En la álgebra del extracto, un isomorfismo del grupo del es una función entre dos grupos que fija una correspondencia una por entre los elementos de los grupos de una manera que respete a grupo dado las operaciones. Si existe un isomorfismo entre dos grupos, después llaman los grupos el isomorfo. Del punto de vista de la teoría de grupo, los grupos isomorfos tienen las mismas características y no necesitan ser distinguidos.

Definición y notación

Dado dos grupos (G, *) y (H, $\backslash \; odot$), un isomorfismo del grupo del de (G, *) a (H, $\backslash \; odot$) es un homomorfismo bijective del grupo de G a H. Explicado, esto significa que un isomorfismo del grupo es un $f\; de\; la\; función\; bijective:\; G\; \backslash \; rightarrow\; H$ tales que para todo el u y v en G lleva a cabo ese $f\; (u\; *\; v)\; =\; f\; del\; (u)\; \backslash \; el\; odot\; f\; (v)$.

Los dos grupos (G, *) y (H, $\backslash \; odot$) son isomorfos si existe un isomorfismo. Se escribe esto: ¡

$(G,\; *)\; \backslash \; cong\; (,\; \backslash \; odot\; de\; H)$ símbolo de Unicode no es visible con todos los hojeadores y ajustes de hojeador -->

Notaciones a menudo más cortas y más simples pueden ser utilizadas. A menudo no hay ambigüedad sobre la operación del grupo, y puede ser omitida: $G\; del\; \backslash \; cong\; H$

A veces uno puede incluso escribir simplemente G = H. Si tal notación es posible sin la confusión o la ambigüedad depende de contexto. Por ejemplo, el signo de igualdad no es muy conveniente cuando los grupos son ambos subgrupos del mismo grupo. Ver también los ejemplos.

Inversamente, dado un grupo (G, *), un sistema H, y un $f\; deBijection:\; G\; \backslash \; el\; rightarrow\; H$, podemos hacer H al grupo (H, $\backslash \; odot$) definiendo el $f\; del\; (u)\; \backslash \; el\; odot\; f\; (v)\; =\; f\; (u\; *\; v)$.

Si H = G y $\backslash \; odot$ = * entonces el bijection es un automorfismo ( q. )

Ejemplos

El grupo de todos los números verdaderos con la adición, ($\backslash \; el\; mathbb\; \{R\}$, +), es isomorfo al grupo de todos los números verdaderos positivos con la multiplicación ($\backslash \; mathbb\; \{R\}$⁺, ×):

$(\backslash \; mathbb\; \{R\},\; +)\; \backslash \; cong\; (\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^+,\; \backslash \; épocas)$

vía el $f\; del\; del\; isomorfismo\; (x)\; =\; e^x$ (véase la función exponencial ).

El $del\; grupo\; \backslash \; el\; mathbb\; \{Z\}$ de los números enteros que (con la adición) es un subgrupo del $\backslash \; del\; mathbb\; \{R\}$, y el $del\; grupo\; de\; factor\; \backslash \; el\; mathbb\; \{R\}$/$\backslash \; mathbb\; \{Z\}$ es isomorfos al grupo $S^1$ de los números complejos del valor absoluto 1 (con la multiplicación):

$\backslash \; mathbb\; \{R\}/\backslash \; mathbb\; \{\}\; \backslash \; cong\; S^1$ de Z Un isomorfismo es dado por el $f\; del\; (x\; +\; \backslash \; mathbb\; \{Z\})\; =\; el\; e^\; \{2\; \backslash \; pi\; XI\}$ para cada x en el $\backslash \; el\; mathbb\; \{R\}$.

El cuatro-grupo de Klein es isomorfo al producto directo de dos copias del = \ mathbb {Z} /2 \ mathbb {Z} del $\backslash \; del\; mathbb\; \{Z\}\; \_2\; (véase\; laaritmética\; modular),\; y\; puede\; por\; lo\; tanto\; ser\; escrito\; el$ \backslash \; el\; mathbb\; \{Z\}\; \_2\; \backslash \; épocas\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \_2$.\; Otra\; notación\; es\; Dih$₂, porque es un grupo Dihedral .

Algunos grupos pueden ser demostrados para ser isomorfos, confiando en el axioma de la opción, mientras que es incluso teóricamente imposible construir isomorphisms concretos. Ejemplos:
El grupo ($\backslash \; mathbb\; \{R\}$, +) es isomorfo al grupo ($\backslash \; mathbb\; \{C\}$, +) de todos los números complejos con la adición.
El grupo ($\backslash \; mathbb\; \{C\}$^*, ·) de números complejos diferentes a cero con la multiplicación como operación es isomorfo al S ¹ del grupo mencionado anteriormente.

