En la teoría de la categoría, una rama de las matemáticas, la noción abstracta de un límite captura las características esenciales de las construcciones universales que se utilizan en varias partes de matemáticas, como los productos y los límites inversos Por consiguiente, la noción dual de un colimit, generaliza el desune las uniones y los límites y los colimits de las sumas directas tienen relaciones fuertes a los conceptos categorial de los morphisms universales y de los functors de Adjoint.
Definición
Antes de definir límites, es útil definir la noción auxiliar de un cono del de un functor . Considerar el J de dos categorías y el C y un F de Functor : C DEL → DEL J . Un cono F es un N del objeto del C, junto con una familia de morphisms X del ψ: F ( X ), uno del → del N para cada X del objeto del J, tal que para cada f del morphism: El Y del → del X en el J, tenemos X del ψ del F ( f ) o = el Y del ψ.Un límite de un functor es apenas un cono universal del . Detalladamente, un cono ( L, X
del φ) de un F del functor: El C del → del J es un límite de ese del functor si y solamente si existe para cualquier cono ( N, X del ψ) del F, allí exacto un u del morphism de : L del → del N tales que u del X o del φ = X del ψ para todo el X . Podemos decir que el factor del X del ψ de los morphisms a través del L con el único u de la facturización. el u se llama el morphism de la mediación del . style=" del
En cuanto a cada característica universal, esta definición describe un estado equilibrado de la generalidad: El L del objeto del límite tiene que ser bastante general permitir que cualquier otro cono descomponga en factores a través de él; por una parte, el L tiene que ser suficientemente específico, de modo que solamente el uno tal facturización de sea posible para cada cono.
Es posible que un functor no tiene un límite en absoluto. Sin embargo, si un functor tiene dos límites entonces allí existe un isomorfismo único del entre el respectivo limitar los objetos que conmuta con los mapas respectivos del cono; este isomorfismo es dado por la facturización única a partir de un límite al otro. Así los límites son único hasta isomorfismo de y se pueden denotar por el F del lim.
Ejemplos
La definición de límites es bastante general incluir varias construcciones útiles en ajustes prácticos. En el siguiente consideraremos el límite ( L, X del φ) de un F del functor: C DEL → DEL J .el terminal del se opone el de . Si el de J es la categoría vacía, después las definiciones antedichas implican que cada objeto del de C es un cono del de F. El límite de de F es cualquier objeto que tenga una facturización única a través de cualquier otro objeto. Ésta es apenas la definición de un terminal del objeto de .
de los productos de . Si el de J es una categoría discreta entonces el del functor F no es esencialmente nada sino una familia de objetos del de C, puestos en un índice por el de J. El límite L de de F se llama el del producto de de estos objetos. El caso especial donde el de J consiste en apenas dos objetos (que llamemos el de 1 y de 2) entonces define un binario del producto de . Por ejemplo, asumir que el de C es el ''' determinado del ''' de la categoría y dejar el de J sea la categoría discreta del dos-elemento. El producto binario L entonces apenas será el del × F del del producto de cartesiano F ( de 1) ( de 2) en Set . El 1 del φ de los morphisms y el 2 del φ son las proyecciones a los componentes respectivos de los tuples del L . el
In muchos contextos algebraicos, tales como ( abeliano) agrupa, suena, las álgebra boleanas etc., productos es apenas los productos directos donde están pointwise las operaciones definido. Otro producto bien conocido es la topología del producto en el ''', la categoría de la tapa del ''' de los espacios topológicos y los mapas continuos que si un pidió parcialmente determinado se ve como un C, después productos de la categoría en el C son los límites más bajos más grandes mientras que los conos arbitrarios son apenas bounds.
más bajosde los equalizadores del . Si el de J es una categoría del dos-objeto con dos morphisms paralelos del del objeto 1 para oponerse el de 2 entonces el límite L se llama un del equalizador de .
de los núcleos de . Un del núcleo de es apenas un caso especial de un equalizador donde está un morphism uno de los morphisms cero.
de las retiradas de . Dejar el de F ser un functor que selecciona tres el de los objetos X, el de Y, y el de Z en de C, donde están los únicos morphisms de la no-identidad de f: del → Z del de X y de g: DEL → Z DEL DE Y. El límite L de de F se llama un de la retirada de o un del producto de la fibra de . Puede ser visualizado agradable como cuadrado comutativo :
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Todos los ejemplos antedichos siguen un esquema común para la definición de límites: en ordenar para modelar una construcción del límite, tal como un producto de sistemas, uno utiliza un functor ese " selecciona el " los objetos relevantes (y a veces morphisms) del C de la categoría. Por lo tanto, el J de la categoría es generalmente una pequeña categoría y tiene pocos elementos que el C de la categoría. Si uno considera un finito J de la categoría entonces el antedicho las construcciones pueden también ser especificadas dando los objetos y los morphisms que el functor Mapas del F a. Por ejemplo uno puede hablar de un " equalizador del morphisms" dos; en vez de llamando este límite un " equalizador de un functor que traza los únicos dos morphisms no triviales en el J a cierto values".
