Límite inverso - Enciclopedia España

En las matemáticas, el límite inverso (también llamado el el límite descriptivo ) es una construcción que permite uno al " together" del pegamento; varios objetos relacionados, la manera exacta del proceso de pegado que es especificado por morphisms entre los objetos. Los límites inversos se pueden definir en cualquier categoría, pero consideraremos inicialmente solamente límites inversos de los grupos .

Definición formal

Objetos algebraicos

Comenzamos con la definición de un sistema inverso del (o el descriptivo) de los grupos y de los homomorphisms . Dejado ( I, ≤) ser un dirigió el Poset de (no todos los autores requieren el I ser dirigidos). Dejar ( i del _{del A ) el &isin del i del _{; El I} sea una familia de grupos y supone que tenemos una familia del ij} del del _{del f de los homomorphisms: &rarr del j} del _{del A ; i} del _{del A para todo el &le del i ; j (observar la orden) con las características siguientes: el ii} del _{del f es la identidad en el i},

del _{del A ik _{del f} = jk} del del _{del f del ij} o del del _{del f para todo el &le del i ; &le del j ; k . Entonces el sistema de los pares (el ij} del del _{del i}, del f del _{del A ) se llama un sistema inverso de grupos y de morphisms sobre el I . Definimos el límite inverso del sistema inverso (el ij del del _{del i}, del f del _{del A ) como subgrupo particular del producto directo i} del _{del A :

$\ varprojlim A_i = \ grande \ {() \ en \ prod_ {i \ adentro I} del a_i A_i \; \ Grande|\; a_i = f_ {) \ mbox {para todos} i \ leq j del ij} (a_j \ grande \}.$ El límite inverso, A, viene equipado de &pi natural de las proyecciones del ; i} del _{: &rarr del A ; i} del _{del A que seleccionan el componente del th del i del producto directo. El límite inverso y las proyecciones naturales satisfacen una característica universal descrita en la sección siguiente.}
Esta misma construcción se puede realizar si el i del _{del A es los anillos de los sistemas, los módulos (sobre un anillo fijo), las álgebra (sobre un campo fijo), etc., y el Homomorphisms es homomorphisms en la categoría correspondiente . El límite inverso también pertenecerá a esa categoría.}

Definición general
El límite inverso se puede definir abstracto en una categoría arbitraria por medio de una característica universal . Dejado (ij del del _{del i}, del f del _{del X ) ser un sistema inverso de los objetos y Morphisms en un C (la misma definición de la categoría que arriba). El límite inverso de este sistema es un X del objeto en el C junto con &pi de los morphisms; i} del _{: &rarr del X ; &pi satisfying del i} del _{del X (llamado proyecciones del ); i del = &pi del ij} o del del _{del f ; j} del _{. Los pares ( X, π el i} del _{) debe ser universal en el sentido que para cuaesquiera otros tales pares ( Y, ψ el i} del _{) allí existe un único u del morphism: &rarr del Y ; X que hace todo el " obvious" identidades verdades; es decir, el diagrama}
style=" del}

el de la necesidad conmuta para todo el i, j . El límite inverso es a menudo = denotado \ varprojlim X_i del $X del con el sistema inverso (ij del del$ _{del i}, del f del _{del X ) siendo entendido.}

Desemejante para de objetos algebraicos, el límite inverso no pudo existir en una categoría arbitraria. Si hace, sin embargo, es único en un sentido fuerte: dado cualquie otro &prime del X del límite inverso; existe un &prime único del X del isomorfismo ; → El X que conmuta con la proyección traza.

Observamos que un sistema inverso en un C de la categoría admite que una descripción alternativa en términos de Functors cualquier determinado parcialmente pedido I se puede considerar como pequeña categoría donde los morphisms consisten en el &rarr del i de las flechas; &le del i del Iff j ; j . Un sistema inverso es entonces apenas un &rarr del I del functor de Contravariant; C .

Ejemplos

el anillo '' p '' - los números enteros adic son el límite inverso del Z de los anillos/del Z del n del ^{del p (véase la aritmética modular ) con el sistema de índice que es los números naturales con la orden generalmente, y los morphisms que son " tomar el remainder". La topología natural en el p - los números enteros adic son iguales que el que está descrito aquí.
los grupos Favorable-finitos se definen como límites inversos de grupos finitos (discretos).
Dejar el I del sistema de índice de un sistema inverso (el ij del del _{del i}, del f del _{del X ) tienen un m del elemento más grande . Entonces el &pi natural de la proyección; m} del _{: &rarr del X ; El m} del _{del X es un isomorfismo.
Los límites inversos en la categoría de los espacios topológicos son dados poniendo la topología de la inicial en el límite inverso fijar-teórico subyacente. Esto se conoce como la topología del límite del .
Dejado ( I, =) ser la orden trivial (no dirigida). El límite inverso de cualquier sistema inverso correspondiente es apenas el producto .
Dejar el I consistir en el i de tres elementos, el j, y el k con el &le del i ; &le del j y del i ; k (no dirigido). El límite inverso de cualquier sistema inverso correspondiente es la retirada .}}

Conceptos y generalizaciones relacionados

El dual categórico de un límite inverso es un límite directo (o límite inductivo). Conceptos más generales son los límites y los colimits de la teoría de la categoría. La terminología es algo confusa: los límites inversos son límites, mientras que los límites directos son colimits.

Zenithic

Sensory root of ciliary ganglion

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