En la lógica y la lógica second-order del de las matemáticas es una extensión de la lógica de primer orden, que sí mismo es una extensión de la lógica proposicional . La lógica Second-order alternadamente es ampliada por la lógica Higher-order y el tipo teoría .
Uso de primer orden y second-order de la lógica la idea de un dominio del discurso (a menudo llamado simplemente el " domain" o el " universe"). El dominio es un sistema de los elementos individuales que pueden haber cuantificados terminado. La lógica de primer orden incluye solamente las variables y los cuantificadores que se extienden sobre los elementos individuales del dominio. Por ejemplo, en el de primer orden x ( x del ∀ de la oración del ≠ del x + 1) el variable x se utiliza para representar a un individuo arbitrario. La lógica Second-order amplía lógica de primer orden agregando variables y los cuantificadores que se extienden sobre sistemas de individuos. Por ejemplo, el second-order x ( S del ∀ del S del ∀ de la oración del ∉ del x del ∨ del S del ∈ del x ) dice eso para cada S del sistema de individuos y cada individual x, o el x está en el S o no es (éste es el principio del bivalence ). La lógica second-order más general también incluye las variables que cuantifican sobre funciones, y otras variables según lo explicado en el sintaxis de la sección abajo.
Energía expresiva de la segunda lógica de la orden
La lógica Second-order es más expresiva que lógica de primer orden. Por ejemplo, si es el dominio el sistema de todos los números verdaderos uno puede afirmar en lógica de primer orden la existencia de lo contrario del añadido de cada número verdadero escribiendo el y ( x del ∃ del x del ∀ + el y = 0) pero uno necesita la lógica second-order afirmar que el menos-superior-limite la característica de para los sistemas de los números verdaderos, que indica que cada haber limitado, sistema no vacío de números verdaderos tenga un Supremum . Si el dominio es el sistema de todos los números verdaderos, la oración second-order siguiente expresa la menos característica encuadernada superior:
En la lógica second-order, es posible escribir las oraciones formales que dicen el " el dominio es finite" o " el dominio está de la cardinalidad contable . " Para decir que el dominio es finito, utilizar la oración que dice que cada función inyectiva del dominio a sí mismo es el Surjective. Para decir que el dominio tiene cardinalidad contable, utilizar la oración que dice que hay un Bijection entre cada dos subconjuntos infinitos del dominio. Sigue del teorema ascendente de Löwenheim-Skolem que no es posible caracterizar aspecto finito o countability en lógica de primer orden.
Sintaxis
El sintaxis de la lógica second-order dice qué expresiones son las fórmulas bien formadas . Además del sintaxis de la lógica de primer orden, la lógica second-order incluye muchas nuevas clases (a veces llamado mecanografía ) de variables. Éstos son: Una oración en la lógica second-order, como en lógica de primer orden, está una fórmula bien formada sin variables libres (de cualquie clase). En la lógica second-order monádica, solamente las variables para los subconjuntos del dominio se agregan. La lógica second-order con todas las clases de variables apenas descritas a veces se llama el la lógica second-order completa para distinguirla de la versión monádica. Apenas como en lógica de primer orden, la lógica second-order puede incluir los símbolos No-lógicos en una lengua second-order particular. Éstos son restrictos, sin embargo, en que todos los términos que forman deben ser los términos de primer orden (que se pueden substituir para una variable de primer orden) o los términos second-order (que se pueden substituir para una variable second-order de una clase apropiada). La semántica de la lógica second-order establece el significado de cada oración. Desemejante de la lógica de primer orden, que tiene solamente una semántica estándar, hay diversa semántica dos que es de uso general para la lógica second-order: semántica estándar y semántica de Henkin del . En cada uno de estos la semántica, las interpretaciones de los cuantificadores de primer orden y los conectadores lógicos están igual que en lógica de primer orden. Solamente los nuevos cuantificadores sobre las variables second-order necesitan tener semántica definida. En la semántica estándar, los cuantificadores se extienden sobre todos los sistemas de o funciones de la clase apropiada. Así una vez que el dominio de las variables de primer orden se establece, el significado de los cuantificadores restantes es fijo. Es este semántica que da a lógica second-order su energía expresiva, y serán asumidos para el resto de este artículo. En la semántica de Henkin, cada clase de variable second-order tiene un dominio particular sus los propios a extenderse encima, que pueden ser un subconjunto apropiado de todos los sistemas o