − 1} son mappings estructura-que preservan del de Homomorphisms es decir.

Informal, un isomorfismo es una clase de que traza entre los objetos, que demuestra una relación entre dos características u operaciones. Si existe un isomorfismo entre dos estructuras, llamamos el de dos estructuras isomorfo. En cierto sentido, las estructuras isomorfas son el estructural idéntico, si usted elige no hacer caso de las diferencias fino-granulosas que pueden presentarse de cómo se definen.

Según el Douglas Hofstadter : " del ; que la palabra “isomorfismo” se aplica cuando dos estructuras complejas se pueden trazar sobre uno a, de una manera tal que a cada parte de una estructura haya una parte correspondiente en la otra estructura, donde la “correspondencia” significa que las dos piezas desempeñan papeles similares en sus estructuras respectivas. " de ; ( Gödel, Escher, Bach, P. 49)

Propósito

Isomorphisms se estudia en matemáticas para ampliar penetraciones a partir de un fenómeno a otros: si dos objetos son isomorfos, después cualquier característica que es preservada por un isomorfismo y que sea verdad de uno de los objetos es también verdad del otro. Si un isomorfismo se puede encontrar de una parte relativamente desconocida de matemáticas en alguno división bien estudiada de matemáticas, donde muchos teoremas se prueban ya, y muchos métodos están ya disponibles encontrar respuestas, después la función se puede utilizar para trazar problemas enteros fuera de territorio desconocedor encima al " ground" sólido; con donde está más fácil el problema de entender y de trabajar.

Analogías físicas

Aquí están algunos ejemplos diarios de estructuras isomorfas:
Cubierta estándar del

A de 52 tarjetas que juegan con los cuatro corazones de los juegos, diamantes, espadas, y clubs y una cubierta estándar de 52 tarjetas que juegan con cuatro juegos de triángulos, de círculos, de cuadrados, y de pentágonos; aunque diferencien los juegos de cada cubierta, las cubiertas son estructural &mdash isomorfo; si deseamos jugar a tarjetas, no importa que la cubierta nosotros elige utilizar.
La torre de reloj en Londres (que contiene el Ben grande ) y un reloj; aunque los relojes varíen grandemente de tamaño, sus mecanismos de contar tiempo son isomorfos.
Un exagonal muere y un bolso de el cual se elija un número 1 a 6; aunque el método de obtener un número sea diferente, su número al azar que genera capacidades es isomorfo. Éste es un ejemplo del isomorfismo funcional, sin la presunción del isomorfismo geométrico.
Hay un juego que es isomorfo al Tic-tac-dedo del pie, pero en la superficie aparece totalmente diferente. Los jugadores lo toman alternadamente para decir un número entre uno y nueve. Los números no pueden ser repetidos. Ambos jugadores apuntan decir tres números que agreguen para arriba a 15. Trazar estos números en un cuadrado mágico 3×3 revelará la correspondencia exacta con el juego del tic-tac-dedo del pie, dado que tres números serán arreglados en una línea recta si y solamente si agregan para arriba a 15.

¡Example< práctico! -- Esta sección se liga de la lista de los pequeños grupos -->

Los siguientes son ejemplos de isomorphisms de la álgebra ordinaria .

• Considerar la función del logaritmo : Para cualquier bajo fijo b, el b del log de la función del logaritmo traza del $\backslash \; del\; mathbb\; positivos\; \{R\}\; ^+$ de los números verdaderos sobre el $\backslash \; el\; mathbb\; \{R\}$ de los números verdaderos; formalmente: $\backslash \; log\_b\; del$

  l : ¡\ mathbb {R} ^+ \ \ mathbb {} \! de R

  Éste que traza es el uno por y sobre, es decir, es un Bijection del dominio al Codomain de la función de logaritmo.

  Además de ser un isomorfismo de sistemas, la función de logaritmo también preserva ciertas operaciones. Específicamente, considerar el $del\; grupo\; (\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^+,\; \backslash \; épocas)$ de números verdaderos positivos bajo multiplicación ordinaria. La función de logaritmo obedece la identidad siguiente: ¡$del$

  l \ log_b (= \ log_b de x \ de las épocas y) (x) + \ log_b (y) \!

  Pero los números verdaderos bajo adición también forman a grupo. La función de logaritmo es tan de hecho un isomorfismo del grupo del $del\; grupo\; (\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^+,\; \backslash \; épocas)$ al $del\; grupo\; (\backslash \; mathbb\; \{R\},\; +)$.

  Los logaritmos se pueden por lo tanto utilizar para simplificar la multiplicación de números verdaderos. Trabajando con logaritmos, la multiplicación de números verdaderos positivos es substituida por la adición de registros. Esta manera es posible multiplicar números verdaderos usar una regla y una tabla de logaritmos, o usar una regla de diapositiva con una escala logarítmica.

