En la teoría de complejidad de cómputo, la jerarquía polinómica es una jerarquía de las clases de la complejidad que generalizan el P de las clases, el NP y el Co-NP a las máquinas de Oracle

Definiciones

Hay definiciones equivalentes del múltiplo de las clases de la jerarquía polinómica.

1. Para la definición del oráculo de la jerarquía polinómica, definir $\backslash \; Delta\_0^\; del$

   l {\ rm P}: = \ Sigma_0^ {\ rm P}: = \ Pi_0^ {\ rm P}: = \ mbox {P},

   donde está el sistema el P de los problemas de decisión solubles en el polinómico medir el tiempo de . Entonces para el &ge de i; 0 define $del$

   l \ ^ de Delta_ {i+1} {\ rm P}: = \ $^\; del\; mbox\; \{P\}\; \{\backslash \; Sigma\_i^\; \{\backslash \; rm\; P\}\}$ \ ^ de Sigma_ {i+1} {\ rm P}: = \ $^\; del\; mbox\; \{NP\}\; \{\backslash \; Sigma\_i^\; \{\backslash \; rm\; P\}\}$ \ ^ de Pi_ {i+1} {\ rm P}: = \ ^ del mbox {coNP} {\ Sigma_i^ {\ rm P}}

   donde está el sistema A^B de los problemas de decisión solubles por una máquina de Turing en la clase A aumentada por un oráculo para un cierto problema en la clase B. por ejemplo, el $\backslash \; Sigma\_1^\; \{\backslash \; rm\; P\}\; =\; \{\backslash \; rm\; NP\},\; \backslash \; Pi\_1^\; \{\backslash \; rm\; P\}\; =\; \{\backslash \; coNP\; del\; rm\}$, y el $\backslash \; Delta\_2^\; \{\backslash \; rm\; P\}\; =\; \{\backslash \; rm\; P^\; \{NP\}\}$ es la clase de problemas solubles en tiempo polinómico con un oráculo para un cierto problema en NP.

2. Para la definición existencial/universal de la jerarquía polinómica, dejar $L$ ser una lengua (es decir un problema de decisión, un subconjunto {de 0.1} ^*), dejar $p$ ser un polinómico, y definirlo $del$

   l \ exists^p L: = \ se fue \ {x \ en \ {0.1 \} ^* \ \ se fueron| \ \ se fue (\ existe w \ en \ {0.1 \} ^ {\ leq p (|x|)} \) derecho \ langle x, w \ rangle \ en L \ derecho. \ derecho \},

   donde está una cierta codificación el $\backslash \; el\; langle\; x,\; w\; \backslash \; rangle\; \backslash \; en\; \backslash \; \{0.1\; \backslash \}\; ^*$ estándar de los pares del x de las secuencias del binario y del w como sola secuencia binaria. El L representa un sistema de pares pedidos de secuencias, donde está un miembro el x de la primera secuencia del $\backslash \; del\; exists^p\; L$, y el segundo w de la secuencia es un " short" ($|w|\; \backslash \; leq\; p\; (|x|)\; testigo\; de$) que atestigua que el x es un miembro del $\backslash \; del\; exists^p\; L$. Es decir $x\; \backslash \; en\; \backslash \; exists^p\; L$ si y solamente si existe un corto w del testigo tales que $\backslash \; el\; langle\; x,\; w\; \backslash \; rangle\; \backslash \; en\; L$. Semejantemente, definir $del$

   l \ forall^p L: = \ se fue \ {x \ en \ {0.1 \} ^* \ \ se fueron| \ \ se fue (\ forall w \ en \ {0.1 \} ^ {\ leq p (|x|)} \) derecho \ langle x, w \ rangle \ en L \ derecho. \ derecho \} Observar que las leyes de los deMorgan se sostienen: $\backslash \; (\backslash \; exists^p\; L\; \backslash \; derecho)\; =\; dejado\; \backslash \; forall^p\; L^\; \{\backslash \; rm\; c\}$ del ^ {\ rm c} y $\backslash \; (\backslash \; forall^p\; L\; \backslash \; derecho)\; =\; dejado\; \backslash \; exists^p\; L^\; \{\backslash \; rm\; c\}$ del ^ {\ rm c}, donde está el complemento el L ^c del L .

