Límite de una secuencia - Enciclopedia España

El límite del de una secuencia es uno de los más viejos conceptos del análisis matemático . Proporciona una definición rigurosa de la idea de una secuencia que converge hacia un punto llamado el límite.

Intuitivo, suponer que tenemos una secuencia del de los puntos (es decir un sistema infinito de los puntos etiquetados usar los números naturales en una cierta clase de objeto matemático (por ejemplo los números verdaderos o de un espacio de vector ) que tenga un concepto de la proximidad (tal como " todos los puntos a una distancia dada de un point" fijo;). Un L del punto es el límite de la secuencia si para cualquier proximidad prescribed, toda pero un número finito de puntos en la secuencia es ése cerca al L . Esto se puede visualizar como sistema de esferas del tamaño que disminuyen a cero, a todo con el mismo L del centro, y para de estas esferas, solamente un número finito de puntos en la secuencia que está fuera de la esfera.

Definición formal

Para una secuencia de

de los puntos \ {x_n|n \ en \ mathbb {} \} \; de N

en un M del espacio métrico con el d de la función de distancia (tal como una secuencia de los números complejos de los números verdaderos de los números racionales señala en un espacio de Normed, etc.):

l si $L \ en M \;$ que decimos que el L es el límite de la secuencia y que escribimos = \ x_n del $del l del L del lim_ {n \ \ infty} \ Longleftrightarrow \ forall \ epsilon>0 del l del \;, \ existe N \ en \ mathbb {N}: n>N \ rightarrow d (x_n, L)< \ épsilon. \;$

l es decir: si y solamente si para cada $\ epsilon>0 del número verdadero \;$ , allí existe un N del número natural tales que para cada $n>N \;$ , tenemos $d (x_n, L)< \ épsilon. \;$

como generalización de esto, para una secuencia de $de los puntos \ {x_n|n \ en \ mathbb {} \} \; de N$ en un T del espacio topológico :

l si $L \ en T \;$ que decimos que el L es al límite de esta secuencia y que escribimos $(L) \; \ existe N \ en \ mathbb {N}: \ forall n > N \; x_n \ en U (L)$

l es decir: si y solamente si para cada S de la vecindad L hay un N del número natural tales que $x_n \ en S \;$ para todo el $n>N. \;$

Si una secuencia tiene un límite, decimos que la secuencia es el convergente, y que el de la secuencia converge al límite. Si no, la secuencia es el divergente (véase también la oscilación ).

Una secuencia de la falta de información del es una secuencia que converge a 0.

Comentarios

La definición significa que todos los elementos de la secuencia consiguen eventual tan cerca como queremos al límite. (La condición que los elementos se convierten cerca de todos los elementos de siguiente hacen arbitrariamente el no, implica generalmente la secuencia tiene un límite. Ver la secuencia de Cauchy ).

Una secuencia de números verdaderos puede tender a $+ \ a infty$ o el $- \ infty$ , compara. Aunque esto se puede escribir en la forma = \ infty del x_n del $\ del lim_ del l {n \ \ infty} y x_n del \ del lim_ {n \ \ infty} = - \ infty$

tal secuencia se llama divergente, a menos que explícitamente la consideremos una secuencia en el sistema de numeración verdadera extendido Affinely o (en el primer caso solamente) la línea descriptiva verdadera . En las cajas de estes 3ultimo la secuencia tiene un límite (en el espacio sí mismo), así que se podría llamar convergente, pero cuando usa este término aquí, el cuidado debe ser tomado que éste no causa la confusión.

También, una secuencia puede, en un espacio topológico general, tener varios diversos límites, pero una secuencia convergente tiene un límite único si el T es un espacio de Hausdorff, por ejemplo la línea verdadera (extendida), el plano complejo, sus subconjuntos ( R, Q, Z del …) y productos cartesianos ( R ⁿ…).

El límite de una secuencia de $de los puntos \ {x_n|n \ en \ mathbb {} \} \; de N$ en un T del espacio topológico es un caso especial del: dominio es $\ mathbb {N}$ en espacio $\ mathbb {} \ taza \ lbrace de N + \ infty \ rbrace$ con la topología inducida del sistema de numeración verdadera extendido Affinely, la gama es el T, y el n de la discusión de la función tiende a +∞, que en este espacio es un punto de límite del $\ del mathbb {N}$ .