funciones de esa clase. El Leon Henkin (1950) definió este la semántica y probó que el teorema de lo completo de Gödel y el teorema de la compacticidad, que se sostienen para la lógica de primer orden, transportan a la lógica second-order con la semántica de Henkin. Esto es porque la semántica de Henkin es casi idéntica a la semántica de primer orden mucho-clasificada, donde las clases adicionales de variables se agregan para simular las nuevas variables de la lógica second-order. La lógica Second-order con la semántica de Henkin no es más expresiva que lógica de primer orden. La semántica de Henkin es de uso general en el estudio de la aritmética Second-order . Un sistema deductivo para una lógica es un sistema de las reglas de inferencia y los axiomas lógicos que determinan qué secuencias de fórmulas constituyen pruebas válidas. Varios sistemas deductivos se pueden utilizar para la lógica second-order, aunque ningunos puedan ser completos para la semántica estándar (véase abajo). Cada uno de estos sistemas es el sonido, que significa que cualquier oración que él pueda ser utilizado para probar es lógicamente válido en la semántica apropiada. El sistema deductivo más débil que puede ser utilizado consiste en un sistema deductivo estándar para la lógica de primer orden (tal como deducción natural ) aumentada con las reglas de la substitución para los términos second-order. Este sistema deductivo es de uso general en el estudio de la aritmética Second-order . Los sistemas deductivos considerados por Shapiro (1991) y Henkin (1950) agregan a los axiomas deductivos de primer orden aumentados de la comprensión del esquema y a los axiomas bien escogidos. Estos axiomas son sanos para la semántica second-order estándar. Son sanos para la semántica de Henkin si solamente se consideran los modelos de Henkin que satisfacen los axiomas de la comprensión y de la opción. Un optimista pudo intentar reducir la teoría second-order de los números verdaderos, con la semántica second-order completa, a la teoría de primer orden así. Primero ampliar el dominio del sistema de todos los números verdaderos a un dominio dos-clasificado, con la segunda clase conteniendo todos los sistemas del de números verdaderos de . Agregar un nuevo predicado binario a la lengua: la relación de la calidad de miembro. Entonces oraciones que eran second-order llegadas a ser de primer orden, con los cuantificadores second-order anteriores extendiéndose sobre la segunda clase en lugar de otro. Esta reducción se puede intentar en una teoría uno-clasificada agregando los predicados singulares que dicen si un elemento es un número o un sistema, y tomando el dominio para ser la unión del sistema de números verdaderos y fijado energía de los números verdaderos. Pero notar que el dominio fue afirmado para incluir el todos los sistemas de de números verdaderos. Que el requisito no se puede reducir a una oración de primer orden, pues el teorema de Löwenheim-Skolem demuestra. Ese teorema implica que hay un cierto subconjunto contable infinito de los números verdaderos, cuyos miembros llamaremos los números internos, y una cierta colección contable infinita de sistemas de los números internos, cuyos miembros llamaremos " sets" interno;, tales que los números internos que consisten en del dominio y los sistemas internos satisfacen exactamente las mismas oraciones de primer orden satisficieron como el dominio de verdadero-número-y-fijar-de-verdadero-números. Particularmente, satisface una clase de menos-superior-limita el axioma que dice, en efecto: l que cada no vacío interno fijar que tenga un límite superior interno del tenga un menos límite superior interno del . Countability del sistema de todos los números internos (conjuntamente con el hecho que ésos forman un sistema denso pedido) implica que ese sistema no satisface el lleno menos-superior-limita axioma. Countability del sistema de todos los sistemas internos del implica que no es el sistema de todos los subconjuntos de del sistema de todos los números internos del (puesto que el teorema del chantre implica que el sistema de todos los subconjuntos de un sistema contable infinito es un sistema uncountably infinito). Esta construcción es estrechamente vinculada a la paradoja de Skolem. Así la teoría de primer orden de números verdaderos y de sistemas de números verdaderos tiene muchos modelos, algunos cuyo ser contable. La teoría second-order de los números verdaderos tiene solamente un modelo, sin embargo. Esto sigue del teorema clásico que hay solamente un campo pedido completo de Arquímedes, junto con el hecho de que todos los axiomas de un de Arquímedes terminan el campo pedido son expresables en la lógica second-order. Esto demuestra que la teoría second-order de los números verdaderos no se puede reducir a una teoría de primer orden, en el sentido que la teoría second-order de los números verdaderos