   Dejar el $\backslash \; \{C\}$ mathcal sea una clase de idiomas. Extender a estos operadores al trabajo sobre clases enteras de idiomas por la definición $\backslash \; exists^\; \{\backslash \; rm\; P\}\; \backslash \; mathcal\; del$

   l {C}: = \ dejado \ {\ exists^p L \ | \ p \ mbox {es un polinomio y} L \ en \ mathcal {C} \ derecho \} $\backslash \; forall^\; \{\backslash \; rm\; P\}\; \backslash \; mathcal\; del$
   de {C}: = \ dejado \ {\ forall^p L \ | \ p \ mbox {es un polinomio y} L \ en \ mathcal {C} \ derecho \}

   Una vez más asimiento de las leyes de los deMorgan: $\{\backslash \; rm\; co\}\; \backslash \; exists^\; \{\backslash \; rm\; P\}\; \backslash \; mathcal\; \{C\}\; =\; \backslash \; forall^\; \{\backslash \; rm\; P\}\; \{\backslash \; rm\; co\}\; \backslash \; mathcal\; \{C\}$ y $\{\backslash \}\; \backslash \; forall^\; \{\backslash \; rm\; P\}\; \backslash \; \{C\}\; =\; mathcal\; \backslash \; exists^\; \{\backslash \; rm\; P\}\; \{\backslash \; rm\; co\}\; \backslash \; \{C\}$ mathcal del co del rm, donde el $\{\backslash \; rm\; co\}\; \backslash \; mathcal\; \{C\}\; =\; \backslash \; se\; fueron\; \backslash \; \{L^c\; |\; L\; \backslash \; en\; \backslash \; mathcal\; \{C\}\; \backslash \; derecho\; \backslash \}$.

   El NP de las clases y el Co-NP se pueden definir como = \ exists^ del $\{\backslash \; rm\; NP\}\; \{\backslash \; rm\; P\}\; \{\backslash \; rm\; P\}$, y = \ forall^ del $\{\backslash \; coNP\; del\; rm\}\; \{\backslash \; rm\; P\}\; \{\backslash \; rm\; P\}$, donde está la clase el P de todos factible (polinómico-tiempo) las idiomas decidibles. La jerarquía polinómica puede ser define recurrentemente como $\backslash \; Sigma\_0^\; del$

   l {\ rm P}: = \ Pi_0^ {\ rm P}: = {\ rm P} $del$
   de \ ^ de Sigma_ {k+1} {\ rm P}: = \ exists^ {\ rm P} \ $del$
   de Pi_k^ {\ rm P} \ ^ de Pi_ {k+1} {\ rm P}: = \ forall^ {\} \ Sigma_k^ {\ rm P} del rm P

   Observar ese = \ Sigma_1^ {\ rm P} del $\{\backslash \; rm\; NP\},\; y\; =\; \backslash \; Pi\_1^\; \{\backslash \; rm\; P\}$ del $\{\backslash \; coNP\; del\; rm\}.$

   Esta definición refleja la conexión cercana entre la jerarquía polinómica y la jerarquía aritmética, donde la DEC del y el CE del desempeñan los papeles análogos al P y al NP, respectivamente. La jerarquía analítica también se define de una manera similar de dar una jerarquía de los subconjuntos de los números verdaderos.

3. Una definición equivalente en términos de que alterna las máquinas de Turing define el $\backslash \; Sigma\_k^\; \{\backslash \; rm\; P\}$ (respectivamente, $\backslash \; Pi\_k^\; \{\backslash \; rm\; P\}$) mientras que el sistema de problemas de decisión solubles en tiempo polinómico en una máquina de alternancia de Turing con las alternaciones de $k$ que comienzan en (respectivamente, universal) un estado existencial.