El

• considera el Z ₆, los números del grupo a partir de la 0 a 5 con el modulo 6. También considerar los × del Z ₂ del grupo; El Z ₃, los pares pedidos donde los coordenadas del x pueden ser 0 o 1, y las coordinadas Y puede ser 0, 1, o 2, donde está el modulo la adición en el x - coordenada es el modulo 2 y la adición en el y - coordenada 3.

  Estas estructuras son isomorfas bajo adición, si usted las identifica usar el esquema siguiente:

  l del
  (0.1) - > 1
  2 del
  (0.0) - > 3
  del
  (0.2) - > 5

  o en general un, b ) - > ( 3 + 4 b ) MOD 6.

  Por ejemplo observar el (1.1) que traduzcan en el otro sistema como 1 + 3 = 4.

  Aunque estos dos grupos del " look" diferente en eso los sistemas contienen diversos elementos, ellos son de hecho el isomorfo: sus estructuras son exactamente iguales. Más generalmente, el producto directo dos del cíclico n del _{del Z de los grupos y del m} del _{del Z es cíclico si y solamente si el n y el m son el coprimero.}

Ejemplos abstractos

Un isomorfismo relación-que preserva

Si un objeto consiste en un X del sistema con una relación binaria R y el otro objeto consiste en un Y del sistema con una relación binaria S entonces que un isomorfismo del X al Y es un   del f de la función bijective;:     del X ; →  Y tales que f (u) f (v) del de S de si y solamente si v del u R de .

S es el reflexivo, el irreflexive, el simétrico, el antisimétrico, el asimétrico, el transitivo, el total, una orden parcial, la orden total, la orden débil terminante, (orden débil), una relación de equivalencia, o una relación con cualquier otra característica especial, si y solamente si es R.

Por ejemplo, R es un que pide el ≤ de y S un $que\; ordena\; \backslash \; sqsubseteq$, después un isomorfismo del X al Y es un   del f de la función bijective;:     del X ; →  Y tales que $f\; del\; (u)\; \backslash \; sqsubseteq\; f\; (v)$ si y solamente si v del ≤ del u . Tal isomorfismo se llama un isomorfismo de la orden o (menos comúnmente) un isomorfismo isótono del .

Si el X = el Y nosotros tiene un automorfismo relación-que preserva .

Un isomorfismo operación-que preserva

Suponer eso en el X de estos sistemas y el Y, allí ser dos el $\backslash \; star$ de las operaciones binarias y el $\backslash \; Diamond$ que sucedan constituir los grupos ( X, $\backslash \; star$) y (el Y, el $\backslash \; Diamond$). Observar que los operadores funcionan encendido elementos desde el dominio y la gama, respectivamente, del " uno-a-one" y " onto" f de la función. Hay un isomorfismo del X al Y si el Bijective f de la función :   del X ; →  El Y sucede producir resultados, ése fijó una correspondencia entre el $\backslash \; star$ del operador y el $\backslash \; Diamond$ del operador. $f\; del$

l (u) \ diamante f (v) = f (u \ estrella v) para todo el u, v en el X .

Usos

En la álgebra del extracto, se definen dos isomorphisms básicos:
El isomorfismo del grupo, un isomorfismo entre el agrupa
El isomorfismo del anillo, un isomorfismo entre el suena . (Nota que los isomorphisms entre los campos son realmente isomorphisms del anillo)

En el análisis matemático, el Legendre transforma las ecuaciones diferenciales duro de los mapas de en ecuaciones algebraicas de un más fácil .

En la álgebra universal, donde un C de la categoría es dado por una clase de los objetos del y una clase de Morphisms, la definición general del isomorfismo que cubre el anterior y muchos otros casos está: un isomorfismo es un f del morphism: el un b del → de que tenga lo contrario, es decir allí existe un g del morphism: del → del b un con el fg del = 1 _b y gf del = 1 _un . Por ejemplo, un mapa linear bijective es un isomorfismo entre los espacios de vector y una función continua bijective cuyo lo contrario es también continuo es un isomorfismo entre los espacios topológicos llamados un homeomorfismo .

En la teoría de gráfico, un isomorfismo entre el G de dos gráficos y el H es un Bijective f del mapa de las cimas del G a las cimas del H que preserva el " structure" del borde; en el sentido que hay un borde del u de la cima al v de la cima en de G del si y solamente si allí es un borde del f ( u ) al f ( v ) en el H . Ver el representar el isomorfismo gráficamente .

En teorías tempranas del atomismo lógico, la relación formal entre los hechos y los asuntos verdaderos fue teorizada por el Bertrand Russell y el Ludwig Wittgenstein para ser isomorfa.

En cibernética el buen teorema del regulador o de Conant-Ashby es " indicado; Cada buen regulador de un sistema debe ser un modelo de ese system". Si está regulado o autorregulador un isomorfismo está requerido entre la pieza del regulador y la parte de proceso del sistema.

Ver también

automorfismo
Homeomorfismo
Epimorphism
Clase del isomorfismo
Monomorfismo
Morphism
Isometry

.

Zenithic

Hindustan Paper Corporation Ltd. Township Area Panchgram

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