En la lógica matemática y la teoría determinada descriptiva, la jerarquía analítica es un tipo más alto análogo de la jerarquía aritmética . Continúa así la clasificación de sistemas por las fórmulas que las definen.

La jerarquía analítica de fórmulas

El $\backslash \; Sigma^1\_0\; de\; la\; notación\; =\; \backslash \; Pi^1\_0\; =\; \backslash \; Delta^1\_0$ indica la clase de fórmulas en la lengua de la aritmética Second-order sin cuantificadores del sistema. Esta lengua no contiene parámetros determinados. Las letras griegas aquí son los símbolos del Lightface, que indican esta opción de la lengua. Cada símbolo negrita correspondiente denota la clase correspondiente de fórmulas en la lengua extendida con un parámetro para cada verdadero; ver la jerarquía descriptiva para los detalles.

Una fórmula en la lengua de la aritmética second-order se define para ser el $\backslash \; Sigma^1\_\; \{n+1\}$ si es lógicamente equivalente a una fórmula del $de\; la\; forma\; \backslash \; existe\; X\_1\; \backslash \; los\; cdots\; \backslash \; existe\; X\_k\; \backslash \; psi$ donde está el $el$ \backslash \; psi$\backslash \; Pi^1\_\; \{n\}$. Una fórmula se define para ser el $\backslash \; Pi^1\_\; \{n+1\}$ si es lógicamente equivalente a una fórmula del $\backslash \; del\; forall\; X\_1\; \backslash \; cdots\; \backslash \; forall\; X\_k\; \backslash \; psi$ de la forma donde está el $el$ \backslash \; psi$\backslash \; Sigma^1\_\; \{n\}$. Esta definición inductiva define el $\backslash \; Sigma^1\_n$ de las clases y el $\backslash \; Pi^1\_n$ para cada número natural $n$.

Porque cada fórmula tiene una forma normal del prenex, cada fórmula en la lengua de la aritmética second-order es el $\backslash \; Sigma^1\_n$ o el $\backslash \; Pi^1\_n$ para algún $n$. Porque los cuantificadores sin setido se pueden agregar a cualquier fórmula, una vez que una fórmula se da el $\backslash \; Sigma^1\_n$ de la clasificación o el $\backslash \; Pi^1\_n$ para algún $n$ será dada el $\backslash \; Sigma^1\_m$ de las clasificaciones y el $\backslash \; Pi^1\_m$ para todo el $m$ mayor que $n$.

Observar que tiene raramente sentido de hablar de una fórmula $\backslash \; Delta^1\_n$; el primer cuantificador de una fórmula es existencial o universal.

La jerarquía analítica de los sistemas de números naturales

Un sistema de números naturales se asigna el $\backslash \; Sigma^1\_n$ de la clasificación si es definible por una fórmula del $\backslash \; Sigma^1\_n$. El sistema se asigna el $\backslash \; Pi^1\_n$ de la clasificación si es definible por una fórmula del $\backslash \; Pi^1\_n$. Si el sistema es el $\backslash \; Sigma^1\_n$ y el $\backslash \; Pi^1\_n$ entonces se da el $adicional\; \backslash \; Delta^1\_n$ de la clasificación.

Los sistemas del $\backslash \; Delta^1\_1$ se llaman el hyperarithmetical. Una clasificación alterna de éstos fija por functionals computables iterados es proporcionada por la teoría de Hyperarithmetical.

La jerarquía analítica en subconjuntos de espacio del chantre y de Baire

La jerarquía analítica se puede definir en cualquier espacio polaco eficaz ; la definición es particularmente simple para el espacio del chantre y de Baire porque caben con la lengua de la aritmética second-order ordinaria. El espacio del chantre es el sistema de todas las secuencias infinitas de 0s y de 1s; El espacio de Baire es el sistema de todas las secuencias infinitas de números naturales. Éstos son ambos espacios del polaco

La axiomatización ordinaria de la aritmética Second-order utiliza una lengua fijar-basada en la cual los cuantificadores del sistema se puedan ver naturalmente como cuantificando sobre espacio del chantre. Un subconjunto de espacio del chantre se asigna el $\backslash \; Sigma^1\_n$ de la clasificación si es definible por una fórmula del $\backslash \; Sigma^1\_n$. El sistema se asigna el $\backslash \; Pi^1\_n$ de la clasificación si es definible por una fórmula del $\backslash \; Pi^1\_n$. Si el sistema es el $\backslash \; Sigma^1\_n$ y el $\backslash \; Pi^1\_n$ entonces se da el $adicional\; \backslash \; Delta^1\_n$ de la clasificación.

