"Line" ideal; vuelve a dirigir aquí. Para la línea ideal en competir con, ver el alinear (compitiendo con) . En la geometría y la topología, la línea del en el infinito es una línea a la cual se agrega (afinar) al plano verdadero para dar el encierro, y quita las cajas excepcionales de, las características de la incidencia del plano descriptivo resultante . La línea en el infinito también se llama el la línea ideal .
Formulación geométrica
En geometría descriptiva, cualquier par de líneas se interseca siempre en un cierto punto. Pero las líneas paralelas no se intersecan en el plano verdadero. La línea en el infinito se agrega al plano verdadero. Esto termina el plano, porque ahora las líneas paralelas se intersecan en un punto que mienta en la línea en el infinito. El punto en el cual las líneas paralelas se intersecan depende solamente de la cuesta de las líneas, en su Y-intercepta en absoluto . También, eventualmente los pares de líneas se intersecan en un punto en la línea en el infinito, después el par de líneas es paralelo.
Cada línea interseca la línea en el infinito en un cierto punto. El punto en el cual una línea interseca la línea en el infinito determina la cuesta de la línea, pero su y-la intercepta en absoluto.
En el plano de la afinación, una línea escurr en dos direcciones opuestas. En el plano descriptivo, las dos direcciones opuestas de una línea se encuentran en un punto en la línea en el infinito. Por lo tanto las líneas en el plano descriptivo son las curvas cerradas que son cíclicas algo que lineares. Esto es verdad de la línea en el infinito sí mismo: se resuelve en sus dos puntos finales (que sean por lo tanto no puntos finales en absoluto) y así que él es realmente cíclico.
Perspectiva topológica
La línea en el infinito se puede visualizar como círculo que rodee el plano de la afinación. Sin embargo, este círculo es realmente como el Cruz-casquillo, que es el homeomórfico a una tira de Möbius: los puntos diametralmente opuestos del círculo son equivalentes -- son el mismo punto. ¡La combinación de afina el plano y la línea en el infinito hace el el plano descriptivo verdadero, 2 -->.
Una hipérbola se puede considerar como curva cerrada que interseque la línea en el infinito en dos diversos puntos. Estos dos puntos son especificados por las cuestas de las dos asíntotas de la hipérbola. Asimismo, una parábola se puede considerar como curva cerrada que interseque la línea en el infinito en un monopunto. Este punto es especificado por la cuesta del eje de la parábola. Si la parábola es cortada por su cima en un simétrico aparearse de " horns", entonces estos dos cuernos llegan a ser más paralelos más lejos de la cima, y son realmente paralelos al eje y el uno al otro en el infinito, de modo que se intersequen en la línea en el infinito.
El análogo para el plano descriptivo complejo es una “línea” en el infinito que es (naturalmente) una línea descriptiva complejo. Éste es topológico absolutamente diferente, en que es una esfera de Riemann, que es por lo tanto 2 - la esfera, de adición a un complejo afina el espacio de dos dimensiones sobre el C (tan cuatro dimensiones verdaderas del ), dando por resultado un múltiple cuadridimensional del acuerdo . El resultado es Orientable, mientras que no es el plano descriptivo verdadero.
Historia
La línea compleja en el infinito fue utilizada mucho en geometría del siglo XIX . De hecho se obliga a uno de los trucos más aplicados era mirar un círculo como cónico que pase a través de dos puntos en el infinito, las soluciones de X DEL
DEL
- 2 + Y 2 = 0.
Esta ecuación es la forma tomada por la de cualquier círculo cuando caemos términos de una orden más baja en el X y el Y . Más formalmente, debemos utilizar los coordenadas homogéneos
l
y observar que la línea en el infinito es especificada por el ajuste Z del
l = 0.
Haciendo ecuaciones homogéneas introduciendo energías del Z, y después fijando el Z = 0, mata exacto apagado términos de una orden más baja.
Solucionando la ecuación, por lo tanto, encontramos que todos los círculos “pasan a través” de los puntos circulares en el infinito I del
l = y J =.
Éstas por supuesto son puntos complejos, porque representación del sistema de coordenadas homogéneos. Puesto que el plano descriptivo tiene bastante grande un grupo de la simetría, son de ninguna manera special, aunque. La conclusión es que la familia del tres-parámetro de círculos se puede tratar como caso especial del sistema linear de conics que pasa con dos dados el distinto P de los puntos y el Q . Esta idea fue utilizada tan a menudo que schoolmasterly se presentó una broma, nombrando los puntos circulares en el Isaac del infinito y el Jacob, respectivamente.
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