Relaciones entre las clases en la jerarquía polinómica

Las definiciones implican las relaciones:

$\backslash \; Sigma\_i^\; \{\backslash \; rm\; P\}\; \backslash \; subseteq\; \backslash \; Delta\_\; \{i+1\}\; ^\; \{\backslash \; rm\; P\}\; \backslash \; subseteq\; \backslash \; Sigma\_\; \{i+1\}\; ^\; \{\backslash \; rm\; P\}$
$\backslash \; Pi\_i^\; \{\backslash \; rm\; P\}\; \backslash \; subseteq\; \backslash \; Delta\_\; \{i+1\}\; ^\; \{\backslash \}\; \backslash \; subseteq\; del\; rm\; P\; \backslash $ \backslash \; Sigma\_i^\; ^\; de\; Pi\_\; \{i+1\}\; \{\backslash \; rm\; P\}$\{\backslash \; rm\; P\}\; =\; \{\backslash \; rm\; co\}\; \backslash \; ^\; de\; Pi\_\; \{i\}\; \{\backslash \; rm\; P\}$

Desemejante de las jerarquías aritméticas y analíticas, cuyas inclusiones se saben para ser apropiadas, es un no se sabe si ninguno de estos inclusiones son apropiadas, aunque se cree extensamente que todas son. Eventualmente el $\backslash \; Sigma\_k^\; \{\backslash \; rm\; P\}\; =\; \backslash \; el\; ^\; de\; Sigma\_\; \{k+1\}\; \{\backslash \; rm\; P\}$, o eventualmente $\backslash \; Sigma\_k^\; \{\backslash \; rm\; P\}\; =\; \backslash \; el\; ^\; de\; Pi\_\; \{k\}\; \{\backslash \; rm\; P\}$, entonces el de la jerarquía se derrumba al nivel k : para todo el $i\; >\; k$, $\backslash \; =\; \backslash \; Sigma\_k^\; \{\backslash \; rm\; P\}$ de Sigma_i^ {\ rm P}. Particularmente, si entonces se derrumba P = NP, la jerarquía totalmente.

La unión de todas las clases en la jerarquía polinómica es el pH de la clase de la complejidad.

La jerarquía polinómica es un análogo (en una complejidad mucho más baja) de la jerarquía exponencial y de la jerarquía aritmética .

Se sabe que el pH está contenido dentro PSPACE, pero no se sabe si las dos clases son iguales. Una reformulación útil de este problema es esa pH = PSPACE si y solamente si la lógica Second-order no gana ninguna energía adicional de la adición de un operador transitivo del encierro .

Si la jerarquía polinómica tiene cualesquiera problemas completos entonces tiene solamente finito muchos niveles distintos. Puesto que hay problemas PSPACE-completos, sabemos eso si PSPACE = pH, después la jerarquía polinómica debe derrumbarse, puesto que un problema PSPACE-completo sería problema un $\backslash \; de\; un\; ^\; de\; Sigma\_\; \{k\}\; \{\backslash \; rm\; P\}$-complete para un cierto k .

Cada clase en la jerarquía polinómica contiene los problemas del ^ del $\backslash \; del\; leq\_\; \{\backslash \; rm\; m\}\; \{\backslash \; rm\; P\}$-complete (polinómico-tiempo inferior completo de los problemas muchas-uno reducciones). Además, cada clase en la jerarquía polinómica es cerrado bajo ^ del $\backslash \; del\; leq\_\; \{\backslash \; rm\; m\}\; \{\backslash \; rm\; P\}$-reductions : significando eso para un $de\; la\; clase\; \backslash \; \{C\}\; un$ mathcal en la jerarquía y un $L\; de\; lalengua\backslash \; en\; \backslash \; \{C\}$ mathcal, si ^ del $A\; \backslash \; del\; leq\_\; \{\backslash \; rm\; m\}\; \{\backslash \; rm\; P\}\; L$, entonces $A\; \backslash \; en\; \backslash \; \{C\}$ mathcal también. Estos dos hechos juntos implican eso si $K\_i$ es un problema completo para el $\backslash \; el\; ^\; de\; Sigma\_\; \{i\}\; \{\backslash \; rm\; P\}$, entonces $\backslash \; =\; \backslash \; a\; la\; izquierda\; del\; ^\; de\; Sigma\_\; \{i+1\}\; \{\backslash \; rm\; P\}\; (\backslash \; ^\; de\; Sigma\_\; \{i\}\; \{\backslash \; rm\; P\}\; \backslash \; derecho)\; ^\; \{K\_i\}$, y $\backslash \; =\; \backslash \; a\; la\; izquierda\; del\; ^\; de\; Pi\_\; \{i+1\}\; \{\backslash \; rm\; P\}\; (\backslash \; ^\; de\; Pi\_\; \{i\}\; \{\backslash \; rm\; P\}\; \backslash \; derecho)\; ^\; \{K\_i^\; \{\backslash \; rm\; c\}\}$. Por ejemplo, $\backslash \; ^\; de\; Sigma\_\; \{2\}\; \{\backslash \; rm\; P\}\; =\; \{\backslash \; rm\; NP\}\; ^\; \{\backslash \; rm\; SAT\}$. Es decir si se define una lengua basó en un cierto oráculo en $\backslash \; \{C\}$ mathcal, después nosotros puede asumir que está definido basó en un problema completo para el $\backslash \; \{C\}$ mathcal. Los problemas completos por lo tanto actúan como " representatives" de la clase para la cual son completos.