tiene solamente un modelo pero la teoría de primer orden correspondiente tiene muchos modelos. Hay ejemplos más extremos que demuestran que la lógica second-order con la semántica estándar es más expresiva que lógica de primer orden. Hay una teoría second-order finita cuyo único modelo es los números verdaderos si la hipótesis de la serie continua se sostiene y que no tiene ninguÌn modelo si la hipótesis de la serie continua no se sostiene. Esta teoría consiste en una teoría finita que caracteriza los números verdaderos como campo pedido de Arquímedes completo más un axioma que dice que el dominio está de la primera cardinalidad no numerable. Este ejemplo ilustra que la cuestión de si una oración en la lógica second-order es constante es extremadamente sutil. Las limitaciones adicionales de la segunda lógica de la orden se describen en la sección siguiente. (validez ) cada oración second-order demostrable es universal válido, es decir, verdad en todos los dominios bajo semántica estándar. (lo completo ) cada fórmula second-order universal válida, bajo semántica estándar, es demostrable. (eficacia ) allí es un algoritmo de prueba-comprobación que puede decidir correctamente a si una secuencia dada de símbolos es una prueba válida o no. Este corolario es expresado a veces diciendo que la lógica second-order no admite una teoría completa de la prueba. A este respecto la lógica second-order con la semántica estándar diferencia de lógica de primer orden, y éste es por lo menos una de las razones que los lógicos han arrojado lejos de su uso. (el Quine señaló de vez en cuando a esto como razón del pensar en la lógica second-order como no lógica del, hablando correctamente.) Según lo mencionado anteriormente, Henkin probó que el sistema deductivo estándar para la lógica de primer orden es sonido, completo, y eficaz para la lógica second-order con la semántica de Henkin, y el sistema deductivo con principios de la comprensión y de la opción es sano, completo, y eficaz para la semántica de Henkin usar solamente los modelos que satisfacen estos principios. Fue encontrado que la teoría determinada se podría formular como sistema axiomatized dentro del aparato de la lógica de primer orden (en el coste de varias clases de lo completo, pero nada tan malo como paradoja de Russell), y esto fue hecha (véase la teoría determinada de Zermelo-Fraenkel), como los sistemas son vitales para las matemáticas . El aritmético, el Mereology, y una variedad de otras teorías lógicas de gran alcance se podrían formular axiomático sin súplica a más aparato lógico que la cuantificación de primer orden, y ésta, junto con la adherencia de Gödel y de Skolem a la lógica de primer orden, llevada a una declinación general en trabajo en la segunda (o cualquie más alto) lógica de la orden. Este rechazamiento fue avanzado activamente por algunos lógicos, especialmente W. Quine avanzó la visión que en oraciones de la predicado-lengua tiene gusto del Fx el " " del x ; es ser pensado en como variable o el nombre que denota un objeto y por lo tanto se puede cuantificar encima, como en " Para todas las cosas, es el caso que ." pero el " " del F ; es ser pensado en como abreviatura del para una oración incompleta, no el nombre de un objeto (no incluso de un objeto abstracto como una característica). Por ejemplo, puede ser que signifique el " … es un dog." Pero no tiene ninguÌn sentido de pensar que podemos cuantificar sobre algo similar. (Tal posición es absolutamente constante con propias discusiones de Frege en la distinción del concepto-objeto). Utilizar tan un predicado como variable es hacer que ocupe el lugar de un nombre que solamente las variables individuales deban ocupar. Este razonamiento ha sido rechazado por Boolos. La lógica second-order ha hecho estos últimos años algo de una recuperación, buoyed por interpretación de Boolos George 'de la cuantificación second-order como cuantificación plural sobre el mismo dominio de objetos que la cuantificación de primer orden. Boolos además señala al demandado Nonfirstorderizability de oraciones tales como " Algunos críticos admiran solamente " y " Algunos de los hombres de Fianchetto entraron el almacén sólo por cualquier persona else" cuál él discute se puede expresar solamente por la fuerza completa de la cuantificación second-order. Sin embargo, la cuantificación generalizada y parcial-pedido, o ramificando, cuantificación puede ser suficiente expresar cierta clase de oraciones presumiblemente nonfirstorderizable también y no apela a la cuantificación second-order.
Una clase de variables que se extienden sobre sistemas de individuos. Si es el S una variable de esta clase y t es un término de primer orden entonces que el S del ∈ del t de la expresión (también escrito el S ( t ) o St del ) es una fórmula atómica. Los sistemas de individuos se pueden también ver como relaciones singulares en el dominio.
