Lógica de Infinitary - Enciclopedia España

l ésos desconocedores con la lógica matemática o el concepto de los ordinales se aconseja consultar esos artículos primero.

Una lógica infinitary es una lógica que permite las declaraciones infinitamente largas y/o las pruebas infinitamente largas . Las lógicas de Infinitary tienen diversas características de los de la lógica de primer orden estándar. Particularmente, las lógicas infinitary no pueden a menudo ser el compacto o terminar. Las nociones de la compacticidad y de lo completo que son equivalentes en lógica finitary no están a veces tan en lógica infinitary. Tan para las lógicas infinitary las nociones de la compacticidad fuerte y de lo completo fuerte se definen. En este artículo seremos referidos al Hilbert-tipo lógicas infinitary, como éstos se han estudiado y constituyen extensivamente las extensiones más directas de la lógica finitary. Éstas no son, sin embargo, las únicas lógicas infinitary alrededor.

Considerando si cierta lógica infinitary nombrada el $\ Omega$ -logic es promesas completas de lanzar la luz en la hipótesis de la serie continua.

Una palabra en la notación y el axioma de la opción

Pues estamos presentando una lengua con fórmulas infinitamente largas no es posible anotar expresiones pues deben ser escritas. Para conseguir alrededor de este problema utilizamos un número de conveniencias notational que en realidad no sean parte del lenguaje formal que estamos definiendo. Utilizamos el

\ cdots

para indicar una expresión que sea infinitamente larga. Donde no está claro la longitud de la secuencia se observa luego. Donde esta notación llega a ser ambigua o confundiendo utilizamos sufijos tales como

\ lor_ {\ < \ delta} {A_ de la gamma {\ gamma}}

para indicar una separación infinita sobre un sistema de fórmulas del

\ delta

de la cardinalidad. La misma notación se puede aplicar el

de los cuantificadores por ejemplo \ el forall_ {\ a < \ delta} {V_ de la gamma {\ la gamma}:}

. Esto se significa para representar una secuencia infinita de cuantificadores para cada

V_ {\ gamma}

donde < \ delta del

\ de la gamma.  Todo el uso de es suficiente y el \ cdots no es parte de idiomas infinitary formales. Asumimos el axioma de la opción (como se hace a menudo al discutir lógica infinitary) pues esto es necesario tener leyes sensibles del distributivity.

Definición del Hilbert-tipo lógicas infinitary

De primer orden infinitary lógica $L_ {\ alfa, \} beta \, \ alfa \ en asiduo, \ = 0 beta \ o \ \ Omega < \ < beta \ alfa$ tiene el mismo sistema de símbolos que una lógica finitary y puede utilizar todas las reglas para la formación de fórmulas de una lógica finitary junto con algunas adicionales:
Si tenemos un sistema de $V= de las variables \ {V_ \ gamma | \ gamma< \ delta < \ beta \}$ y un $entonces \ un forall V_0: \ el forall V_1 \ cdots (A_0)$ y $\ existe V_0: \ existe V_1 \ los cdots (A_0) que$ son fórmulas (en cada caso la secuencia de cuantificadores tiene $\ delta$ de la longitud).
Si tenemos un sistema de $entonces (A_0 \ lor A_1 \ lor \ cdots)$ y el $(A_0 \ y A_1 \ y \ los cdots)$ son fórmulas (en cada caso la secuencia tiene $\ delta$ de la longitud).

Los conceptos de variables encuadernadas se aplican de manera semejante a las oraciones infinitas. Observar que el número de soportes en estas fórmulas es siempre finito. Apenas como en la lógica finitary, una fórmula toda cuyas de variables está encuadernada se refiere como oración .

Una teoría T en el $L_ infinitary de la lógica {\ alfa, \ beta}$ es un sistema de declaraciones en la lógica. Una prueba en lógica infinitary de una teoría T es una secuencia de declaraciones del $\ gamma$ de la longitud que obedece las condiciones siguientes: Cada declaración es un axioma lógico, un elemento de T, o se deduce de declaraciones anteriores usar una regla de inferencia. Como antes, todas las reglas de inferencia en lógica finitary se pueden utilizar, junto con adicional:

si tenemos un sistema de $A= de las declaraciones \ {A_ \ gamma | \ la gamma < \ < \ alfa del delta \}$ que han ocurrido previamente en la prueba entonces el $de la declaración \ el and_ {\ < \ delta} {A_ de la gamma {\ gamma}}$ pueden ser deducidos.