Un subconjunto de espacio de Baire tiene un subconjunto correspondiente de espacio del chantre debajo del mapa que lleva cada función del $\backslash \; omega$ el $\backslash \; omega$ a la función característica de su gráfico. Un subconjunto de espacio de Baire se da el $\backslash \; Sigma^1\_n$ de la clasificación, el $\backslash \; Pi^1\_n$, o el $\backslash \; Delta^1\_n$ si y solamente si el subconjunto correspondiente de espacio del chantre tiene la misma clasificación. Una definición equivalente de la jerarquía analítica en el espacio de Baire es dada definiendo la jerarquía analítica de fórmulas usar una versión funcional de la aritmética second-order; entonces la jerarquía analítica en subconjuntos de espacio del chantre se puede definir de la jerarquía en el espacio de Baire. Esta definición alterna da exactamente las mismas clasificaciones que la primera definición.

Porque el espacio del chantre es homeomórfico a cualquier energía cartesiana finita de sí mismo, y espacio de Baire es homeomórfico a cualquier energía cartesiana finita de sí mismo, la jerarquía analítica se aplica igualmente bien a la energía cartesiana finita de uno de estos espacios. Una extensión similar es posible para las energías contables y a los productos de energías del espacio del chantre y de energías del espacio de Baire.

Extensiones

Al igual que el caso con la jerarquía aritmética, una versión relativized de la jerarquía analítica puede ser definida. La lengua se amplía para agregar un constante A del símbolo determinado. Una fórmula en la lengua extendida se define inductivo para ser $\backslash \; Sigma^\; \{1,\; A\}\; \_n$ o $\backslash \; Pi^\; \{1,\; A\}\; \_n$ usar la misma definición inductiva que arriba. Dado un sistema $Y$, un sistema se define para ser $\backslash \; Sigma^\; \{1,\; Y\}\; \_n$ si es definible por un $\backslash \; una\; fórmula\; de\; Sigma^\; \{1,\; A\}\; \_n$ en los cuales el símbolo $A$ se interprete como $Y$; las definiciones similares para el $\backslash \; Pi^\; \{1,\; Y\}\; \_n$ y el $\backslash \; Delta^\; \{1,\; Y\}\; \_n$ se aplican. Los sistemas que son $\backslash \; Sigma^\; \{1,\; Y\}\; \_n$ o $\backslash \; Pi^\; \{1,\; Y\}\; \_n$, para cualquie Y del parámetro, se clasifican en la jerarquía descriptiva .

Ejemplos

el sistema de todos los números naturales que sean índices de ordinales computables es un $\backslash \; Pi^1\_1$ fijado que no es el $\backslash \; Sigma^1\_1$.

el sistema de los elementos del espacio del chantre que son las funciones características de orderings bien del $\backslash \; omega$ es un $\backslash \; Pi^1\_1$ fijado que no es el $\backslash \; Sigma^1\_1$. De hecho, este sistema no es $\backslash \; Sigma^\; \{1,\; Y\}\; \_1$ para ningún elemento $Y$ del espacio de Baire.

si el axioma del constructibility se sostiene entonces allí es un subconjunto del producto del espacio de Baire consigo mismo cuál es el $\backslash \; Delta^1\_2$ y es el gráfico de un que ordena bien del espacio de Baire. Si los asimientos del axioma entonces allí son también el ordenar bien del $\backslash \; Delta^1\_2$ del espacio del chantre.

Características

Para cada $n$ tenemos las contenciones terminantes siguientes: $\backslash \; Pi^1\_n\; \backslash \; subconjunto\; \backslash \; Sigma^1\_\; \{n+1\}$, $\backslash \; Pi^1\_n\; \backslash \; subconjunto\; \backslash \; Pi^1\_\; \{n+1\}$, $\backslash \; Sigma^1\_n\; \backslash \; subconjunto\; \backslash \; Pi^1\_\; \{n+1\}$, $\backslash \; Sigma^1\_n\; \backslash \; subconjunto\; \backslash \; Sigma^1\_\; \{n+1\}$ del

l
del
.

Un sistema que está en el $\backslash \; Sigma^1\_n$ para un cierto n reputa el analítico. El cuidado se requiere para distinguir este uso del sistema analítico del término que tiene un diverso significado.