Para cada k del número natural hay una clase de variable que se extienda sobre todo el k - relaciones ary en los individuos. Si el R es tal k - la variable y el ary t 1 de la relación,…, el k del del t es términos de primer orden entonces que el R ( t 1,…, k de la expresión del del t ) es una fórmula atómica.
Para cada k del número natural hay una clase de variable que se extienda sobre las funciones que toman los elementos del k del dominio y vuelven un solo elemento del dominio. Si el f es tal k - el símbolo y el ary t 1 de la función,…, el k del del t es términos de primer orden entonces que el f ( t 1,…, k de la expresión del del t ) es un término de primer orden. Que cada uno de las clases de variable apenas definidas, es permitido aumente fórmulas usando cuantificadores universales y/o existenciales. Así hay muchas clases de los cuantificadores, dos para cada clase de variable. Semántica
Sistemas deductivos
Porqué la lógica second-order no es reducible a la lógica de primer orden
Lógica Second-order y resultados metalogical
Es un corolario del teorema del estado incompleto de Gödel que no hay sistema deductivo (es decir, ninguna noción del provability del ) para las fórmulas second-order que satisface simultáneamente estos tres deseados atribuye:
el
el
el La historia y el valor disputado de la lógica second-order
La lógica de predicado fue introducida sobre todo a la comunidad matemática por el C. Peirce, que acuñaron la lógica Second-order término, y cuya notación es la más similar a la forma moderna. Sin embargo, la mayoría de los estudiantes de la lógica son hoy más familiares con los trabajos Frege, que publicaron realmente su trabajo varios años antes de Peirce pero cuyos seguía habiendo trabajos en oscuridad hasta el Bertrand Russell y el Alfred Whitehead del norte los hizo famosos. Frege utilizó diversas variables para distinguir la cuantificación sobre objetos de la cuantificación sobre características y sistemas; pero él no se vio como hacer dos diversas clases de lógica. Después de que el descubrimiento de la paradoja de Russell él fuera observado que algo era incorrecto con su sistema. Los lógicos encontraron eventual eso la lógica de Frege de restricción en vario ways— a qué ahora se llama el &mdash de primer orden de la lógica ; eliminó este problema: los sistemas y las características no se pueden cuantificar encima en primero-orden-lógica solamente. La jerarquía ahora-estándar de órdenes de lógicas fecha a partir de este tiempo. Usos a la complejidad
La energía expresiva de varias formas de lógica second-order en las estructuras finitas se ata íntimo a la teoría de complejidad de cómputo . El campo de los estudios descriptivos de la complejidad que la complejidad de cómputo clasifica se puede caracterizar por la energía de la lógica necesaria para expresar idiomas en él. Particularmente, si consideramos la lógica second-order sobre las estructuras finitas:
El NP es el sistema de idiomas expresables por la lógica existencial, second-order (teorema, 1974 de Fagin).
El Co-NP es el sistema de idiomas expresables por lógica universal, second-order.
El pH es el sistema de idiomas expresables por la lógica second-order.
El PSPACE es el sistema de idiomas expresables por la lógica second-order con un operador transitivo agregado del encierro .
El EXPTIME es el sistema de idiomas expresables por la lógica second-order con un agregado menos operador del punto fijo . Las relaciones entre estas clases afectan directo la expresividad relativa de las lógicas; por ejemplo, si el pH = el PSPACE, entonces agregando a un operador transitivo del encierro a la lógica second-order no la haría más expresiva. Energía del fragmento existencial
El fragmento existencial (EMSO) de la lógica second-order monádica (MSO) es lógica second-order sin cuantificadores second-order universales, y sin ocurrencias negativas de cuantificadores second-order existenciales. Sobre el Σ * del ∈ del w de las palabras, cada fórmula de MSO se puede convertir en un autómata finito determinista . Esto se puede convertir otra vez en una fórmula de EMSO. Así EMSO y MSO son equivalentes sobre palabras. Para los árboles como entrada, este resultado celebra también. Sin embargo, sobre el finito Σ ++ de la rejilla, esta característica no sostiene más, puesto que las idiomas reconocidas por los sistemas del embaldosado no son cerrado bajo complemento del . Puesto que un cuantificador universal es equivalente a un cuantificador existencial negado, que no puede ser expresado, las alternaciones de cuantificadores universales y existenciales generan clases más grandes y más grandes de idiomas sobre el Σ ++.
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