Damos solamente esos esquemas lógicos del axioma específicos a la lógica infinitary. Para cada $\ delta$ y el $\ gamma$ tales que $0 < \ < \ delta$ de la alfa nosotros tienen los axiomas lógicos siguientes:
$((\ and_ {\ épsilon < \ delta} {(A_ {\} \ implica del delta A_ {\ épsilon})}) \ implica (A_ {\} \ implica \ and_ {\ < \ delta} {A_ del delta del épsilon {\ el épsilon}}))$
Para cada $\ < \ delta$ de la gamma que tenemos) \ implica de $((\ and_ {\ < \ delta} {A_ del épsilon {\ épsilon}} A_ {\ gamma})$
Leyes del distributivity de Chang (para cada $\ gamma$ ): $(\ lor_ {\ MU < \ gamma} {(\ and_ {\ < \ gamma} {A_ del delta, \ delta {\ MU}})})$ donde $\ forall \ MU: \ forall \ delta: \ existe \ < \ gamma del épsilon: A_, \ delta {\ MU} = A_ {\ épsilon}$ y $\ forall g \ en \ gamma^ {\ gamma}: \ existe \ < \ gamma del épsilon: \ {A_ {\ épsilon}, \ neg A_ {\} \} \ subseteq del épsilon \ {A_ {\ MU, g (\ MU)} : \ MU < \ gamma \}$
Para < \ alpha del $\ de la gamma tenemos ((\ and_ {\ MU < \ gamma} {(\ lor_ {\ < \ gamma} {A_ del delta, \ el delta {\ MU}})}) \ implica (\ lor_ {\ < \ gamma^ del épsilon {\ gamma}} {(\ and_ {\ MU < \ gamma} {A_, \ gamma_ {\ MU {\ el épsilon}})}})) donde está el ordenar el \ el gamma_ {\ épsilon} bien del \ del gamma^ {\ gamma} Los dos esquemas pasados del axioma requieren el axioma de la opción porque ciertos sistemas deben ser el ordenable bien. El esquema pasado del axioma es en realidad innecesario pues las leyes del distributivity de Chang lo implican, no obstante se incluye como manera natural de permitir weakenings naturales a la lógica.$

Lo completo, compacticidad y lo completo fuerte

Una teoría se fija de declaraciones. La verdad de declaraciones en modelos es definida por la repetición y convendrá con la definición para la lógica finitary donde se definen ambos. Dado una teoría T una declaración reputa válido para la teoría T si es verdad en todos los modelos del T.

Un $L_ de la lógica {\ alfa, \ beta}$ es completo si para cada oración S válida en cada modelo existe una prueba del S. Es fuerte completo si para cualquier teoría T para cada oración S válida en T hay una prueba de S del T. Una lógica infinitary puede ser completa sin ser fuerte completa.

Una lógica es compacta si para cada teoría T del $\ alpha$ de la cardinalidad si todos los subconjuntos S de T tienen modelos entonces T tiene un modelo. Una lógica es fuerte compacta si para cada teoría T si todos los subconjuntos S de T, donde S tiene cardinality $< \ alpha$ , tienen modelos entonces T tiene un modelo. Si una lógica es fuerte compacta, y termina, después es fuerte completa.

El $\ la kappa cardinales \ neq \ omega$ es el débil compacto si el $L_ {\, \ kappa de la kappa}$ es compactos y el $\ kappa$ es el fuerte compacto si el $L_ {\, \ kappa de la kappa}$ es fuerte compactos.

Conceptos expresables en lógica infinitary

En la lengua de la teoría determinada la declaración siguiente expresa la fundación :

del l \ forall_ {\ < \ Omega} {V_ de la gamma {\ gamma}:} \ neg \ and_ {\ gamma < \ Omega} {V_ {\ gamma +} \ en V_ {\ gamma}}. \,

Desemejante del axioma de la fundación, esta declaración no admite ninguna interpretación no estándar. El concepto de foundedness bien se puede expresar solamente en una lógica que permita infinitamente muchos cuantificadores en una declaración individual. Por consiguiente muchas teorías, incluyendo el Peano aritmético, que no se puede axiomatised correctamente en lógica finitary, pueden estar en una lógica infinitary conveniente. Otros ejemplos incluyen las teorías de los campos No-de Arquímedes y los grupos Torsión-libres estas tres teorías se pueden definir sin el uso de la cuantificación infinita; solamente las ensambladuras infinitas son necesarias.

Terminar las lógicas infinitary

Dos lógicas infinitary se destacan en su lo completo. Éstos son el

L_ {\, \ Omega de Omega}

y el

L_, {\ omega_1 \ Omega}

. El anterior es lógica de primer orden finitary estándar y este 3ultimo es una lógica infinitary que permite solamente declaraciones del tamaño contable.

el $L_ {\, \ Omega de Omega}$ es también fuerte completos, compactos y fuerte acuerdo.

Zenithic

Kinathukadavu

Random links:

Phaethusa | Vinalhaven, Maine | d'Avranches de Hugh, 1r conde de Chester | Combatientes de la libertad (juego video) | José Petrus Hendrik Crowe

="http://pagead2.googlesyndication.com/pagead/show_ads.js">