Problemas en la jerarquía polinómica

• Un ejemplo de un problema natural en el $\backslash \; Sigma\_2^P$ es la minimización del circuito del : dado un k del número y un A del circuito que computa un el boleano f de la función de, determina si hay un circuito con a lo más las puertas del k que computa el mismo f de la función. Dejar el $\backslash \; \{C\}$ mathcal sea el sistema de todos los circuitos boleanos. La lengua = \ se fue \ {\ langle A, k, B, x \ rangle del $del\; del$

  L \ en \ mathcal {C} \ las épocas \ mathbb {N} \ épocas \ mathcal {C} \ épocas \ {0.1 \} el ^* \ se fue| B \ mbox {tiene a lo más} k \ mbox {puertas, y} A (x)=B (x) \ derecho. \ derecho \}

  es decidible en tiempo polinómico. La lengua el $del\; del$

  cm = \ se fue \ {\ langle A, k \ rangle \ en \ mathcal {C} \ las épocas \ mathbb {N} \ se fue| \ comenzar {la matriz} \ mbox {existe un circuito} B \ mbox {con a lo más} de k \ del mbox {puertas} \ \ \ mbox {tal que} A \ mbox {y} B \ mbox {computar la misma función} \ extremo {matriz} \ derecho. \ derecho \}

  es la lengua de la minimización del circuito. $cm\; \backslash \; en\; \backslash \; Sigma\_2^P\; (=\; \backslash \; exists^\; \{\backslash \}\; \backslash \; forall^\; del\; rm\; P\; \{\backslash \; rm\; P\}\; \{\backslash \; rm\; P\})$ porque $L$ es decidible en tiempo polinómico y porque, dado el $\backslash \; el\; langle\; A,\; k\; \backslash \; el\; rangle$, el $\backslash \; el\; langle\; A,\; k\; \backslash \; el\; rangle\; \backslash \; en\; CM$ si y solamente si existe el allí un circuito $B$ tales que el para todo el entra $x$, $\backslash \; langle\; A,\; k,\; B,\; x\; \backslash \; rangle\; \backslash \; en\; L$.

• Un problema completo para el $\backslash \; Sigma\_k^\; \{\backslash \; rm\; P\}$ es satisfiability del para las fórmulas boleanas cuantificadas con alternaciones del k de los cuantificadores ( abreviado QBF_k o QSAT_k ). Ésta es la versión del problema boleano del satisfiability para el $\backslash \; Sigma\_k^\; \{\backslash \; rm\; P\}$. En este problema, nos dan un boleano f de la fórmula con las variables repartidas en el X₁ de los sistemas del k ,…, el X_k . Tenemos que determinar si es verdad que el $del\; \backslash \; existe\; X\_1\; \backslash \; el\; forall\; X\_2\; \backslash \; existe\; X\_3\; \backslash \; los\; ldots\; f$ ¿Es decir, hay una asignación de valores a las variables en el X₁ tales que, para que todas las asignaciones de valores en el X₂, existe una asignación de valores a las variables en el X₃ ,… f es verdad?

  El antedicho variable es completo para el $\backslash \; Sigma\_k^\; \{\backslash \; rm\; P\}$. La variante en la cual el primer cuantificador es " para el all", el segundo es " exists", el etc., es completo para el $\backslash \; Pi\_k^\; \{\backslash \; rm\; P\}$.

Ver también

EXPTIME

.

Zenithic

Sunshine (TUGS episode)

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