Consecuencias

De la definición, sigue que cualquie $f\; del\; isomorfismo:\; G\; \backslash \; el\; rightarrow\; H$ trazarán el elemento de identidad de G al elemento de identidad de H, $f\; del\; (e\_G)\; =\; e\_H$ que trazará lo contrario a lo contrario, = \ a la izquierda del $f\; del\; (u^\; \{-\; 1\})\; f\; (u)\; \backslash \; el\; right^\; \{-\; 1\}$ y más generalmente, energías del th del n a las energías del th del n, $f\; del\; (el\; u^n)=\; \backslash \; salió\; de\; f\; (u)\; \backslash \; el\; right^n$ para todo el u en G, y que el $f^\; inverso\; del\; mapa\; \{-\; 1\}:\; H\; \backslash \; el\; rightarrow\; G$ es también un isomorfismo del grupo.

El " de la relación; siendo isomorphic" satisface todos los axiomas de una relación de equivalencia . Si f es un isomorfismo entre dos grupos de G y H, después todo que es verdad sobre G que se relacione solamente con el grupo que la estructura se puede traducir vía f a una declaración verdadera del DITTO sobre H, y viceversa.

¡Automorfismos grupo abeliano -->

Un isomorfismo de un grupo (G, *) a sí mismo se llama un automorfismo de este grupo. Así es un $f\; del\; bijection:\; G\; \backslash \; rightarrow\; G$ tales que $f\; del\; (u)\; *\; f\; (v)\; =\; f\; (u\; *\; v)$.

Un automorfismo traza siempre la identidad a sí mismo. La imagen bajo automorfismo de una clase de Conjugacy es siempre una clase del conjugacy (iguales u otros). La imagen de un elemento tiene la misma orden que ese elemento.

La composición de dos automorfismos es otra vez un automorfismo, y con esta operación el sistema de todos los automorfismos de un grupo G, denotados por Aut (G), se forma un grupo, el grupo del automorfismo del de G.

Para todos los grupos abelianos hay por lo menos el automorfismo que substituye los elementos del grupo por sus lo contrario. Sin embargo, en grupos donde están iguales todos los elementos a su lo contrario éste es el automorfismo trivial, e. en el cuatro-grupo de Klein. Para ese grupo todas las permutaciones de los tres elementos de la no-identidad son automorfismos, así que el grupo del automorfismo es isomorfo a S₃ y a Dih₃.

En Z_p para un número primero p, un elemento de la no-identidad se puede substituir por cualquier otro, por los cambios correspondientes en los otros elementos. El grupo del automorfismo es isomorfo al &minus de Z_{p; 1}. Por ejemplo, para n = 7, multiplicando todos los elementos de Z₇ por 3, el modulo 7, es un automorfismo de la orden 6 en el grupo del automorfismo, porque 3⁶ = 1 (el modulo 7), mientras que energías más bajas no dan 1. Así este automorfismo genera Z₆. Hay un más automorfismo con esta característica: multiplicar todos los elementos de Z₇ por 5, modulo 7. Por lo tanto, estos dos corresponden a los elementos 1 y 5 de Z₆, en esa orden o inversamente.

El grupo del automorfismo de Z₆ es isomorfo a Z₂, porque solamente cada uno de los dos elementos 1 y 5 genera Z₆, así que aparte de la identidad podemos intercambiar solamente éstos.

El grupo del automorfismo de × de Z₂; × de Z₂; × de Z₂ = de Dih₂; Z₂ tiene orden 168, como puede ser encontrado como sigue. Los 7 elementos de la no-identidad desempeñan el mismo papel, así que podemos elegir de el cual desempeña el papel (1. 6 restantes uces de los se pueden elegir para desempeñar el papel de (0. Esto determina cuál corresponde (1.1) nosotros podemos elegir a partir del 4, que determina el resto. Así tenemos 7 × 6 × 4 = 168 automorfismos. Corresponden a los Fano plano, cuyo los 7 puntos corresponden a los 7 elementos de la no-identidad. Las líneas que conectan tres puntos corresponden a la operación del grupo: a, b, y c en una línea significa a+b=c, a+c=b, y b+c=a. Ver también el grupo linear general sobre los campos finitos .

Un grupo del automorfismo con órdenes primeras puede ser resuelto usar el cociente de Hilditch. Los grupos lineares de conexión también se ajustan a las órdenes perfectas con preparan usar el análisis plano reverso de Hilditch-Mackay Fano .

Grupos abelianos todos los automorfismos excepto el trivial se piden los automorfismos externos

Los grupos No-Abelianos tienen un grupo interno del automorfismo no trivial, y posiblemente también automorfismos externos.