Sin embargo, el J bien puede ser una categoría grande, es decir una que tenga una clase apropiada de objetos. Por ejemplo, el producto del todos los sistemas de existe y es apenas el sistema vacío (de hecho, éste es el único cono posible en todas las familias de sistemas que contengan el sistema vacío).
Terminar las categorías
Un C de la categoría se llama el completo si y solamente si cada F del functor: El C del → del J, donde está cualquier pequeña categoría el J, tiene un límite; es decir " todos los pequeños límites en exist" del C ;. Semejantemente, si cada tal functor con el J finito tiene un límite, después el C se dice tener límites finitos .Muchas categorías importantes son completas: el agrupa, módulos de los sistemas de los grupos abelianos sobre un poco de anillo, espacios topológicos y los ejemplos típicos compactos de los espacios de Hausdorff de las categorías que no son completas son categorías con un cierto " restriction" del tamaño;: la categoría de grupos finitos o la categoría de los espacios de vector finito-dimensionales sobre un campo fijo .
El teorema de la existencia del para los límites indica que una categoría es completo si y solamente si tiene los equalizadores y productos sobre sistemas arbitrarios de objetos. Observar que uno no requiere productos de las clases apropiadas de objetos existir. Resulta que la característica del tener todos los límites de (incluso grande) es demasiado fuerte ser prácticamente relevante. Cualquier categoría con esta característica está necesario de una forma muy restricta: para cualquier dos objetos puede haber a lo más un morphism a partir de un objeto al otro.
Si es el J categoría particular del una pequeña y cada functor del J a el C tiene a el límite, entonces la operación del límite forma un functor de la categoría de Functor CJ a C . Por ejemplo, si el J es una categoría discreta y el C es el Ab de la categoría de grupos abelianos, entonces lim: El Ab del → del J del del Ab es el functor que asigna a cada J - familia puesta en un índice de grupos abelianos su producto directo . Más generalmente, si el J es una pequeña categoría que se presenta de un sistema parcialmente pedido, entonces lim: El Ab del → del J del del Ab asigna a cada sistema puesto en un índice del J de grupos abelianos su límite inverso correspondiente . Los ejemplos importantes de functors continuos son dados por el los representables : si el U es un cierto objeto del C, entonces el U La importancia de los functors de Adjoint miente en el hecho ese cada functor que el tiene que un adjoint izquierdo (y por lo tanto el es al adjoint correcto) es continuo. En el Ab de grupos abelianos, éste de la categoría por ejemplo demuestra eso el núcleo de un producto de homomorphisms está naturalmente identificado con el producto de los núcleos. Esto ilustra que puede uno también decir que un continuo del functor conmuta con la formación de límites. Siendo una construcción universal, límites también tener otras relaciones fuertes a functors del adjoint. El lim del functor del límite: C del → del CJ (si existe) tiene como adjoint dejado diagonal CJ del → del C del functor que asigna a cada N del objeto del C el functor constante de quién valor es siempre el N en objetos y el N Aunque sea directo obtener las definiciones de colimits y de co-conos invirtiendo todos los morphisms en las definiciones antedichas, las indicaremos explícitamente aquí: Considerar dos el del y de C de las categorías J y un functor de la covariante de F: DEL → C DEL DE J. Un del co-cono de del de F es un del objeto N del de C, junto con una familia del Un colimit de de un functor es un co-cono universal : un co-cono ( L, X style=" del Functors continuos
Es una pregunta natural a pedir, que los functors son compatibles con construcción de límites en el sentido que trazan límites a los límites. Estos functors se llaman el límite continuo de o del que preserva . Formalmente, un G del functor: El D del → del C es el continuo si y solamente si, para cada pequeño I de la categoría y cada F del functor: C DEL → DEL I eso tiene un límite ( L, X del φ) en el C, el functor GF : El D del → del I tiene el límite ( G ( L ), G ( X del φ)). Puesto que el teorema de la existencia del para los límites mencionados anteriormente demuestra que todos los límites pueden ser subproductos y equalizadores expresados, es suficiente para la continuidad si los cotos de G del estos límites del special. Colimits
La noción dual de límites y los conos son los colimits y de los co-conos del . Una motivación para los colimits ha sido dada por el José Goguen en " Un Manifesto" categórico;: el dado una especie de estructura, dice los aparatos, después el resultado de interconectar un sistema de aparatos para formar un estupendo-aparato corresponde a tomar el colimit del diagrama de los aparatos en los cuales los morphisms demuestran cómo se interconectan.
Si existe, el colimit del F es único hasta un isomorfismo único y es denotado por el F del colim.
Los ejemplos de colimits son dados por las versiones duales de las que está dadas arriba:
la inicial del se opone el de
Coproducts
Coequalizers
Cokernels
Pushouts del
de los límites directos del
El de la categoría C se llama co-complete' si cada F del functor: El C del → del J con el pequeño J tiene un colimit. Semejantemente, una categoría se dice para tener colimits finitos si cada tal functor con el finito J tiene un colimit.
Las categorías siguientes son co-completas: sistemas, grupos, grupos abelianos, módulos sobre alguÌn anillo y espacios topológicos.
Un functor de la covariante que conmuta con la construcción de colimits se dice a ser el colimit cocontinuous de o del que preserva . Cada functor que tiene un adjoint de la derecha (y por lo tanto es un adjoint izquierdo) es cocontinuous.
Como ejemplo en la categoría de los grupos, Grp, el F del functor: El determinado Grp del → del que asigna a cada S del sistema el grupo libre sobre el S tiene un adjoint (el → olvidadizo fijado de la derecha de Grp del functor ) y es por lo tanto cocontinuous. El producto libre de grupos es un ejemplo de una construcción del colimit, y sigue que el producto libre de una familia de grupos libres está libre.
Se relacionan los límites y los colimits como sigue: Si un F del functor: J el C del → tiene un colimit entonces que es determinado por el C ( F del colim, N ) de Hom del de la relación = el C (&ndash de Hom del lim del F ;, N ) donde está cualquier objeto el N del C y del C (&ndash de Hom del F ;, el N ) es el functor del J al determinado dado por la composición de un functor de Hom y del F . Por ejemplo, el functor olvidadizo del Grp al determinado crea los límites, es decir, por ejemplo que el producto de grupos es determinado por sus sistemas que son la base. Esto está de una manera característica de situaciones algebraicas. Hay una noción dual para los colimits. En el caso de grupos el functor olvidadizo ya mencionado crea solamente el los colimits filtrados F del : × I; &rarr de J; determinado hay un isomorfismo natural En palabras, los colimits filtrados en el determinado conmutan con límites finitos, y (dual) los límites cofiltered en el determinado conmutan con los colimits finitos. Creación de límites y de colimits
Límites para un D del diagrama: El X del → del J reputa creado por un F del functor: El Y del → del X si cada cono de límite del FD tiene un cono único de la pre-imagen bajo F en el X, y esta pre-imagen única es además un cono de límite del D . Una definición alternativa, más débil de la creación de límites no requiere un cono de límite del FD tener una pre-imagen, sino apenas requiere la existencia de un cono en el X cuya imagen bajo F es isomorfo al cono de límite dado, y además cualquier cono debe ser un límite del D . Preservación de límites y de colimits
Un F del functor: El del Y del → del X preserva los límites si la imagen bajo F de cada cono universal (puesto en un índice por una pequeña categoría) del X es un cono universal del Y (cf. los functors continuos del de la sección arriba). La noción dual es obtenida substituyendo por todas partes “límite” por el “colimit” y el “cono universal” por el “co-cono universal”. Pues los límites directos son una caja particular de colimits, un subcase importante es preservación del de los límites directos . Un F del functor: El Y del → del X preserva límites directos, si la imagen bajo F de cada co-cono universal del X puesto en un índice por un dirigió el Poset de es un co-cono universal del Y . Intercambio de límites
Teorema : Dejar el I ser una categoría con finito muchos objetos, y el J un pequeño filtró la categoría . Para cualquie Bifunctor Límites débiles
Un límite débil se define como un límite, salvo que la característica de la unicidad del morphism de la mediación se cae. Esto se especializa a las retiradas, débil a los objetos débiles etc.
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