La lógica de primer orden (FOL) del es un sistema deductivo formal usado por los matemáticos, los filósofos, los lingüistas, y los informáticos. Va por muchos nombres, incluyendo: cálculo de predicado de primer orden del ( FOPC ), el cálculo de predicado más bajo, la lengua de la lógica de primer orden o de la lógica de predicado del . Desemejante de idiomas naturales tales como inglés, FOL utiliza un lenguaje formal enteramente inequívoco interpretado por las estructuras matemáticas. FOL es un sistema de la lógica proposicional de la deducción que extiende permitiendo la cuantificación sobre individuos de un dominio dado (universo) del discurso. Por ejemplo, puede ser indicado en " de FOL; Cada individuo tiene la característica P".

Mientras que la lógica proposicional se ocupa de asuntos declarativos simples, la lógica de primer orden cubre además los predicados y la cuantificación. Toma por ejemplo las oraciones siguientes: " Sócrates es un man", " Platón es un man". En la lógica proposicional éstos serán dos asuntos sin relación, denotados por ejemplo por el p y el q . En lógica de primer orden sin embargo, ambas oraciones serían conectadas por la misma característica: Hombre (x), donde hombre (x) significa que x es un hombre. Cuando los x=Socrates nosotros consiguen el primer asunto, p, y cuando el x=Plato nosotros consigue el segundo asunto, el q . Tal construcción permite una lógica mucho más de gran alcance cuando se introducen los cuantificadores, por ejemplo " para cada " de x…;, por ejemplo, " para cada x, si hombre (x), entonces… ". Sin cuantificadores, cada discusión válida en FOL es en lógica proposicional, y viceversa válida.

Una teoría de primer orden consiste en un sistema de los axiomas (generalmente finito o el recurrentemente enumerable) y de las declaraciones deducibles de ellas dadas la relación subyacente del deducibility. Generalmente qué es significada por “teoría de primer orden” es un cierto sistema de de los axiomas junto con las (y sonido) de una axiomatización completa de la lógica de primer orden, cerrado bajo reglas de FOL. (Cualquier sistema FOL dará lugar a la misma relación abstracta del deducibility, así que no necesitamos tener un sistema axiomático fijo en mente.) Una lengua de primer orden tiene suficiente energía expresiva de formalizar dos teorías matemáticas importantes: Teoría determinada y Peano aritmético ZFC . Una lengua de primer orden no puede, sin embargo, categórico expresar la noción del countability aunque es expresable en la teoría de primer orden ZFC bajo interpretación prevista del simbolismo de ZFC. Tales ideas se pueden expresar categórico con la lógica de la orden segundo.

¿Por qué se necesita la lógica de primer orden?

La lógica proposicional no es adecuada para formalizar las discusiones válidas que confían en la estructura interna de los asuntos implicados. Para ver esto, considerar el válido discusión silogística de :
Todos los hombres son mortales
Sócrates es un hombre
Por lo tanto, Sócrates es mortal

cuál sobre la traducción en lógica proposicional rinde:
A
B
$\backslash \; therefore$ C (llevando el $\backslash \; therefore$ el " malo; therefore").

Esta traducción es inválida: la lógica no valida discusiones según su estructura del, y nada en la estructura de esta discusión traducida (C sigue de A y B, para A arbitraria, B, C) sugiere que sea válido. Una traducción que preserva la validez intuitiva (y formal) de la discusión debe tomar en la consideración la estructura más profunda de asuntos, tales como las nociones esenciales del predication y de la cuantificación. La lógica proposicional se ocupa solamente de validez verdad-funcional: cualquier asignación de verdad-valores a las variables de la discusión debe hacer la conclusión verdad o por lo menos una de las premisas falsas. Podemos claramente (uniformemente) asignamos a valores de verdad a las variables de la discusión antedicha tales que A, B es ambo verdad pero C es falsa. Por lo tanto la discusión es verdad-funcional inválida. Por una parte, es imposible (uniformemente) asigna valores de verdad al " de la discusión; A sigue de (A y B)" tales que (A y B) es verdades (por lo tanto A es verdad y B es verdad) y A falsa.

En cambio, esta discusión se puede traducir fácilmente a lógica de primer orden:
$\backslash \; forall\; x\; (hombre\; (x)\; \backslash \; rightarrow\; (x))$ mortal
$\backslash ,\; hombre\; (Sócrates)$
$\backslash \; por\; lo\; tanto\; (Sócrates)$ mortal (Donde " $\backslash \; forall\; x$" significa el " para todo el x", " $\backslash \; rightarrow$" significa el " implies", (Sócrates) $Man\; significa\; el\; "\; Sócrates\; es\; un\; man",\; y\; (Sócrates)$ $Mortal\; significa\; el\; "\; Sócrates\; es\; el\; mortal".)\; En\; inglés\; llano,\; esto\; indica\; ese$
para todo el x, si el x es un hombre entonces el x es mortal
Sócrates del es un hombre
por lo tanto Sócrates del es mortal

FOL puede también expresar la existencia algo ($\backslash \; exists$), así como los predicados (" functions" eso es verdad o falso) con más de un parámetro. Por ejemplo, " hay alguien que puede ser cada vez engañado " puede ser expresado como: el $del\; \backslash \; existe\; x\; (persona\; (x)\; \backslash \; y\; \backslash \; forall\; y\; (tiempo\; (y)\; \backslash \; rightarrow\; Canfool\; (x,\; y)))$ Donde " el $\backslash \; existe\; x$" significa el " existe () un x", " $\backslash \; and$" significa el " and", y $Canfool\; (x,\; y)$ significa el " (persona) x puede ser (en el tiempo) y" engañado;.

Definición de lógica de primer orden

Un cálculo de predicado consiste en el
la formación gobierna (es decir las definiciones recurrentes para formar las fórmulas bien formadas .
reglas de la transformación (es decir reglas de inferencia para derivar teoremas).
axiomas o esquemas del axioma (posiblemente contable infinito).

Los axiomas considerados aquí son los axiomas '' lógicos '' que son parte del clásico FOL . Es importante observar que el FOL se puede formalizar de muchas maneras equivalentes; no hay nada canónico sobre los axiomas y las reglas de inferencia dados en este artículo. Hay infinitamente muchas formalizaciones equivalentes que rinden los mismos teoremas y no-teoremas, y que tienen derecha igual al título “ FOL” .

FOL se utiliza como el " básico; block" del edificio; para muchas teorías matemáticas. FOL proporciona varias reglas incorporadas, tales como el $\backslash \; el\; forall\; x\; P\; delaxioma(x)\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; el\; forall\; x\; P\; (x)$ (si P (x) es verdad para cada x entonces P (x) es verdad para cada x). Los axiomas no-lógicos del adicional se agregan para producir las teorías de primer orden específicas basadas en los axiomas del clásico FOL ; estas teorías empleadas FOL se llaman las teorías de primer orden clásicas del . Un ejemplo de una teoría de primer orden clásica es el Peano aritmético, que agrega al $\backslash \; al\; forall\; x\; \backslash \; existe\; del\; axioma\; y\; Q\; (x,\; y)$ (es decir para cada x existe y tales que y=x+1, donde Q (x, y) se interpreta como " y=x+1"). Este axioma adicional es un axioma no-lógico; no es parte de FOL, sino que por el contrario es un axioma de la teoría (un axioma de la aritmética algo que de la lógica). Los axiomas de la 3ultima clase también se llaman los axiomas de las teorías de primer orden del . Los axiomas de teorías de primer orden no se miran como verdades del por sí mismo de la lógica, sino algo como verdades de la teoría particular que ha asociado generalmente a él una interpretación prevista de sus símbolos no-lógicos. (Véase una idea análoga en lógico contra los símbolos No-lógicos ) así, el axioma sobre Q (x, y) es verdad solamente con la interpretación de la relación Q (x, y) como " y=x+1", y solamente en la teoría Peano aritmético. El clásico FOL no ha asociado a él una interpretación prevista de su vocabulario no-lógico (excepto discutible un símbolo que denota identidad, dependiendo de si una mira un símbolo tal como lógico). la fijar-teoría clásica es otro ejemplo de una teoría de primer orden (una teoría empleada FOL).

¡Vocabulario sistema vacío -->

Antes de fijar las reglas de la formación, una tiene que describir el " vocabulary", que se compone de Un sistema de las variables (o de las relaciones ) cada uno del predicado del con una cierta valencia (o Arity, número del de sus discusiones) ≥1, que del son denotadas a menudo por el P de las letras mayúsculas, Q, R ,… .

* Por ejemplo, P (x) es variables de un predicado de la valencia 1. Puede colocarse para el " x es un man", por ejemplo.

* Q (x, y) es variables de un predicado de la valencia 2. Puede colocarse para el " x es mayor que y" en aritmética o " x es el padre del y", por ejemplo.

* Es posible permitir relaciones de la valencia 0; éstos se podían considerar como variables proposicionales . Por ejemplo, P, que puede colocarse para cualquier declaración.

* Usando funciones (véase abajo), es posible dispensar con todas las variables del predicado con la valencia más en gran parte de una. Por ejemplo, " x>y " (un predicado de la valencia 2, del tipo Q (x, y) ) se puede substituir por un predicado de la valencia 1 sobre los pares pedidos (x, y).

Un sistema de los constantes, denotado a menudo por las letras minúsculas al principio del del alfabeto un, b, c ,… .

* Ejemplos: que un puede colocarse para Sócrates. En el aritmético, puede colocarse para 0. En la teoría determinada, tal constante puede colocarse para el sistema vacío .

Un sistema de funciona, cada uno de un cierto ≥ 1, que de la valencia son denotados a menudo por el f de las letras minúsculas, el g, h ,… .

* Ejemplos: f (x) puede colocarse para el " el padre del x". En el aritmético, puede colocarse para el " - x". En la teoría determinada, puede colocarse para el " la energía determinado de x". En el aritmético, f (x, y) puede colocarse para el " x+y". En la teoría determinada, puede colocarse para el " la unión de x y del y".

* Un constante es realmente una función de la valencia 0. Sin embargo es tradicional utilizar el " del término; function" solamente para las funciones de la valencia por lo menos 1.

* Uno puede en principio dispensar enteramente con funciones del arity > 2 y los predicados del arity > 1 si hay un símbolo de la función del arity 2 que representa un pidieron los pares (o los símbolos del predicado del arity 2 que representa las relaciones de la proyección de un par pedido). Los pares o las proyecciones necesitan satisfacer los axiomas naturales.

* Uno puede en principio dispensar enteramente con funciones y constantes. Por ejemplo, en vez de usar un constante 0 uno puede utilizar un 0 del predicado (x) (interpretado como " x=0"), y substituir cada predicado tal como P (0, y) con el 0 (x) P (x del $\backslash \; forall$ x del $\backslash \; rightarrow$ de, y) . Una función tal como f (x1, x2…) será substituido semejantemente por un F (x1, x2 del predicado…, y) (interpretado como " y=f (x1, x2…)").

Un sistema infinito de las variables, denotado a menudo por las letras minúsculas en el extremo del x, y, z del alfabeto,… .

Símbolos que denotan los operadores lógicos (o los conectadores ): $\backslash \; neg$ ( no lógico), $\backslash \; rightarrow$ ( condicional lógico).

el *$\backslash \; neg$ ($\backslash \; neg$ψ del $\backslash \; rightarrow$ del φ) es lógicamente equivalente al ψ del $\backslash \; wedge$ del φ ( lógico y ). el ψ del $\backslash \; wedge$ del φ se puede considerar como taquigrafía para esto. Alternativo, uno puede agregar el símbolo del $\backslash \; wedge$ como operador lógico al vocabulario, y axiomas apropiados.

el ψ del $\backslash \; rightarrow$ del *$\backslash \; neg$φ es lógicamente equivalente al ψ del $\backslash \; or$ del φ ( lógico o ). el ψ del $\backslash \; or$ del φ se puede considerar como taquigrafía para esto. Alternativo, uno puede agregar el símbolo del $\backslash \; or$ como operador lógico al vocabulario, y axiomas apropiados.

*Similarly, (φ$\backslash \; rightarrow$ψ) el $\backslash \; wedge$ (ψ$\backslash \; rightarrow$φ) es lógicamente equivalente al ψ del $\backslash \; leftrightarrow$ del φ ( bicondicional lógico), y a uno puede utilizar estes 3ultimo como taquigrafía para esto, o agregar alternativo esto al vocabulario y agregar los axiomas apropiados. El ψ del $\backslash \; leftrightarrow$ del φ se escribe a veces como ψ del $\backslash \; equiv$ del φ.

Símbolos que denotan los cuantificadores : $\backslash \; forall$ (la cuantificación universal, leyó típicamente como " para el all").

el *$\backslash \; el\; neg\; x$ (\backslash \; forall$\backslash \; el\; neg$φ) es lógicamente equivalentes al φ del $\backslash \; exists$x (la cuantificación existencial, leyó típicamente como " allí exists"). Estes 3ultimo se pueden utilizar como taquigrafía para esto, o agregar al vocabulario junto con axiomas apropiados.

Paréntesis izquierdos y derechos.

* Hay muchas diversas convenciones sobre donde poner paréntesis; por ejemplo, uno pudo escribir el x del $\backslash \; del\; forall$ o (el x del $\backslash \; forall$). A veces uno utiliza dos puntos o paradas completas en vez de paréntesis para hacer fórmulas inequívocas. Una convención interesante pero algo inusual es " " de la notación polaca ;, donde uno omite todos los paréntesis, y escribe el $\backslash \; rightarrow$, $\backslash \; wedge$, y así sucesivamente delante de sus discusiones algo que entre ellas. La notación polaca es compacta y elegante, pero rara porque es duro que los seres humanos la lean.

Un símbolo de la identidad o de la igualdad = se incluye a veces pero no siempre en el vocabulario.

* Si la igualdad se considera ser una parte de primera lógica de la orden, después el símbolo de la igualdad se comporta sintácticamente como predicado binario. Este caso a veces se llama primera lógica de la orden del con la igualdad .

Hay varias otras variaciones de menor importancia enumeradas abajo:
El sistema de símbolos primitivos (los operadores y los cuantificadores) varía a menudo. Es posible incluir a otros operadores como primitivo, tal como $\backslash \; leftrightarrow$ (iff), $\backslash \; wedge$ (y) y $\backslash \; or$ (or), los constantes T de la verdad para el " true" y F para el " false" (éstos son operadores de la valencia 0), y/o el movimiento de Sheffer ( P | Q, aka NAND). El número mínimo de símbolos primitivos necesarios es uno, pero si nos restringimos a los operadores enumerados arriba, necesitamos tres, como arriba.
Algunos libros y papeles utilizan el ψ del $\backslash \; Rightarrow$ del φ de la notación para el ψ del $\backslash \; rightarrow$ del φ. Esto es especialmente común en la teoría de la prueba donde el $\backslash \; rightarrow$ se confunde fácilmente con la flecha siguiente. Uno también ve el ~φ para el $\backslash \; neg$φ, el φ y el ψ para el ψ del $\backslash \; wedge$ del φ, y una abundancia de las notaciones para el φ del x del $\backslash \; forall$ de los cuantificadores e., se puede escribir como (el x ) φ. Esta 3ultima notación es común en textos en teoría de la repetición.
Es a menudo más fácil en la práctica utilizar una notación más simple que apoye a operadores de infijo y omita paréntesis innecesarios. Así si el P es una relación de la valencia 2, escribimos a menudo el " un " de P b ; en vez de " P un " de b ; ; por ejemplo, escribimos 1 < 2 en vez de < (1 2). Semejantemente si el f es una función de la valencia 2, escribimos a veces el " un " de f b ; en vez de " f (b) un " de ; ; por ejemplo, escribimos 1 + 2 en vez de + (1 2). Por la convención, los operadores de infijo tienden a utilizar nombres de función no alfabéticos. Es también campo común para omitir algunos paréntesis si éste no lleva a la ambigüedad (que lleva a definir una precedencia).
Es a veces útil decir ese " P (x) asimientos de para exactamente un " del x ; ¡, que se pueden expresar como $\backslash \; existen!\; P\; (\; x\; )\; del\; x\; de$. Esta notación se puede tomar para abreviar una fórmula tal como x del $\backslash \; exists$ $(del\; P\; (\; x\; )\; \backslash \; el\; y\; de\; la\; cuña\; \backslash \; forall$ el $\backslash \; rightarrow$ ( x (del P ( y ) = el y ))).

Los programas de computadora que aceptan representaciones de primer orden de la lógica aceptarán típicamente por lo menos a estos cuantificadores y operadores (pueden utilizar sin embargo diversos símbolos para representarlos): $\backslash \; forall$ (forall), $\backslash \; exists$ (existe), $\backslash \; neg$ (no), $\backslash \; wedge$ (y), $\backslash \; or$ (or), $\backslash \; rightarrow$ (implica), y $\backslash \; leftrightarrow$ (si y solamente si). El exclusivo-o el " del operador de ; xor" está también el campo común.

Los sistemas de constantes, de funciones, y de relaciones se consideran generalmente formar una lengua, mientras que consideran las variables, a los operadores lógicos, y los cuantificadores generalmente pertenecer a la lógica. Por ejemplo, la lengua de la teoría de grupo consiste en un constante (el elemento de identidad), una función de la valencia 1 (lo contrario) una función de la relación de la valencia 2 (el producto), y una de la valencia 2 (igualdad), que sería omitida por los autores que incluyen igualdad en la lógica subyacente.

Reglas de la formación

Las reglas de la formación del definen los términos, las fórmulas y las variables libres en ellas como sigue.

Términos

El sistema de los términos del es definido recurrentemente por las reglas siguientes: El constante es un término.

La variable es un término.

Cualquier f ( t ₁,…, n de la expresión del _{del t ) de las discusiones del ≥ 1 del n (donde está un término cada i del del t de la discusión y el f es un símbolo de la función del n de la valencia) es un término.}

Cláusula del encierro del : nada es un término. Por ejemplo, los predicados no son términos.

Fórmulas

El sistema de las fórmulas bien formadas (generalmente llamado el wff s del o apenas las fórmulas del ) es definido recurrentemente por las reglas siguientes: El simple y el complejo afirma si el P es una relación del ≥ 1 del n de la valencia y el que un i del _{de es el P ( de los términos entonces un 1,…, un n) es bien formado. Si la igualdad se considera parte de lógica, después ( un 1 = un 2) es bien formado. Todas tales fórmulas reputan el '' atómico ''.}

Cláusula inductiva I del : si el φ es un wff del, después el $\backslash \; neg$φ es un wff del .

Cláusula inductiva II del : si el φ y el ψ son el wff s del, después (ψ del $\backslash \; rightarrow$ del φ) es un wff del .

Cláusula inductiva III del : si el φ es un wff del y x es un φ variable, después del $\backslash \; forall$x es un wff del .

Cláusula del encierro del : nada es un wff del .

Por ejemplo, $\backslash \; forall$ y (P del $\backslash \; forall$ x $(de\; f\; (x))\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; neg$ (P (x)$\backslash \; rightarrow$ Q (f (y), x, z))) es una fórmula bien formada, si f es una función de la valencia 1, P un predicado de la valencia 1 y Q un predicado del x$\backslash \; rightarrow$ del $\backslash \; forall$ x de la valencia 3. no es una fórmula bien formada.

En terminología de informática, una fórmula ejecuta un " incorporado; boolean" mecanografiar, mientras que un término ejecuta el resto de los tipos.

Liberar y limitar las variables de

Las fórmulas atómicas si el φ es una fórmula atómica entonces x son el libre en φ si y solamente si x ocurre en φ.

Cláusula inductiva I del : x está libre en el $\backslash \; neg$φ si y solamente si x está libre en φ.

Cláusula inductiva II del : x está libre adentro (ψ del $\backslash \; rightarrow$ del φ) si y solamente si x está libre en φ y no ocurre en ψ, o x está libre en ψ y no ocurre en φ, o x está libre en φ y ψ.

Cláusula inductiva III del : x está libre en φ del $\backslash \; forall$y si y solamente si x está libre en φ y x es un diverso símbolo que

del Y. Cláusula del encierro del : x es el encuadernado en φ si y solamente si x ocurre en φ y x no está libre en φ.

l por ejemplo, en el $\backslash \; forall$ y (P (x)$\backslash \; rightarrow$ Q del $\backslash \; forall$ x (x, f (x), z)), x y y son variables encuadernadas, z es una variable libre, y w no es ni uno ni otro porque no ocurre en la fórmula.

Ejemplo

En matemáticas la lengua de grupos abelianos pedidos tiene un constante 0, un &minus singular de la función;, una función binaria +, y un ≤ de la relación binaria. Tan:
0, x, y es los términos atómicos
+ ( x, y ), + ( x, + ( y, − ( z ))) son los términos, escritos generalmente como x + el y, x + &minus del y ; z
= (+ ( x, y ), 0), ≤ (+ ( x, + ( y, − ( z ))), + ( x, y )) son las fórmulas atómicas, escritas generalmente como x + el y = 0, x + el y - x del ≤ del z + el y,
(≤ del y del $\backslash \; forall$ del x del $\backslash \; forall$ (+ ( x, y ), z )) $\backslash \; rightarrow$ ( x del $\backslash \; forall$ = (+ ( x, y ), 0)) es una fórmula, escrita generalmente como (el x del y del $\backslash \; forall$ del x del $\backslash \; forall$ + el z del ≤ del y ) $\backslash \; rightarrow$ ( x del x del $\backslash \; forall$ + el y = 0).

Substitución

Si el t es un término y el φ ( x ) es una fórmula que contiene posiblemente el x como variable libre, después el φ ( t ) es definido para ser el resultado de substituir todos los casos libres del x por el t, a condición de que ninguna variable libre del t se limita en este proceso . Si una cierta variable libre del t se convierte en límite, después para substituir el t para el x es primero necesario cambiar los nombres de variables encuadernadas del φ algo con excepción de las variables libres del t .

Para ver porqué esta condición es necesaria, considerar el φ de la fórmula ( x ) dado por el x (" del ≤ del y del y del $\backslash \; forall$; el x es maximal"). Si el t es un término sin el y como variable libre, después el t de los medios del φ ( t ) apenas es máximo. Sin embargo si el t es el y el φ de la fórmula ( y ) es el y del ≤ del y del y del $\backslash \; forall$ que hace el no para decir que el y es máximo. El problema es que la variable libre el y del t (= el y ) se convirtió en límite cuando substituimos el y para el x en el φ ( x ). Para formar tan el φ ( y ) debemos primero cambiar el variable encuadernado y del φ al algo más, decimos el z, de modo que el φ ( y ) sea entonces el y del ≤ del z del z del $\backslash \; forall$. El olvido de esta condición es una causa notoria de errores.

Reglas de inferencia

Una regla de inferencia es una función de sistemas de fórmulas (bien formadas), llamadas las premisas a los sistemas de fórmulas llamadas las conclusiones. En la mayoría de los sistemas deductivos bien conocidos, las reglas de inferencia llevan un sistema de fórmulas una sola conclusión. (Notar que esto es verdad incluso en el caso de la mayoría de los cálculos siguientes .)

Las reglas de inferencia se utilizan para probar los teoremas cuáles son fórmulas demostrables adentro o miembros de una teoría. Si el presupone de una regla de inferencia son teoremas, después su conclusión es un teorema también. Es decir las reglas de inferencia se utilizan para generar el " new" teoremas del " old" unos--son el preservar del theoremhood. Los sistemas para generar teorías a menudo se llaman los cálculos de predicado del . Éstos se describen en una sección abajo.

Los ponens del modo de la regla de inferencia son el único requerido aquí para una formalización completa de la lógica de primer orden. Indica que si el ψ del φ y del $\backslash \; rightarrow$ del φ es ambos teoremas, después el ψ es un teorema. Esto se puede escribir como siguiendo; si $T\; \backslash \; vdash\; \backslash \; varphi$ y $T\; \backslash \; vdash\; \backslash \; varphi\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; psi$, entonces $T\; \backslash \; vdash\; \backslash \; psi$ donde el $T\; \backslash \; el\; vdash\; \backslash \; varphi$ indica el $\backslash \; varphi$ es demostrable en el T de la teoría.

La regla de inferencia llamada la generalización universal es característica del cálculo de predicado. Puede ser indicado como si $T\; \backslash \; el\; vdash\; \backslash \; varphi$, entonces $T\; \backslash \; vdash\; \backslash \; forall\; x\; \backslash ,\; \backslash \; varphi$ Cuál lee: si el φ es un teorema, entonces " para cada x, φ" está un teorema también. aviso del

l que el $\backslash \; el\; varphi\; \backslash \; el\; rightarrow\; \backslash \; el\; forall\; de\; similar-mirada\; x\; \backslash ,\; \backslash \; varphi$ del esquema es el no al esquema que caracteriza lógica de primer orden. Sin embargo tiene casos válidos, a saber cuando x no ocurre libremente en φ (véase la generalización (lógica) ).

Axiomas

Aquí sigue una descripción de los axiomas de la lógica de primer orden. Según lo explicado arriba, una teoría de primer orden dada tiene axiomas más futuros, no-lógicos. Los axiomas lógicos siguientes caracterizan un cálculo de predicado por el ejemplo de este artículo de la lógica de primer orden.

Para cualquier teoría, está de interés de saber si el sistema de axiomas se puede generar por un algoritmo, o si hay un algoritmo que determina si una fórmula bien formada es un axioma.

Si hay un algoritmo para generar todos los axiomas, después el sistema de axiomas reputa el recurrentemente enumerable.

Si hay un algoritmo que determina después de un número finito de pasos si una fórmula es un axioma o no, después el sistema de axiomas reputa el recurrente o el decidible. En ese caso, uno puede también construir un algoritmo para generar todos los axiomas: este algoritmo construye simplemente todas las fórmulas posibles uno por uno (con longitud growing), y para cada fórmula el algoritmo determina si es un axioma.

Los axiomas de la lógica de primer orden son siempre decidibles. Sin embargo, en una teoría de primer orden los axiomas no-lógicos no son necesario tales.

Axiomas del cuantificador

Los axiomas del cuantificador cambian según cómo se define el vocabulario, cómo el procedimiento de la substitución trabaja, qué es las reglas de la formación y se utilizan qué reglas de inferencia. Aquí sigue un ejemplo específico de estos axiomas

PRED-1: $(\backslash \; forall\; x\; Z\; (x))\; \backslash \; rightarrow\; Z\; (t)$
PRED-2: $Z\; (t)\; \backslash \; rightarrow\; (\backslash \; existe\; x\; Z\; (x))$
PRED-3: $(\backslash \; forall\; x\; (W\; \backslash \; rightarrow\; Z\; (x)))\; \backslash \; rightarrow\; (W\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; forall\; x\; Z\; (x))$
PRED-4: $(\backslash \; forall\; x\; (Z\; (x)\; \backslash )\; \backslash \; rightarrow\; del\; rightarrow\; W)\; (\backslash \; existe\; x\; Z\; (x)\; \backslash \; el\; rightarrow\; W)$ Éstos son realmente los esquemas del axioma: el W de la expresión representa cualquier wff en el cual el x no esté libre, y el Z ( x ) de la expresión representa cualquier wff con la convención adicional que el Z ( t ) representa el resultado de la substitución del t del término para el x en el Z ( x ). Así esto es un sistema recurrente de axiomas.

Otro axioma, $Z\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; forall\; x\; Z$, para Z en el cual x no ocurra, se agrega a veces.

Igualdad y sus axiomas

Hay varias diversas convenciones para usar igualdad (o identidad) en la primera lógica de la orden. Esta sección resume los principales. Las varias convenciones todas dan esencialmente los mismos resultados con la cantidad de trabajo casi igual, y diferencian principalmente en terminología.

la convención más común para la igualdad es incluir el símbolo de la igualdad como símbolo lógico primitivo, y agrega los axiomas para la igualdad a los axiomas para la primera lógica de la orden. Los axiomas de la igualdad son del
x de = x x = f (…, x del → del y ,…) = f (…, y ,…) para cualquie x f de la función = → del y ( P (…, x ,…) P (…, y del →,…)) para cualquier
del P (relación incluyendo sí mismo de la igualdad) de la relación éstos son, también, los esquemas del axioma: definen un algoritmo que decida a si una fórmula dada es un axioma. Así esto es un sistema recurrente de axiomas. La convención más común siguiente es incluir el símbolo de la igualdad como una de las relaciones de una teoría, y agrega los axiomas de la igualdad a los axiomas de la teoría. Esto es en la práctica casi indistinguible de la convención anterior, excepto en el caso inusual de teorías sin la noción de la igualdad. Los axiomas son iguales, y la única diferencia es si uno llama algunos de ellos los axiomas lógicos o los axiomas de la teoría.
En teorías sin funciones y un número finito de relaciones, es posible definir igualdad en términos de relaciones, definiendo el s de dos términos y el t a ser eventualmente relación igual es sin cambios cambiando el s a el t en cualquier discusión. del
por ejemplo, en teoría determinada con un $\backslash \; in$ de la relación, podemos definir el s = el t a ser una abreviatura para el x ( t del $\backslash \; forall$ del $\backslash \; wedge$ del x ( x del $\backslash \; forall$ del $\backslash \; in$ del t del $\backslash \; leftrightarrow$ del x del $\backslash \; in$ del s ) del $\backslash \; in$ del x del $\backslash \; leftrightarrow$ del s del $\backslash \; in$ del x ). Esta definición de la igualdad entonces satisface automáticamente los axiomas para la igualdad. El
alternativo, si un hace uso de el símbolo de la igualdad como relación de la teoría o de la lógica, después uno tendrían que agregar axiomas. En el ejemplo anterior, uno tendría que agregar el t ( x ( t del $\backslash \; forall$ del s del $\backslash \; forall$ del axioma del $\backslash \; forall$ del $\backslash \; in$ del x del $\backslash \; leftrightarrow$ del s del $\backslash \; in$ del x )) s del $\backslash \; rightarrow$ = t .

• En algunas teorías es posible dar a definiciones ad hoc de de la igualdad. Por ejemplo, en una teoría de órdenes parciales con un ≤ de la relación podríamos definir el s = el t a ser una abreviatura para el s del ≤ del t del $\backslash \; wedge$ del t del ≤ del s .

Cálculo de predicado

El cálculo de predicado es una extensión del cálculo proposicional que define qué declaraciones de la primera lógica de la orden son demostrables. Es un sistema formal usado para describir las teorías matemáticas . Si el cálculo proposicional se define con un sistema conveniente de axiomas y la sola regla de los ponens del modo de la inferencia (esto se puede hacer en muchas maneras diferentes), después el cálculo de predicado puede ser definido añadiendo algunos axiomas adicionales y el " adicional de la regla de inferencia; generalization" universal;. Más exacto, como axiomas para el cálculo de predicado tomamos:
Todas las tautologías del cálculo proposicional (con las variables del asunto substituidas por fórmulas).
Los axiomas para los cuantificadores, dados arriba.
Los axiomas para la igualdad dada arriba, si la igualdad se mira como concepto lógico. Una oración se define para ser demostrable en la primera lógica de la orden si puede ser obtenida comenzando con los axiomas del cálculo de predicado y en varias ocasiones aplicando el " de las reglas de inferencia; ponens" del modo; y " generalization" universal;. Es decir:
Un axioma del cálculo de predicado es demostrable en la primera lógica de la orden.
Si el presupone de una regla de inferencia son demostrables en la primera lógica de la orden, después son tan su conclusión .

Si tenemos un T (un sistema de la teoría de declaraciones, llamado los axiomas, en una cierta lengua) entonces un φ de la oración se define para ser demostrable en el T de la teoría si $a\_1\; \backslash \; cuña\; a\_2\; \backslash \; cuña\; \backslash \; ldots\; \backslash \; a\_n\; de\; la\; cuña\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; varphi$ del

l

es demostrable en la primera lógica de la orden, para un cierto sistema finito de los axiomas $a\_1,\; a\_2,\; \backslash \; los\; ldots,\; a\_n$ del T de la teoría. Es decir si uno puede probar en la primera lógica de la orden que el φ sigue de los axiomas del T . Esto también los medios, de que substituimos el procedimiento antedicho para encontrar oraciones demostrables por la siguiente:
Un axioma del T es demostrable en el T .
Un axioma del cálculo de predicado es demostrable en el T .
Si el presupone de una regla de inferencia son demostrables en el T, después son tan su conclusión .

Un problema evidente con esta definición del provability es que parece algo ad hoc: hemos tomado una cierta colección al parecer al azar de axiomas y de reglas de inferencia, y es confuso que no hemos faltado accidentalmente hacia fuera un cierto axioma vital ni gobernamos. El teorema de lo completo de Gödel nos asegura que esto no es realmente un problema: el teorema indica que cualquier declaración verdad en todos los modelos es demostrable en la primera lógica de la orden. Particularmente, cualquie definición razonable del " provable" en la primera orden la lógica debe ser equivalente a la arriba (aunque es posible que las longitudes de pruebas diferencien sumamente para diversas definiciones del provability).

Hay muchas maneras diversas (pero equivalente) de definir provability. La definición antedicha es un ejemplo típico de un " Style" de Hilbert; cálculo, que tiene muchos diversos axiomas pero muy pocas reglas de inferencia. El " Style" de Gentzen; el cálculo de predicado diferencia en que tiene muy pocos axiomas pero muchas reglas de inferencia.

Identidades demostrables

Las identidades siguientes son ejemplos a las oraciones demostrables en el primer $\backslash \; lnot\; \backslash \; forall\; x\; \backslash ,\; del\; de\; la\; lógica\; de\; la\; orden\; P\; (x)\; \backslash \; Leftrightarrow\; \backslash \; existe\; x\; \backslash ,\; \backslash \; lnot\; P\; (el$ \backslash \; el\; lnot\; del$$
de x) \ existe x \, P (x) \ Leftrightarrow \ el forall x \, \ lnot P ($del$
de x) \ forall x \, \ forall y \, P (x, y) \ Leftrightarrow \ forall y \, \ forall x \, P (x, $del$
de y) \ existe x \, \ existe y \, P (x, y) \ Leftrightarrow \ existe y \, \existe x \, P (x, el $del$
de y) \ el forall x \, P (x) \ tierra \ el forall x \, Q (x) \ Leftrightarrow \ el forall x \, (P (x) \ $del$
de la tierra Q (x)) \ existe x \, P (x) \ lor \ existe x \, Q (x) \ Leftrightarrow \ existe x \, (P (x) \ $P\; \backslash \; tierra\; lor\; Q\; (x))$ \ existe x \, Q (x) \ Leftrightarrow \ existe x \, (P \ la tierra Q (x)) (donde no debe el $x$ variable ocurre libremente en $P\; \backslash \; lor\; \backslash \; el\; forall\; x\; \backslash ,\; del$
de $P$) Q (x) \ Leftrightarrow \ el forall x \, (P \ el lor Q (x)) (donde el $x$ variable no debe ocurrir libremente en $P$)

Reglas de inferencia adicionales posibles

Siguiente sistema de regla de inferencia es ejemplo a tal sistema que puede estar agregado a dos regla de inferencia discutido sobre

$\backslash \; x\; \backslash ,\; \backslash \; forall\; y\; \backslash ,\; P\; (x,\; y)\; \backslash \; Rightarrow\; \backslash \; forall\; y\; \backslash ,\; \backslash \; existe\; x\; \backslash ,\; P\; (x,\; y)$
$\backslash \; forall\; x\; \backslash ,\; P\; (x)\; \backslash \; lor\; \backslash \; forall\; x\; \backslash ,\; Q\; (x)\; \backslash \; Rightarrow\; \backslash \; forall\; x\; \backslash ,\; (P\; (x)\; \backslash \; lor\; Q\; (x))$
$\backslash \; existe\; x\; \backslash ,\; (P\; (x)\; \backslash \; tierra\; Q\; (x))\; \backslash \; el\; Rightarrow\; \backslash \; existe\; existe\; x\; \backslash ,\; P\; (x)\; \backslash \; la\; tierra\; \backslash \; existe\; x\; \backslash ,\; Q\; (el$ del$$
de x) \ existe x \, P (x) \ tierra \ el forall x \, Q (x) \ el Rightarrow \ existe x \, (P (x) \ $del$
de la tierra Q (x)) \ el forall x \, P (x) \ el Rightarrow P (c) (si el c es un variable, después él no debe ser cuantificado ya en alguna parte en el P ( x )) $P\; del$
(c) \ Rightarrow \ existe x \, P (x) (el x no debe aparecer libre en el P ( c ))

Teoremas de Metalogical de la lógica de primer orden

Algunos teoremas metalogical importantes son mencionados abajo en forma bulleted. Qué él significa áspero es que una oración es válida si y solamente si es demostrable. Además, uno puede construir un algoritmo que trabaje como sigue: si una oración es demostrable, el algoritmo nos dirá eso en una cantidad de tiempo finita pero desconocida. Si una oración es imposible de demostrar, el algoritmo funcionará por siempre, y no sabremos si la oración es imposible de demostrar o demostrable y el algoritmo no tiene apenas con todo nos dijo eso. Tal algoritmo se llama Semidecidable .

Uno puede construir un algoritmo que determine en el número finito de pasos si una oración es demostrable (un algoritmo decidible ) solamente para las clases simples de lógica de primer orden.

el problema de decisión para la validez es Semidecidable ; es decir hay una máquina de Turing que cuando está dada cualquier oración como entrada, parará si y solamente si la oración es válida (verdad en todos los modelos).

* Como el teorema de lo completo de Gödel demuestra, para cualquier fórmula válida P, P es demostrable. Inversamente, la consistencia asumida de la lógica, cualquier fórmula demostrable es válida.

* La máquina de Turing puede ser una que genera todas las fórmulas demostrables de la manera siguiente: para un sistema enumerable finito o recurrentemente de axiomas, tal máquina puede ser una que genera un axioma, después genera una nueva fórmula demostrable por el uso de los axiomas y de las reglas de inferencia generados ya, después genera otro axioma, y así sucesivamente. Dado una oración como entrada, la máquina de Turing se enciende simplemente y genera todas las fórmulas demostrables uno por uno, y parará si genera la oración.

Desemejante de la lógica proposicional, la lógica de primer orden es el undecidable, a condición de que la lengua tiene por lo menos un predicado de la valencia por lo menos 2 con excepción de igualdad. Esto significa que no hay procedimiento de la decisión que determina correctamente si una fórmula arbitraria es válida. Porque hay una máquina de Turing como se describe anteriormente, el undecidability se relaciona con la insolubilidad del problema que para : no hay algoritmo que determina después de un número finito de pasos si la máquina de Turing parará nunca para una oración dada como su entrada, por lo tanto si la oración es demostrable. Este resultado fue establecido independiente por la iglesia y el Turing .

La lógica de predicado monádica (es decir, lógica de predicado con solamente predicados de una discusión y de ningunas funciones) es decidible.

La clase de Bernays-Schönfinkel de primeras fórmulas de la orden es también decidible.

El traducir de lenguaje natural a la lógica de primer orden

Los conceptos expresados en de lenguaje natural deben ser " translated" a la lógica de primer orden (FOL) antes de que FOL se pueda utilizar para tratarlos, y hay un número de potencial trampas en esta traducción. En FOL, $p\; \backslash \; o\; "\; de\; los\; medios\; de\; q$; p, o q, o both", es decir, es inclusivo. En inglés, el " de la palabra; or" es a veces inclusivo (e.g, " ¿crema o azúcar? "), pero es a veces exclusiva (e., " ¿café o té? " se piensa generalmente significar uno o el otro, no ambos). Semejantemente, el " inglés de la palabra; some" puede significar el " por lo menos uno, posiblemente all", pero otras veces puede significar el " no todos, posiblemente none". El " inglés de la palabra; and" debe ser traducido a veces como " or" (e., " los hombres y las mujeres pueden apply").

Limitaciones de la lógica de primer orden

Todas las notaciones matemáticas tienen sus fuerzas y debilidades; aquí están algunas tales ediciones con lógica de primer orden.

Dificultad que representa si entonces -

Extrañamente bastante, FOL con igualdad (según lo definido típicamente) no incluye ni permite la definición si entonces - predicado o función otro si (c, a, b), donde " c" es una condición expresada como fórmula, mientras que a y b son ambos términos o ambas fórmulas, y su resultado sería " a" si c es verdad, y " b" si es falso. El problema está ése en FOL, los predicados y las funciones pueden aceptar solamente los términos (" non-booleans") como los parámetros, pero el " obvious" la representación de la condición es una fórmula (" boolean"). Esto es desafortunado, puesto que muchas funciones matemáticas se expresan convenientemente en términos de si entonces -, y si entonces - es fundamental para describir la mayoría de los programas de computadora.

Matemáticamente, es posible redefinir un sistema completo de las nuevas funciones que emparejan a operadores de la fórmula, pero esto es absolutamente torpe. Un predicado si (c, a, b) se puede expresar en FOL si está reescrita como $(c\; \backslash \; cuña\; a)\; \backslash \; o\; (\backslash \; el\; neg\; c\; \backslash \; cuña\; b)$, pero éste es torpe si la condición c es compleja. Muchos amplían FOL para agregar un predicado del especial-caso nombrado " si (condición, a, b)" (donde está fórmulas a y b) y/o " de la función; ite (condición, a, b)" (donde está los términos a y b), que aceptan una fórmula como la condición, y son igual al " a" si la condición es verdad y " b" si es falso. Estas extensiones hacen FOL más fácil utilizar para algunos problemas, y hacen algunas clases de más fácil theorem-proving automático. Otros amplían FOL más lejos de modo que las funciones y los predicados puedan aceptar términos y fórmulas en cualquier posición.

El mecanografiar (clases)

FOL no incluye los tipos (clases) en la notación sí mismo, con excepción de diferencia entre las fórmulas (" booleans") y términos (" non-booleans"). Algunos sostienen que esta carencia de tipos es una gran ventaja, solamente muchos otros encuentran ventajas al la definición y usar de los tipos (clases), por ejemplo rechazo de ayuda algunas especificaciones erróneas o indeseables. Los que desean indicar tipos deben proporcionar tal información usar la notación disponible en FOL. El hacer tan puede hacer tales expresiones más complejas, y puede también ser fácil conseguir incorrecto.

los predicados del Solo-parámetro se pueden utilizar para ejecutar la noción de tipos en su caso. Por ejemplo, en: hombre del $\backslash \; del\; forall\; x\; (x)\; \backslash \; Mortal\; del\; rightarrow\; (x)$, el hombre del predicado (x) se podría considerar una clase de " mecanografiar el assertion" (es decir, ese x debe ser un hombre). Los predicados se pueden también utilizar con el " exists" cuantificador para identificar tipos, pero esto se debe hacer generalmente con el " and" operador en lugar de otro, e.: el $\backslash \; existe\; hombre\; de\; x\; (x)\; \backslash \; el\; Mortal\; de\; la\; cuña\; (x)$ (" existe algo que es un hombre y es mortal"). Es fácil escribir el $\backslash \; existe\; hombre\; de\; x\; (x)\; \backslash \; Mortal\; del\; rightarrow\; (x)$, solamente éste sería equivalente a $(\backslash \; existe\; x\; \backslash \; neg\; hombre\; (x))\; \backslash \; o\; \backslash \; existe\; el\; Mortal\; de\; x\; (x)$ (" hay algo que no es un hombre, y/o existe algo que es mortal"), que está generalmente no qué fue pensada. Semejantemente, las aserciones se pueden hacer que un tipo es un subtipo de otro tipo, e.: hombre del $\backslash \; del\; forall\; x\; (x)\; \backslash mamíferodel\; rightarrow\; (x)$ (" para todo el x, si x es un hombre, después x está un mammal").

Dificultad en caracterizar aspecto finito o countability

considera también:

Second-order de la lógica

Sigue del teorema de Löwenheim-Skolem que no es posible caracterizar aspecto finito o countability en lógica de primer orden. Por ejemplo, en lógica de primer orden uno no puede afirmar que el menos-superior-limita la característica de para los sistemas de los números verdaderos que indica que cada sistema limitado, no vacío de números verdaderos tiene un Supremum ; Una lógica Second-order es necesaria para ésa.

El reachability del gráfico no puede ser expresado

Muchas situaciones se pueden modelar como gráfico de los nodos y de las conexiones dirigidas (bordes). Por ejemplo, validar muchos sistemas requiere demostrar a eso un " bad" el estado no se puede alcanzar de un " good" el estado, y estas interconexiones de estados se pueden modelar a menudo como gráfico. Sin embargo, puede ser probado que el reachability no se puede expresar completamente en lógica de predicado. Es decir no hay fórmula f de la predicado-lógica, con u y v como sus solamente variables libres, y R como su solamente símbolo del predicado (del arity 2) tales que f se sostiene en un gráfico dirigido si hay una trayectoria en ese gráfico del nodo asociado a u al nodo asociado al V.

Comparación con otras lógicas

lógica mecanografiada de la orden del

la primera permite que las variables y los términos tengan los varios tipos (o clases ). Si hay solamente un número finito de tipos, éste no diferencia realmente mucho a partir de la primera lógica de la orden, porque una puede describir los tipos con un número finito de predicados singulares y de algunos axiomas. A veces hay un tipo especial Ω de valores de verdad, en este caso las fórmulas son apenas términos del tipo Ω.
La primera lógica de la orden del con las condiciones del dominio agrega condiciones del dominio (DCs) a la lógica de primer orden clásica, permitiendo la dirección de funciones parciales; estas condiciones pueden ser " probado; en el side" de una forma similar tipo corrección de s de PVS a el 'condiciona. También agrega si entonces - para mantener las definiciones y las pruebas manejables (llegaron a ser demasiado complejas sin ellas).
El SMT-LIB estándar define una lengua usada por muchos grupos de investigación para las teorías del modulo del satisfiability; la lógica completa se basa en FOL con igualdad, pero agrega las clases (tipos), si entonces - para los términos y las fórmulas (ite () y si.), dejar la construcción para los términos y las fórmulas (dejar y flet), y una construcción distinta del que declara un sistema de valores mencionados como distinto. Sus conectadores son el no, implican, y, o, el xor del, y el iff .
La lógica second-order débil permite la cuantificación sobre subconjuntos finitos.
La lógica second-order monádica permite la cuantificación sobre subconjuntos, o es decir sobre predicados singulares del .
la lógica Second-order del permite la cuantificación sobre subconjuntos y relaciones, o es decir sobre todos los predicados. Por ejemplo, el axioma del extensionality se puede indicar en la lógica second-order como x = el P P ( y ) del $\backslash \; forall$ del y ≡_def del ↔) (del P ( x ). La semántica fuerte de la segunda lógica de la orden da a tales oraciones un significado mucho más fuerte que la semántica de primer orden.
un más alto de las lógicas de la orden del permite la cuantificación sobre tipos más altos que los permisos second-order de la lógica. Estos tipos más altos incluyen relaciones entre las relaciones, las funciones de relaciones a las relaciones entre las relaciones, el etc.
intuicionista de la lógica de la orden de el primer utiliza intuicionista algo que cálculo proposicional clásico; por ejemplo, el ¬¬φ no necesita ser equivalente al φ.
el de la lógica modal de tiene modal adicional de los operadores de con los significados que se pueden caracterizar informal como, por ejemplo " es necesario ese φ" y " es posible que φ".
En monádico del cálculo de predicado de los predicados se restringen a tener solamente una discusión.
el de la lógica de Infinitary de permite oraciones infinitamente largas. Por ejemplo, uno puede permitir una conjunción o una separación infinitamente de muchas fórmulas, o una cuantificación sobre infinitamente muchas variables. Las oraciones infinitamente largas se presentan en áreas de las matemáticas incluyendo la topología y la teoría modelo .
La lógica de la orden de primer con de los cuantificadores adicionales tiene nuevo Qx de los cuantificadores,…, con significados tales como " hay mucho el x tales que… ". También ver que ramificó el la cuantificación y los cuantificadores plurales George Boolos y otros.
La lógica de predicado del con las definiciones (PLD, o la D-lógica) modifica FOL formalmente agregando definiciones sintácticas como tipo de valor (además de fórmulas y de términos); estas definiciones se pueden utilizar dentro de términos y de fórmulas.
la lógica Independencia-amistosa del es caracterizada por los cuantificadores de ramificación que permiten que uno exprese independencia entre las variables cuantificadas.

La mayor parte de estas lógicas están en algunas extensiones del sentido de la primera lógica de la orden: incluyen a todos los cuantificadores y operadores lógicos de la primera lógica de la orden con los mismos significados. Lindström demostró que la primera lógica de la orden no tiene ninguna extensión (con excepción de sí mismo) que satisfaga el teorema de la compacticidad y el teorema hacia abajo de Löwenheim-Skolem. Una declaración exacta del teorema de Lindström requiere algunas condiciones técnicas que la lógica se asuma para satisfacer; por ejemplo, el cambio de los símbolos de una lengua no debe diferenciar ningún esencial a las cuales las oraciones son verdades.

La primera lógica de la orden en la cual ninguna oración atómica miente en el alcance de más de tres cuantificadores, tiene la misma energía expresiva que la álgebra de la relación de Tarski y de Givant (1987). También demuestran que FOL con un primitivo pidió los pares, y una álgebra de la relación incluyendo las dos relaciones pedidas de la proyección de los pares es equivalente.

Automatización

El teorema que prueba para la lógica de primer orden es uno de los subcampos más maduros del teorema automatizado que prueba . La lógica es bastante expresiva permitir la especificación de problemas arbitrarios, a menudo de una manera razonablemente natural e intuitiva. Por una parte, sigue siendo el Semi-decidible, y se han desarrollado un número de cálculos del sonido y completos, permitiendo sistemas completamente automatizados. Robinson alcanzó una brecha importante con su acercamiento de la resolución ; para probar un teorema que intenta refutar el teorema negado, de una manera goal-directed, dando por resultado un método mucho más eficiente de probar automáticamente teoremas en FOL. Lógicas más expresivas, tales como orden más alta y lógicas modales, permiten la expresión conveniente de una gama más amplia de problemas que primero piden lógica, pero el teorema que prueba para estas lógicas está menos bien desarrollado. ¡

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