Ejemplos

La secuencia 1, -1, 1, -1, 1,… es divergente.
La secuencia el 1/2, el 1/2 + 1/4, el 1/2 + 1/4 + 1/8, el 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16,… converge con el límite 1. Éste es un ejemplo de una serie infinita .
Si el un es un número verdadero con el valor absoluto | un | < 1, entonces el aⁿ de la secuencia tiene límite 0. Si 0 < un &le de ; 1, entonces el de la secuencia un n de ^{1/tiene límite 1. También:
$\ lim_ {n \ \} infty \ frac {1} {n^p} = 0 \ hbox {si} p > 0$

a^n del $\ del lim_ {n \ \ infty} = 0 \ hbox {si} |a| < 1$
n^ del $\ del lim_ {n \ \ infty} {\ frac {1} {n}} = 1$
a^ del $\ del lim_ {n \ \ infty} {\ frac {1} {n}} = 1 \ hbox {si} a>0$

Características
Considerar la función siguiente: f ( x ) = x_n si < del n-1 ; &le del x ; n . Entonces el límite de la secuencia del x_n es apenas el límite f ( x ) en el infinito. Un f de la función, definido en un espacio Primero-contable, es el continuo si y solamente si es compatible con límites en ese (el f ( x_n )) converge al f ( L ) dado que (el x_n ) converge al L, $del del es decir \ lim_ {n \ \ infty} x_n=L$ implica el =f del $\ del lim_ {n \ \ infty} f (x_n) (L)$ Observar que esta equivalencia hace el asimiento del no en general para los espacios que no son primero-contables.
Comparar la característica básica (o la definición): el f del es continuo en el x si y solamente si $\ el lim_ {x \ a L} f (x)=f (L)$
Un Subsequence del de la secuencia ( x_n ) es una secuencia de la forma ( del _{del x un ( n )}) donde está números el un ( n ) naturales con el al ( n ) < un ( n +1) para todo el n . Intuitivo, un subsequence omite algunos elementos de la secuencia original. Una secuencia es convergente si y solamente si todos sus subsequences convergen hacia el mismo límite.
Cada secuencia convergente en un espacio métrico es una secuencia de Cauchy y por lo tanto limitado . Una secuencia monotónica limitada de números verdaderos es necesario convergente: esto a veces se llama el teorema fundamental del análisis. Más generalmente, cada secuencia de Cauchy de números verdaderos tiene un límite, o corto: los números verdaderos son el completo.
Una secuencia de números verdaderos es convergente si y solamente si su superior de límite e inferior de límite coinciden y son ambos finitos.
Las operaciones algebraicas son por todas partes continuas (a excepción de la división alrededor del divisor cero); así, dado el $del \ x_n del lim_ {n \ \ infty} = L_1$ y $\ y_n del lim_ {n \ \ infty} = L_2$
entonces

$\ lim_ {n \ \ infty} (x_n+y_n) = L_1 + L_2$

$\ lim_ {n \ \ infty} (x_ny_n) = L_1L_2$
y (si el L ₂ y el y _n es diferentes a cero)

$\ lim_ {n \ \ infty} (x_n/y_n) = L_1/L_2$
Estas reglas son también válidas para los límites infinitos usar el las reglas q + ∞ = ∞ para el &ne del q ; - ∞
× del q ; ∞ = ∞ si q > 0
× del q ; ∞ = - ∞ si q < 0
q /∞ = 0 si &ne del q ; ± ∞
(véase la línea de número verdadero extendida ).

Historia
El griego Zeno del filósofo de Elea es famoso por formular las paradojas que implican el limitar de los procesos . El Leucippus, el Democritus, la antífona, el Eudoxus y el Archimedes desarrollaron el método de agotamiento, que utiliza una secuencia infinita de aproximaciones para determinar un área o un volumen. Archimedes tuvo éxito en sumar qué ahora se llama una serie geométrica.
El Newton se ocupó de serie en sus trabajos sobre análisis del con la serie infinita (escrito en 1669, circulado en el manuscrito, publicado en 1711), el método del de los flujos y de la serie infinita (escrito en 1671, publicado en la traducción inglesa en 1736, la original latina publicada mucho más adelante) y el Tractatus de Quadratura Curvarum (escrito en 1693, publicado en 1704 como apéndice a su Optiks ). En el 3ultimo trabajo, Newton considera la extensión binomial (el x + el o ) del n del ^{que él entonces lineariza por el que toma los límites (que dejan el &rarr del o ; 0).}
En el siglo XVIII, los matemáticos como el Euler tuvieron éxito en sumar una cierta serie divergente del parando en el momento correcto; no hicieron mucho cuidado si existió un límite, mientras podría ser calculado. En el final del siglo, el Lagrange en sus analytiques (1797) de los fonctions del DES de Théorie del opinó que la carencia del rigor imposibilitó el desarrollo adicional en cálculo. El gauss en su etude de la serie hipergeométrica (1813) riguroso investigó por primera vez bajo qué condiciones a las series convergieron a un límite.
La definición moderna de un límite (para cualquie ε existe un N del índice de modo que…) fue dado independiente por el Bernhard Bolzano (binomische Lehrsatz, Prag 1816 de Der del, notado poco en ese entonces) y por el Cauchy en su d'analyse (1821) de Cours del .
Zenithic
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