El juego a la derecha tiene dos jugadores: 1 y 2. Los números por cada nodo no terminal indican a qué jugador que pertenece el nodo de la decisión. Los números por cada nodo terminal representan las rentabilidades a los jugadores (e.1 representa una rentabilidad de 2 al jugador 1 y una rentabilidad de 1 al jugador 2). Las etiquetas por cada borde del gráfico son el nombre de la acción que ese borde representa.

El nodo inicial pertenece al jugador 1, indicando el que el jugador mueva primero. El juego según el árbol es como sigue: el jugador 1 elige entre el U y el D ; el jugador 2 observa la opción del jugador 1 y después elige entre el U y el D . Las rentabilidades están según lo especificado en el árbol. Hay cuatro resultados representados por los cuatro nodos terminales del árbol: (U, U'), (U, D'), (D, U') y (D, D'). Las rentabilidades se asociaron a cada resultado respectivamente están como sigue (0.

Si el jugador 1 juega el D, el jugador 2 jugará el U para maximizar su rentabilidad y así que el jugador 1 recibirá solamente 1. Sin embargo, si el jugador 1 juega el U, el jugador 2 maximiza su rentabilidad jugando el D y el jugador 1 recibe 2. que el jugador 1 prefiere 2 a 1 y así que que jugará el U y el jugador 2 jugará el D . Éste es el equilibrio perfecto de Subgame.

Espacio de acción infinito

Puede ser que un jugador tenga un número infinito de acciones posibles a elegir en de un nodo particular de la decisión. El dispositivo usado para representar esto es un arco que ensambla dos bordes que resaltan del nodo de la decisión en la pregunta. Si el espacio de acción es una serie continua entre dos números, los números de delimitación más bajos y superiores se ponen en la parte inferior y la tapa del arco respectivamente, generalmente con una variable que se utilice para expresar las rentabilidades. El número infinito de nodos de la decisión que podrían resultar es representado por un solo nodo puesto en el centro del arco. Un dispositivo similar se utiliza para representar los espacios de acción que, mientras que son no infinitos, son bastante grandes probar impráctico representar con un borde para cada acción.

El árbol a la izquierda representa tal juego, con los espacios de acción infinitos (cualquie número verdadero entre 0 y 5000) o con los espacios de acción muy grandes (quizás cualquier número entero entre 0 y 5000). Esto sería especificada a otra parte. Aquí, será supuesto que es este 3ultimo y, para el concreteness, será supuesto él representa dos firmas dedicadas a la competición de Stackelberg. Las rentabilidades a las firmas se representan a la izquierda, con q1 y q2 como la estrategia que adoptan y c1 y c2 como algunos constantes (aquí costes marginales a cada empresa). Los equilibrios de Nash de este juego pueden ser encontrados tomando el derivado parcial primero de cada función de rentabilidad con respecto al seguidor (estrategia de la firma 2) variable (q2) y que encuentra su mejor función de la respuesta, $q2\; (q1)\; =\; (5000-q1-c2)\; /2$. El mismo proceso se puede hacer para el líder salvo que en el cálculo de su beneficio, sabe que la firma 2 jugará la respuesta antedicha y así que esto se puede substituir en su problema de la maximización. Puede entonces solucionar para q1 tomando el primer derivado, rindiendo $q1*=\; (5000+c2-2c1)\; /2$. Alimentando esto en la mejor función de respuesta de la firma 2, $q2*=\; (5000+2c1-3c2)\; /4$ y (q1*, q2*) es el equilibrio de Nash. Por ejemplo, si es c1=c2=1000, el equilibrio de Nash (2000, 1000).

Información imperfecta

Una ventaja de representar el juego de esta manera es que está claro cuáles la pedido del juego es. El árbol demuestra claramente que el jugador 1 se mueve primero y el jugador 2 observa este movimiento. Sin embargo, en algunos juegos el juego no ocurre como esto. Un jugador no observa siempre la opción de otro (por ejemplo, los movimientos pueden ser simultáneos o un movimiento se puede ocultar). Un sistema de información del es un sistema de nodos de la decisión tales que: Cada nodo en el sistema pertenece a un jugador.

