En las matemáticas, el sistema de numeración verdadera affinely extendido del es obtenido del R del sistema del número verdadero agregando dos elementos: +∞ y − ∞ (" pronunciado; " positivo del infinito ; y " infinity" negativo;). Estos nuevos elementos no son los números verdaderos que es útil en la descripción del vario que limita los comportamientos en el cálculo y el análisis matemático, especialmente en la teoría de la medida y de la integración . El sistema de numeración verdadera affinely extendido es style=" R o +∞. El sistema de numeración verdadera affinely extendido debe ser distinguido de los números verdaderos ampliados Projectively teniendo dos infinitos, algo que uno.

Cuando el significado está claro de contexto, el símbolo +∞ se escribe a menudo simplemente como ∞.

Motivación

Límites

Deseamos a menudo describir el comportamiento de un f ( x ) de la función, como o el x de la discusión o el f ( x ) del valor de la función consigue el " mismo big" en un cierto sentido. Por ejemplo, considerar la función $f\; del$

l (x) = \ frac {1} {x^2}.

El gráfico de esta función tiene una asíntota horizontal y = 0. Geométrico, como nos trasladamos más lejos y más lejos a la derecha abajo del x - el eje, el valor del $\backslash \; del\; frac\; \{1\}\; del\; \{x^2\}$ consigue cada vez más cerca de 0. Este comportamiento limitador es similar al límite de una función en un número verdadero, salvo que no hay número verdadero a que el x se está acercando.

Colindando el elemento +∞ a el R, nos permitimos que formulemos una definición de tal " límite en el infinity" cuál es el topológico idéntico a la definición generalmente en un número verdadero.

Medida e integración

En la teoría de medida, es a menudo útil permitir los sistemas que tienen la medida e integrales infinitos cuyo valor puede ser infinito.

Tales medidas se presentan naturalmente fuera de cálculo. Por ejemplo, si debemos asignar una medida a el R que conviene con la longitud generalmente de intervalos, esta medida debe ser más grande que cualquier número verdadero finito. También, cuando en vista de integrales infinitos, por ejemplo

$\backslash \; int\_1^\; \{\backslash \}\; infty\; \backslash \; frac\; \{dx\}\; \{x\}$

el " del valor; infinity" se presenta. Finalmente, deseamos a menudo considerar el límite de una secuencia de funciones, por ejemplo

Sin permitir funciona para adquirir los valores infinitos, resultados esenciales tales como el teorema monótono de la convergencia y el teorema dominado de la convergencia no tendrían sentido.

Orden y características topológicas

Las vueltas affinely extendidas del sistema de numeración verdadera en un pidieron total determinado definiendo − del ≤ del ∞ un ≤ +∞ de para todo el un . Esta orden tiene la característica agradable que cada subconjunto tiene un Supremum y un Infimum : es un enrejado completo . Esto induce la topología de la orden en style=" R . En esta topología, un U del sistema es una vecindad de +∞ si y solamente si contiene un sistema { x : x > un } para un cierto del número verdadero un, y análogo para las vecindades del − ∞. style=" el R es un homeomórfico del espacio de Hausdorff del acuerdo al intervalo de unidad 1. Así la topología es Metrizable que corresponde (para un homeomorfismo dado) al ordinario métrico en este intervalo. No hay métrico que es una extensión del ordinario métrico en el R .

Con esta topología los límites especialmente definidos para el x que tiende a +∞ y - ∞, y el concepto especialmente definido de un límite que es +∞ y - al ∞, reducen a la definición topológica general del límite.

Operaciones aritméticas

Las operaciones aritméticas del R se pueden ampliar parcialmente a style=" R como sigue:
+ ∞ = +∞ +   de = de +∞;   si un −∞ del ≠ de
un ∞ = un −∞ + un del − de =   del −∞;   si un ≠ +∞ de
un del ±∞ del × de = del × del ±∞ =   del ±∞;   si > 0
un del ±∞ del × de = del × del ±∞ =   del ∓∞;   si < 0
un /un ±∞ = 0     si −∞ < < +∞
±∞/ =   del ±∞;   si 0 < < +∞
±∞/ =   del ∓∞;   si −∞ < < 0

Aquí, " + ∞" significa ambo el " + " (+∞); y " un - (− " del ∞);, y " un &minus de ; ∞" significa ambo el " un &minus de ; " (+∞); y " + (− " del ∞);.

El &minus del ∞ de las expresiones; el ∞, 0 ±∞ del × y el ±∞/el ±∞ generalmente se dejan indefinido. Estas reglas se modelan en las leyes para. Sin embargo, en el contexto de la teoría de la probabilidad o de medida, 0 ±∞ del × se definen generalmente como 0.

Observar que 1/0 es el no definido como +∞ o − ∞, porque aunque sea verdad que siempre que el → 0 del f ( x ) para un f ( x ) de la función continua, nosotros deba tener que 1 f ( x ) están eventual en cada vecindad del sistema {− el ∞, +∞}, es el no verdad que 1 f ( x ) deben converger a uno de estos puntos. Un ejemplo es el f ( x ) = 1 (pecado (1 x )).

Características algebraicas

Observar que con estas definiciones, style=" el R es el no al campo y no incluso un anillo . Sin embargo, todavía tiene varias características convenientes:
el + (el b + el c ) y ( + el b ) + el c es igual o ambos indefinidos.
el + el b y el b + un es igual o ambos indefinidos.
el un × de ( c del × del b ) y ( un b del × de ) el c del × son igual o ambos indefinidos.
el un del × del b y del b del × de un es igual o ambos indefinidos
el un × de ( b + el c ) y ( un b del × de ) + ( un c del × de ) es igual si se definen ambos.
si un b del ≤ de y si el + el c y el b + el c se define, entonces + b del ≤ del c + c .
si se define el un b del ≤ de y el c > 0 y un c del × del c y del b del × de, entonces un c del × del b del ≤ del c del × de .

Todas las leyes de la aritmética son generalmente válidas en style=" R mientras se definan todas las expresiones de ocurrencia.

Misceláneo

Varias funciones pueden ser el continuamente extendido al style=" R tomando límites. Por ejemplo, uno define el exp (− ∞) = 0, exp (+∞) = +∞, ln (0) = − ∞, ln (+∞) = +∞ etc.

También, algunas discontinuidades pueden ser quitadas. Por ejemplo, el $x^\; de\; la\; función\; \{-\; 2\}$ se puede hacer continuo (bajo definiciones de some de la continuidad) fijando el valor a +∞ para el x = 0, y 0 para el x = +∞ y el x = - ∞. El $x^\; de\; la\; función\; \{-\; 1\}$ puede el no ser hecho continuo (porque la función se acerca - ∞ como x se acerca a 0 de debajo, y +∞ como x se acerca a 0 de antedicho).

Comparar la línea descriptiva verdadera, que no distingue entre +∞ y el − ∞. Consecuentemente, por un lado una función puede tener ∞ del límite en la línea descriptiva verdadera, mientras que en el sistema de numeración verdadera affinely extendido solamente el valor absoluto de la función tiene un límite, e. en el caso del $x^\; de\; la\; función\; \{-\; 1\}$ en el x = 0. Por una parte $\backslash \; lim\_\; \{x\; \backslash \; a\; -\; \backslash \; infty\}\; \{f\; (x)\}$ y $\backslash \; lim\_\; \{x\; \backslash \; a\; +\; \backslash \; infty\}\; \{f\; (x)\}$ corresponde en la línea descriptiva verdadera solamente a un límite de la derecha y a uno de la izquierda, respectivamente, con el límite completo existiendo solamente cuando los dos son iguales. Así el x del e ^{y arctan (el x ) no se puede hacer continuo en el x = ∞ en la línea descriptiva verdadera.}