En forma extensa, un sistema de información es indicado por una línea de puntos que conecta todos los nodos en eso fijó o por un lazo dibujado alrededor de todos los nodos en eso fijar a veces.

Si un juego tiene un sistema de información con más de un miembro que el juego está dicho para tener información imperfecta del . Un juego con la información perfecta es tal que en cualquier etapa del juego, cada jugador sabe exactamente qué ha ocurrido anterior en el juego, es decir cada sistema de información es un sistema del singleton . Cualquier juego sin la información perfecta tiene información imperfecta.

El juego a la izquierda es igual que el juego antedicho salvo que el jugador 2 no sabe qué jugador 1 hace cuando él viene jugar. El primer juego descrito tiene información perfecta; el juego a la izquierda no hace. Si ambos jugadores son racionales y ambos saben que ambos jugadores son racionales y todo que es sabida por cualquier jugador está sabido para ser sabido por cada jugador (es decir el jugador 1 sabe que el jugador 2 sabe que el jugador 1 es racional y el jugador 2 sabe esto, el ad infinitum del etc.), el juego en el primer juego será como sigue: el jugador 1 sabe que si él juega el U, el jugador 2 jugará el D (porque para el jugador 2 una rentabilidad de 1 es preferible a una rentabilidad de 0) y así que el jugador 1 recibirá 2. Sin embargo, si el jugador 1 juega el D, el jugador 2 jugará el U (porque al jugador 2 una rentabilidad de 2 es mejor que será una rentabilidad de 1) y el jugador 1 recibirá 1. por lo tanto, en el primer juego, el equilibrio (el U, D ) porque el jugador 1 prefiere recibir 2 a 1 y así que jugará el U y así que el jugador 2 jugará el D .

En el segundo juego está menos claro: el jugador 2 no puede observar movimiento del jugador 1. El jugador 1 quisiera engañar al jugador 2 en que piensa él ha jugado el U cuando él ha jugado realmente el D de modo que el jugador 2 juegue el D y el jugador 1 reciba 3. de hecho en el segundo juego allí sea un equilibrio Bayesian perfecto donde el D de los juegos del jugador 1 y el jugador 2 juega el U y el jugador 2 celebra la creencia que el jugador jugará definitivamente el D . En este equilibrio, cada estrategia es racional dada la creencia llevada a cabo y cada creencia es constante con las estrategias jugadas. Aviso cómo la imperfección de la información cambia el resultado del juego.

En juegos con los espacios de acción infinitos y la información imperfecta, los sistemas de información del no-singleton son representados en caso de necesidad, insertando una línea de puntos que conecta las puntos finales (no-nodales) detrás del arco descrito sobre o estrallando el arco sí mismo. En el juego de Stackelberg descrito arriba, si el segundo jugador no hubiera observado el movimiento del primer jugador el juego cabría no más el modelo de Stackelberg; sería la competición de Cournot.

Información incompleta

Puede ser el caso que un jugador no sabe exactamente cuáles son las rentabilidades del juego o de qué tipo sus opositores del de ser. Esta clase de juego tiene información incompleta del . Es representada en forma extensa introduciendo la noción de la opción de la naturaleza o de la opción de dios del . Considerar un juego que consiste en un patrón que considera si contratar a un aspirante de trabajo. La capacidad del aspirante de trabajo pudo ser una de dos cosas: alto o bajo. Su nivel de la capacidad es al azar; él es capacidad baja con la probabilidad 1/3 y alta capacidad con la probabilidad 2/3. en este caso, es conveniente modelar la naturaleza como otro jugador de clases que elija la capacidad del aspirante según esas probabilidades. La naturaleza sin embargo no tiene ninguna rentabilidades. La opción de la naturaleza es representada en el árbol de juego por un nodo no-llenado. Los bordes que vienen del nodo bien escogido de una naturaleza se etiquetan con la probabilidad del acontecimiento que representa la ocurrencia. Esta representación es el resultado de la transformación de Harsanyi del .

El juego a la izquierda tiene información incompleta. El nodo inicial está en el centro y no se llena, así que la naturaleza se mueve primero. La naturaleza selecciona con la misma probabilidad el tipo de jugador 1 (que en este juego sea equivalente a seleccionar las rentabilidades en el subgame jugado), T1 o t2. El jugador 1 tiene sistemas de información distintos para éstos, es decir el jugador 1 sabe qué tipo él es (esta necesidad ser el caso). Sin embargo, el jugador 2 no observa la opción de la naturaleza. Él no sabe el tipo del jugador 1; sin embargo, en este juego él observa acciones del jugador 1, es decir hay información perfecta. De hecho, es apropiado ahora alterar la definición antedicha de la información perfecta: en cada etapa en el juego, cada jugador sabe cuál ha sido jugado por los otros jugadores . En el caso de la información completa, cada jugador sabe qué ha sido jugada por la naturaleza. Los sistemas de información son representados como antes por las líneas quebradas.

En este juego, si la naturaleza selecciona el T1 como tipo del jugador 1, el juego jugado será como el primer juego descrito, salvo que el jugador 2 no sabe lo (y el mismo hecho de que esto corte a través sus sistemas de información descalificarlo del estado de Subgame ). Hay un que separa el equilibrio Bayesian perfecto, es decir un equilibrio de en el cual diversos tipos hagan diversas cosas.

Si ambos tipos juegan la misma acción (reunión), un equilibrio no puede ser sostenido. Si ambo el D, jugador 2 del juego puede formar solamente la creencia que él está en cualquier nodo en el sistema de información con la probabilidad el 1/2 (porque ésta es la ocasión de ver cualquier tipo). El jugador 2 maximiza su rentabilidad jugando el D . Sin embargo, si él juega el D, tipo - 2 preferirían jugar el U . Esto no puede ser un equilibrio. Si ambos tipos juegan el U, el jugador 2 forma otra vez la creencia que él está en cualquier nodo con la probabilidad el 1/2. En este caso el jugador 2 juega el D, pero por otra parte el tipo 1 prefiere jugar el D .

Si U de los juegos del tipo 1 y tipo - el D, jugador 2 de 2 juegos jugará el D cualquier acción él observa, pero por otra parte el tipo 1 prefiere el D . El único equilibrio por lo tanto está con el tipo 1 que juega el D, tipo - 2 que juega U y que juega U del jugador 2 si él observa el D y selección al azar si él observa el U . Con sus acciones, el jugador 1 tiene señalado su tipo al jugador 2.

Formulación axiomática

Formalmente, un juego finito en forma extensa es una estructura de a donde:
el es un árbol finito con un sistema del $V$ de los nodos, de un nodo inicial único $v^0\; \backslash \; en\; V$, de un sistema del $T\; \backslash \; del\; subconjunto\; V$ de los nodos terminales (dejar el $D\; =\; V\; \backslash \; el\; setminus\; T$ sea un sistema de nodos de la decisión) y de un $inmediato\; p\; de\; la\; función\; del\; precursor:\; V\; \backslash \; rightarrow\; D$ en las cuales las reglas del juego se representan,
el $\backslash \; el\; mathbf\; \{H\}$ es una partición de $D$ llamado una partición de la información,
$A\; (H)$ es un sistema de acciones disponibles para cada $H\; \backslash \; en\; \backslash \; mathbf\; \{H\}$ del sistema de información que forme una partición en el sistema de todo el $de\; las\; acciones\; \backslash \; \{A\}$ mathcal.
$a:\; V\; \backslash \; setminus\; \backslash \; \{v^0\; \backslash \}\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; \{A\}$ mathcal es una partición de la acción que corresponde cada borde $v$ a un solo $a\; de\; la\; acción\; (v)$, satisfaciendo: