La lógica matemática es un subcampo de la lógica y de las matemáticas . Consiste ambos el estudio matemático de la lógica y uso de este estudio a otras áreas de las matemáticas. La lógica matemática tiene conexiones cercanas al la lógica filosófica de informática de y, también. Los temas Unifying en lógica matemática incluyen la energía expresiva de las lógicas formales y la energía deductiva de los sistemas formales de la prueba .

Desde su inicio, la lógica matemática ha contribuido a, y se ha motivado cerca, el estudio de las fundaciones de las matemáticas . Este estudio comenzó en el siglo de fines del siglo diecinueve con el desarrollo de los armazones axiomáticos para la geometría, la aritmética, y el análisis. En el siglo a principios de siglo 20 fue formado por programa de s de Hilbert David el 'para probar la consistencia de teorías fundacionales. Los resultados Kurt Gödel, Gerhard Gentzen, y de otros proporcionaron la resolución parcial al programa, y aclararon las ediciones implicadas en probar consistencia. El trabajo en teoría determinada demostró que casi todas las matemáticas ordinarias se pueden formalizar en términos de sistemas, aunque haya algunos teoremas que no se pueden probar en los sistemas comunes del axioma para la teoría determinada. El trabajo contemporáneo en las fundaciones de las matemáticas se centra a menudo en el establecimiento de qué partes de matemáticas pueden ser particularmente sistemas formales formalizados, algo que intentando encontrar las teorías en las cuales todas las matemáticas pueden ser desarrolladas.

La lógica matemática se divide a menudo en los subcampos de la teoría determinada, la teoría modelo, la teoría de la repetición, y la teoría de la prueba y las matemáticas constructivas . Estas áreas comparten resultados básicos en lógica, particularmente la lógica de primer orden, y el definability .

Historia

La lógica matemática comenzó a divergir como campo distinto en el siglo de mid-19th ( Ferreirós 2001, P. Hasta entonces, la lógica fue estudiada con el retórico, con el Syllogism, y con la filosofía (véase la historia de la lógica ). Las teorías sofisticadas de la lógica fueron desarrolladas en muchas culturas; los trabajos más familiares a los matemáticos occidentales eran axiomas de s de Aristotle 'teoría de s Syllogisms y de Euclid 'para la geometría planar . En los 1700s, las tentativas de tratar las operaciones de la lógica formal de una manera simbólica o algebraica habían sido hechas por los matemáticos filosóficos incluyendo el Leibniz y el Lamberto, pero sus trabajos seguían aislados y sabidos poco.

siglo XIX

¡ En el medio del siglo XIX, el George Boole y entonces Augustus De Morgan presentó tratamientos matemáticos sistemáticos de la lógica. Su trabajo, empleando trabajo de los algebristas tales como pavo real de George, reformado y extendido la doctrina aristotélica tradicional de la lógica y desarrollado un instrumento adecuado para investigar los conceptos fundamentales de las matemáticas ( Katz 1998, P.

Charles Peirce construido sobre el trabajo de Boole para desarrollar un sistema lógico para las relaciones y los cuantificadores, que él publicó en varios papeles a partir de 1870 a 1885. El Gottlob Frege presentó un desarrollo independiente de la lógica con cuantificadores en su Begriffsschrift del, publicado en 1879. El trabajo de Frege seguía siendo obscuro, sin embargo, hasta que Russell comenzara a promoverlo cerca de la vuelta del siglo. La notación de dos dimensiones Frege desarrollado nunca fue adoptada y es extensamente inusitada en textos contemporáneos.

A partir la 1890 a 1905, Ernst Schröder publicó el über de Vorlesungen del muere el der Logik de la álgebra en tres volúmenes. Este trabajo resumido y extendido el trabajo de Boole, de De Morgan, y de Peirce, y era una referencia comprensiva a la lógica simbólica pues era entendido en el final del siglo XIX.

Teorías fundacionales

El desarrollo de la lógica formal, junto con preocupaciones que las matemáticas no hubieran sido empleadas una fundación apropiada, llevó al desarrollo de los sistemas del axioma para las áreas fundamentales de las matemáticas tales como aritmética, análisis, y geometría.

¡aritmético --> En lógica, el aritmético del término refiere a la teoría José de los números naturales que Peano ( 1888 ) publicó un sistema de los axiomas para la aritmética que vino llevar su nombre, usar una variación del sistema lógico de cuantificadores de Boole y de Schröder pero del adición. Peano era inconsciente del trabajo de Frege en ese entonces. Alrededor del mismo Richard Dedekind del tiempo demostró que los números naturales son caracterizados únicamente por sus características de la inducción. Dedekind ( 1888 ) propuso una diversa caracterización, que careció el carácter lógico formal de los axiomas de Peano. El trabajo de Dedekind, sin embargo, probó los teoremas inaccesibles en el sistema de Peano, incluyendo la unicidad del sistema de números naturales (hasta isomorfismo) y de las definiciones recurrentes de la adición y de la multiplicación de la función de sucesor y de la inducción matemática .

¡geometría --> En el siglo de mid-19th, los defectos en los axiomas de Euclid para la geometría se sabían ( Katz 1998, P. Además de la independencia del postulado del paralelo, establecida por el Nikolai Lobachevsky en 1826 ( Lobachevsky 1840 ), matemáticos descubrió que ciertos teoremas tomados para concedido por Euclid no eran de hecho demostrables de sus axiomas. Entre éstos está el teorema que una línea contiene por lo menos dos puntos, o que deben intersecarse los círculos del mismo radio cuyos centros son separados por ese radio. Hilbert ( 1899 ) desarrolló un sistema completo de axiomas para la geometría, empleando el trabajo previo de Pasch ( 1882 ). El éxito en geometría axiomatizing motivó Hilbert para buscar axiomatizaciones completas de otras áreas de las matemáticas, tales como la línea verdadera y los números naturales. Éste demostraría ser un campo de investigación importante por la mitad primer del vigésimo siglo.

El siglo XIX consideró grandes avances en la teoría del análisis verdadero, incluyendo teorías de la convergencia de las funciones y de la serie de Fourier Del . Los matemáticos tales como Karl Weierstrass comenzaron a construir las funciones que estiraron la intuición, tal como funciones continuas en ninguna parte-diferenciables. Los conceptos anteriores de una función en general para el cómputo, o un gráfico liso, eran no más adecuados. Weierstrass comenzó a abogar el Arithmetization del análisis, que intentó axiomatize análisis usar las características de los números naturales. El " moderno; ε-δ" la definición de los límites y de las funciones continuas fue desarrollada por Bolzano y Cauchy entre 1817 y 1823 ( Felscher 2000 ). En 1958, Dedekind propuso una definición de los números verdaderos en términos de cortes de Dedekind de los números racionales (Dedekind 1872), una definición todavía empleada en textos contemporáneos.

El chantre de Jorge desarrolló los conceptos fundamentales de teoría determinada infinita. El suyo los resultados tempranos desarrolló la teoría de la cardinalidad y probó que los reals y los números naturales tienen diversos cardinalities (chantre 1874). Durante los veinte años entonces próximos, el chantre desarrolló una teoría de los números Transfinite en una serie de publicaciones. En 1891, él publicó una nueva prueba del uncountability de los números verdaderos que introdujeron la discusión diagonal, y utilizó este método para probar el teorema del chantre que ningún sistema puede tener la misma cardinalidad que su Powerset . El chantre creyó que cada sistema podría ser well-ordered, pero no podía producir una prueba para este resultado, dejándolo como problema abierto en 1895 ( Katz 1998, P.

vigésimo siglo

En las décadas tempranas del vigésimo siglo, los campos de estudio principales eran teoría determinada y lógica formal. El descubrimiento de paradojas en teoría determinada informal hizo alguno para preguntarse si las matemáticas sí mismo son contrarias, y para buscar pruebas de la consistencia.

En 1900, Hilbert planteó una lista famosa de los problemas 23 para el siglo próximo. Los primeros dos de éstos eran resolver la hipótesis de la serie continua y probar la consistencia de la aritmética elemental, respectivamente; el décimo era producir un método que podría decidir a si una ecuación polinómica multivariante sobre los números enteros tiene una solución. El trabajo subsecuente para resolver estos problemas formó la dirección de la lógica matemática, al igual que el esfuerzo para resolver el Entscheidungsproblem del de Hilbert, presentado en 1928. Este problema pidió un procedimiento que decidiría, dado una declaración matemática formalizada, si la declaración es verdad o falsa.

Fijar la teoría y las paradojas

El Ernst Zermelo ( 1904 ) dio una prueba que cada sistema podría ser well-ordered, chantre de Jorge del resultado que había no podido obtener. Para alcanzar la prueba, Zermelo introdujo el axioma de la opción, que dibujó debate acalorado y la investigación entre matemáticos y los pioneros de la teoría determinada. Las críticas inmediatas del Zermelo llevado método para publicar una segunda exposición de su resultado, exponiendo las críticas de la prueba en forma modificada y entonces directo de la dirección de la primera prueba ( Zermelo 1908 ). Este papel llevó a la aceptación general del axioma de la opción en la comunidad de las matemáticas.

El escepticismo sobre el axioma de la opción fue reforzado por paradojas recientemente descubiertas en teoría determinada ingenua. El César Burali-Forti ( 1897 ) era el primer para indicar una paradoja: la paradoja de Burali-Forti demuestra que la colección de todos los números ordinales no puede formar un sistema. Muy pronto después de eso, el Bertrand Russell descubrió la paradoja de Russell en 1901, y el Julio Richard ( 1905 ) descubrió la paradoja de Richard.

Zermelo ( 1908 ) proporcionó el primer sistema de los axiomas para la teoría determinada. Estos axiomas, junto con el axioma adicional del reemplazo propuesto por el Abraham Fraenkel, ahora se llaman el Zermelo-Fraenkel la teoría determinada (ZF). Los axiomas de Zermelo incorporaron el principio de limitación del tamaño para evitar la paradoja de Russell.

En 1910, el primer volumen de Principia Mathematica del por Russell y de Alfred Whitehead del norte fue publicado. Este trabajo seminal desarrolló la teoría de funciones y de la cardinalidad en un marco totalmente formal del tipo teoría, que Russell y Whitehead desarrollaron en un esfuerzo para evitar las paradojas. El Principia Mathematica se considera uno de los trabajos más influyentes del vigésimo siglo, aunque el marco del tipo teoría no probara popular como teoría fundacional para las matemáticas ( Ferreirós 2001, P.

Fraenkel ( 1922 ) probó que el axioma de la opción no se puede probar de los axiomas restantes de la teoría determinada de Zermelo con el Urelements . El trabajo posterior por el Paul que Cohen ( 1966 ) demostró que la adición de urelements no es necesaria, y el axioma de la opción es imposible de demostrar en ZF. La prueba de Cohen desarrolló el método de que forzaba, que ahora es una herramienta importante para establecer resultados de la independencia en teoría determinada.

Lógica simbólica

El Leopold Löwenheim ( 1918 ) y el Thoralf Skolem ( 1919 ) obtuvieron el teorema de Löwenheim-Skolem, que dice que la lógica de primer orden no puede controlar los cardinalities de estructuras infinitas. Skolem realizó que este teorema se aplicaría a las formalizaciones de primer orden de la teoría determinada, y que implica cualquier formalización tiene un modelo contable . Este hecho antiintuitivo se conocía como paradoja de Skolem.

En su tesis doctoral, Gödel ( 1929 ) probó el teorema de lo completo, que establece una correspondencia entre el sintaxis y la semántica en la lógica de primer orden . Gödel utilizó el teorema de lo completo para probar el teorema de la compacticidad, demostrando la naturaleza finitary de la consecuencia lógica de primer orden. Estos resultados ayudados a establecer lógica de primer orden como la lógica dominante usada por los matemáticos.

En 1931, Gödel publicó el en formalmente los asuntos de Undecidable de Principia Mathematica y relacionó los sistemas, que probaron el estado incompleto (en un diverso significado de la palabra) de todas las teorías de primer orden suficientemente fuertes, eficaces. Este resultado estableció limitaciones severas en las fundaciones axiomáticas para las matemáticas, pegando un soplo fuerte al programa de Hilbert. Demostró la imposibilidad de proporcionar una prueba de la consistencia de la aritmética dentro de cualquier teoría formal de la aritmética. Hilbert, sin embargo, no reconoció la importancia del teorema del estado incompleto por algún tiempo.

El teorema de Gödel demuestra que una prueba de la consistencia de ningún sistema suficientemente fuerte, eficaz del axioma no se puede obtener en el sistema sí mismo, si el sistema es constante, ni en ningún sistema más débil. Esto sale abierto de la posibilidad de las pruebas de la consistencia que no se pueden formalizar dentro del sistema que consideran. Gentzen ( 1936 ) probó la consistencia de la aritmética usar un sistema finitistic junto con un principio de la inducción Transfinite . El resultado de Gentzen expuso las ideas de la eliminación del corte y de los ordinales Prueba-teóricos que se convirtieron en herramientas dominantes en teoría de la prueba. Gödel ( 1958 ) dio una diversa prueba de la consistencia, que reduce la consistencia de la aritmética clásica a la de la aritmética intutitionistic en tipos más altos.

Principios de las otras ramas

El Alfred Tarski desarrolló los fundamentos de la teoría modelo .

Comenzando en 1935, un grupo de matemáticos prominentes colaboró bajo Nicolás Bourbaki del seudónimo para publicar una serie de textos enciclopédicos de las matemáticas. Estos textos, escritos en un estilo austero y axiomático, acentuaron la presentación rigurosa y fundaciones fijar-teóricas. La terminología acuñó por estos textos, tales como el '' bijection '' de las palabras, '' inyección '', y el '' surjection '', y las fundaciones fijar-teóricas los textos empleados, fueron adoptadas extensamente a través de matemáticas.

El estudio del computability vino ser conocido como teoría de la repetición, porque las formalizaciones tempranas por Gödel y Kleene confiaron en definiciones recurrentes de funciones. Cuando estas definiciones fueron demostradas equivalente a la formalización de Turing que implicaba las máquinas de Turing, se ponía de manifiesto que un &ndash del nuevo concepto; el &ndash de la función computable ; había sido descubierto, y que esta definición era bastante robusta admitir caracterizaciones independientes numerosas. En su trabajo sobre los teoremas del estado incompleto en 1931, Gödel careció un concepto riguroso de un sistema formal eficaz; él realizó inmediatamente que las nuevas definiciones del computability se podrían utilizar con este fin, permitiendo que él indique los teoremas del estado incompleto en la generalidad que se podría implicar solamente en el papel original.

Los resultados numerosos en teoría de la repetición fueron obtenidos en los años 40 por el col Kleene de Stephen y el poste de Emilio Leon. Kleene ( 1943 ) introdujo los conceptos de computability relativo, presagiados por Turing ( 1939 ), y la jerarquía aritmética . Kleene generalizó más adelante teoría de la repetición a los functionals higher-order. Kleene y Kreisel estudiaron versiones formales de las matemáticas intuicionistas, particularmente en el contexto de la teoría de la prueba.

¡1950 -->

Subcampos y alcance

La lógica matemática contemporánea se divide áspero en cuatro áreas: Teoría determinada, teoría modelo, teoría de la repetición, y teoría de la prueba y matemáticas constructivas . Cada área tiene un foco distinto, aunque muchas técnicas y resultados se compartan entre las áreas múltiples. Las fronteras entre estos campos, y las líneas entre la lógica matemática y otros campos de las matemáticas, no son siempre agudas. El teorema del estado incompleto de Gödel marca no sólo un jalón en teoría de la repetición y teoría de la prueba, pero también ha llevado al teorema de Loeb en lógica modal. El método de que fuerza se emplea en teoría determinada del teoría, modelo, y teoría de la repetición, así como en el estudio de las matemáticas intuicionistas.

El campo matemático de la teoría de la categoría utiliza muchos métodos axiomáticos formales, pero la teoría de la categoría ordinariamente no se considera un subcampo de la lógica matemática. Debido a su aplicabilidad en campos diversos de las matemáticas, los matemáticos incluyendo el carril del mac de Saunders han propuesto teoría de la categoría como sistema fundacional para las matemáticas, independiente de la teoría determinada. Estas fundaciones utilizan el Toposes que se asemejan a los modelos generalizados de la teoría determinada que pueden emplear lógica clásica o nonclassical.

Lógica formal

En su base, la lógica matemática se ocupa de los conceptos matemáticos expresados usar sistemas lógicos formales. Estos sistemas, aunque diferencian en muchos detalles, comparten la característica común de considerar solamente expresiones en un lenguaje formal fijo, o la firma . El sistema de la lógica de primer orden es estudiado lo más extensamente posible hoy, debido a su aplicabilidad a las fundaciones de las matemáticas y debido a sus características prueba-teóricas deseables. Lógicas clásicas más fuertes tales como lógica Second-order o lógica de Infinitary también se estudian, junto con lógicas nonclassical tales como lógica intuicionista .

Lógica de primer orden

considera también:

primer orden de la lógica

La lógica de primer orden es un sistema de lógica formal particular. Su sintaxis implica solamente expresiones finitas como fórmulas bien formadas, mientras que su semántica es caracterizada por la limitación de todos los cuantificadores a un dominio fijo del discurso .

Los resultados tempranos sobre lógica formal establecieron limitaciones de la lógica de primer orden. El teorema (1919) de Löwenheim-Skolem demostró que si un sistema de oraciones en una lengua de primer orden contable tiene un modelo infinito entonces él tiene por lo menos un modelo de cada cardinalidad infinita. Esto demuestra que es imposible que un sistema de axiomas de primer orden caracterice los números naturales, los números verdaderos, o cualquier otra estructura infinita hasta el isomorfismo . Pues la meta de estudios fundacionales tempranos era producir las teorías axiomáticas para todas las partes de matemáticas, esta limitación era particularmente rígida.

El teorema ( Gödel de lo completo de Gödel 1929 ) estableció la equivalencia entre las definiciones semánticas y sintácticas de la consecuencia lógica en lógica de primer orden. Demuestra que si una oración particular es verdad en cada modelo que satisfaga un sistema particular de axiomas, después debe haber una deducción finita de la oración de los axiomas. El teorema de la compacticidad primero apareció como lema en la prueba de Gödel del teorema de lo completo, y tardó muchos años antes de que los lógicos agarraran su significación y comenzaran a aplicarla rutinario. Dice que un sistema de oraciones tiene un modelo si y solamente si cada subconjunto finito de tiene un modelo, o es decir que un sistema contrario de fórmulas debe tener un subconjunto contrario finito. Los teoremas de lo completo y de la compacticidad permiten análisis sofisticado de la consecuencia lógica en lógica de primer orden y el desarrollo de la teoría modelo, y son una razón dominante de la prominencia de la lógica de primer orden en matemáticas.

Los teoremas ( Gödel del estado incompleto de Gödel 1931 ) establecieron límites adicionales en la axiomatización de primer orden. El primer teorema del estado incompleto del indica que ningún suficientemente fuerte, dado con eficacia el sistema formal puede probar su propia consistencia. Aquí un sistema formal se da con eficacia si es posible decidir, dado cualquier fórmula en la lengua del sistema, si la fórmula es un axioma. Cuando está aplicado a la lógica de primer orden, el primer teorema del estado incompleto implica que cualquier teoría de primer orden suficientemente fuerte, constante, eficaz tiene modelos que no sean el elemental equivalente, una limitación más fuerte que la estableció por el teorema de Löwenheim-Skolem. El teorema del estado incompleto del segundo indica que ningún sistema suficientemente fuerte, constante, eficaz del axioma para la aritmética puede probar su propia consistencia, que se ha interpretado a la demostración que el programa de Hilbert no puede ser terminado.

Otras lógicas clásicas

Muchas lógicas además de la lógica de primer orden se estudian. Éstos incluyen las lógicas de Infinitary, que permiten para que las fórmulas proporcionen una cantidad de información infinita, y las lógicas higher-order, que incluyen una porción de teoría determinada directo en su semántica.

La lógica infinitary mejor estudiada es el $L\_,\; \{\backslash \; omega\_1\; \backslash \; Omega\}$. En esta lógica, los cuantificadores se pueden jerarquizar solamente a las profundidades finitas, como en la primera lógica de la orden, pero las fórmulas pueden tener conjunciones y separaciones finitas o contable infinitas dentro de ellas. Así, por ejemplo, él es posible decir que objeto es natural número usar fórmula de $L\_,\; \{\backslash \; omega\_1\; \backslash \; Omega\}$ por ejemplo

$(x\; =\; 0)\; \backslash \; lor\; (x\; =\; 1)\; \backslash \; lor\; (x\; =\; 2)\; \backslash \; lor\; \backslash \; cdots$.

Las lógicas Higher-order permiten la cuantificación no sólo de los elementos del dominio del discurso, pero subconjuntos del dominio del discurso, sistemas de tales subconjuntos, y otros objetos de un tipo más alto. Se define la semántica de modo que, algo que teniendo un dominio separado para cada alto-tipo cuantificador a extenderse encima, los cuantificadores en lugar de otro se extiendan sobre todos los objetos del tipo apropiado. Las lógicas estudiadas antes del desarrollo de la lógica de primer orden, por ejemplo lógica de Frege, tenían aspectos fijar-teóricos similares. Aunque las lógicas higher-order sean más expresivas, permitiendo axiomatizaciones completas de estructuras tales como los números naturales, no satisfacen los análogos de los teoremas de lo completo y de la compacticidad de la lógica de primer orden, y son así menos favorables al análisis prueba-teórico.

Lógica Nonclassical y modal

Las lógicas modales incluyen a operadores modales adicional, tales como un operador que indique que una fórmula particular es no sólo verdad, pero verdad necesario. Aunque la lógica modal no sea de uso frecuente axiomatize matemáticas, se ha utilizado para estudiar las características del provability de primer orden ( Solovay 1976 ) y de forzar fijar-teórico ( Hamkins y Löwe 2007 ).

La lógica intuicionista fue desarrollada original por Heyting para estudiar el programa de Brouwer del intuitionsim, en el cual Brouwer mismo evitó la formalización. La lógica intuicionista, no incluye famoso la ley del medio excluido, que indica que es cada oración o verdad o su negación es verdad. El trabajo de Kleene con la teoría de la prueba de la lógica intuicionista demostró que la información constructiva se puede recuperar de pruebas intuicionistas. Por ejemplo, cualquier función demostrable total en aritmética intuicionista es el computable; esto no es verdad en teorías clásicas de la aritmética tales como Peano aritmético.

Fijar la teoría

considera también:

la teoría determinada

la teoría determinada del es el estudio de los sistemas, que son colecciones abstractas de objetos. Muchas de las nociones básicas, tales como números ordinales y cardinales, fueron desarrolladas informal por Cantor antes de que las axiomatizaciones formales de la teoría determinada fueran desarrolladas. El primer tal axiomatización, debido a Zermelo ( 1908 ), fue ampliado levemente para convertirse en la teoría determinada (ZF) de Zermelo-Fraenkel, que ahora es la teoría fundacional más ampliamente utilizada para las matemáticas.

Otros sistemas formales de teoría determinada se han propuesto, incluyendo la teoría determinada (NBG) de Von Neumann-Bernays-Gödel, la teoría determinada (MK) de Morse-Kelley, y fundaciones (N-F) las nuevas. De éstos, ZF, NBG, y el MK son similares en la descripción de una jerarquía acumulativa de sistemas. Las nuevas fundaciones toman una diversa tachuela; permite objetos tales como el sistema de todos los sistemas en el coste de restricciones en sus axiomas de la fijar-existencia. El sistema de la teoría determinada de Kripke-Platek es estrechamente vinculado a la teoría generalizada de la repetición.

Dos declaraciones famosas en teoría determinada son el axioma de la opción y la hipótesis de la serie continua. El axioma de la opción, primero indicado por Zermelo ( 1904 ), era independiente probada de ZF de Fraenkel ( 1922 ), pero ha venido ser aceptado extensamente por los matemáticos. Indica que dado una colección de sistemas no vacíos hay un C del solo sistema que contiene exactamente un elemento de cada sistema en la colección. El C del sistema se dice al " choose" un elemento de cada sistema en la colección. Mientras que la capacidad de tomar tal decisión es considerada obvia por alguno, puesto que cada sistema en la colección es no vacío, la carencia de una regla general, concreta por la cual la decisión pueda ser tomada hace el axioma nonconstructive. El Stefan Banach y el Alfred Tarski (1924) demostraron que el axioma de la opción se puede utilizar para descomponer una bola sólida en un número finito de pedazos cuál se puede entonces cambiar, sin el escalamiento, para hacer dos bolas sólidas del tamaño original. Este teorema, conocido como la paradoja de Banach-Tarski, es uno de muchos resultados antiintuitivos del axioma de la opción.

La hipótesis de la serie continua, primero propuesta como conjetura por Cantor, fue enumerada por David Hilbert como uno de sus 23 problemas en 1900. Gödel demostró que la hipótesis de la serie continua no puede ser disproven de los axiomas de la teoría determinada de Zermelo-Frankel (con o sin el axioma de la opción), desarrollando el universo construible de la teoría determinada en el cual la hipótesis de la serie continua deba sostenerse. En 1963, el Paul Cohen demostró que la hipótesis de la serie continua no se puede probar de los axiomas de la teoría determinada de Zermelo-Frankel ( Cohen 1966 ). Este resultado de la independencia no resolvió totalmente la pregunta de Hilbert, sin embargo, pues es posible que los nuevos axiomas para la teoría determinada podrían resolver la hipótesis. El trabajo reciente a lo largo de estas líneas ha sido conducido por el W. Hugh Woodin, aunque su importancia no esté todavía clara ( Woodin 2001 ).

La investigación contemporánea en teoría determinada incluye el estudio de los cardenales grandes y Determinacy . Los cardenales grandes son los números cardinales con las características particulares tan fuertes que la existencia de tales cardenales no se puede probar en ZFC. La existencia del cardenal grande más pequeño estudiado típicamente, cardenal inaccesible, implica ya la consistencia de ZFC. A pesar de que los cardenales grandes tienen cardinalidad extremadamente alta, su existencia tiene muchas ramificaciones para la estructura de la línea verdadera. El Determinacy refiere a la existencia posible de las estrategias wining para ciertos juegos two-player (los juegos reputan determinado ). La existencia de estas estrategias implica características estructurales de la línea verdadera y de otros espacios del polaco

Teoría modelo

considera también:

la teoría modelo

la teoría modelo del estudia los modelos de varias teorías formales. Aquí una teoría es un sistema de fórmulas en una firma particular de la lógica formal y, mientras que un modelo es una estructura que da una interpretación concreta de la teoría. La teoría modelo es estrechamente vinculada a la álgebra universal y a la geometría algebraica, aunque los métodos de teoría modelo se centren más en consideraciones lógicas que esos campos.

El sistema de todos los modelos de una teoría particular se llama una clase elemental ; la teoría modelo clásica intenta determinar las características de modelos en una clase elemental particular, o determina si ciertas clases de estructuras forman clases elementales.

El método de la eliminación del cuantificador se puede utilizar para demostrar que las teorías definibles de los sistemas particularmente no pueden ser demasiado complicadas. Tarski ( 1948 ) estableció la eliminación del cuantificador para los campos Verdadero-cerrados que un resultado que también demuestra la teoría del campo de números verdaderos es el decidible. (Él también observó que sus métodos eran igualmente aplicables a los campos algebraico cerrados de la característica arbitraria.) Un subcampo moderno que se convierte de esto se refiere a las estructuras o-mínimas

El teorema del categoricity de Morley, probado por el Michael D. Morley (1965), indica que si una teoría de primer orden en una lengua contable es categórica en una cierta cardinalidad no numerable, es decir todos los modelos de esta cardinalidad son isomorfos, después es categórica en todos los cardinalities no numerables.

Una consecuencia trivial de la hipótesis de la serie continua es que una teoría completa con menos que serie continua muchos modelos contables nonisomorphic puede tener solamente contable muchos. La conjetura de Vaught, nombrada después Roberto Lawson Vaught, dijo que ésta es verdad incluso independiente de la hipótesis de la serie continua. Muchos casos especiales de la conjetura fueron establecidos antes de que fuera refutada en última instancia por el caballero (2002) del petirrojo W.

Teoría de la repetición

considera también:

la teoría de la repetición

la teoría de la repetición del, también llamada la teoría del computability del, estudia las características de las funciones computables y de los grados de Turing que dividen las funciones uncomputable en los sistemas que tienen el mismo nivel de uncomputability. La teoría de la repetición también incluye el estudio del computability y del definability generalizados. La teoría de la repetición creció del trabajo de la iglesia de Alonzo y Alan Turing en los años 30, que fue extendido grandemente por Kleene y el poste en los años 40.

La teoría clásica de la repetición se centra en el computability de funciones de los números naturales a los números naturales. Los resultados fundamentales establecen una clase robusta, canónica de las funciones computables con la independiente numerosa, caracterizaciones equivalentes usar &lambda de las máquinas de Turing; cálculo, y otros sistemas. Resultados más avanzados se refieren a la estructura de los grados de Turing y al enrejado de los sistemas enumerable recurrentemente

La teoría generalizada de la repetición amplía las ideas de la teoría de la repetición a los cómputos que son no más necesario finitos. Incluye el estudio del computability en tipos más altos así como áreas tales como teoría de Hyperarithmetical y α - teoría de la repetición.

La investigación contemporánea en teoría de la repetición incluye el estudio de usos tales como aleatoriedad algorítmica y teoría modelo computable así como nuevos resultados en teoría pura de la repetición.

Problemas algorítmico insolubles

Un subcampo importante de la teoría de la repetición estudia insolubilidad algorítmica; un problema es el algorítmico insoluble si no hay función computable que, dada cualquie (código para) un caso del problema, vuelve la respuesta correcta. El primer resulta sobre la insolubilidad, obtenida independiente por Church y Turing en 1936, demostrado que el Entscheidungsproblem es algorítmico insoluble. Turing probó esto estableciendo la insolubilidad del problema que paraba, un resultado con implicaciones de gran envergadura en teoría de la repetición y de informática.

Hay muchos ejemplos sabidos de problemas undecidable de matemáticas ordinarias. El problema de la palabra para los grupos era algorítmico insoluble probado al lado de Pyotr Sergeyevich Novikov en 1955 e independiente al lado de W. El problema ocupado del castor, desarrollado por el Tibor Radó en 1962, es otro ejemplo bien conocido.

Problema de Hilbert el décimo pidió un algoritmo determinar si una ecuación polinómica multivariante con coeficientes del número entero tiene una solución en los números enteros. El progreso parcial fue hecho por el Julia Robinson, el Martin Davis, y el Hilary Putnam . La insolubilidad algorítmica del problema fue probada por el Yuri Matiyasevich en 1970 (Davis 1973).

Teoría de la prueba y matemáticas constructivas

considera también:

la teoría de la prueba

la teoría de la prueba del es el estudio de pruebas formales en varios sistemas lógicos de la deducción. Estas pruebas son representadas como objetos matemáticos formales, facilitando su análisis por técnicas matemáticas. Varios sistemas de la deducción se consideran comúnmente, incluyendo sistemas de los sistemas de la deducción del Hilbert-estilo de la deducción natural, y el cálculo siguiente desarrollado por Gentzen.

El estudio de las matemáticas constructivas, en el contexto de la lógica matemática, incluye el estudio de sistemas en lógica non-classical tal como lógica intuicionista, así como el estudio de los sistemas predicativos . Un autor temprano del predicativism era el Hermann Weyl, que lo demostró que es posible desarrollar una parte grande de análisis verdadero usar solamente los métodos predicativos (Weyl 1918).

Porque las pruebas son enteramente finitary, mientras que no es la verdad en una estructura, es común para el trabajo en matemáticas constructivas acentuar provability. La relación entre el provability en sistemas clásicos (o nonconstructive) y el provability en, respectivamente) sistemas intuicionistas (o constructivos está de interés particular. Los resultados tales como la traducción negativa de Gödel-Gentzen demuestran que es posible encajar (o el traduce ) lógica clásica en lógica intuicionista, permitiendo que algunas características sobre pruebas intuicionistas sean transferidas de nuevo a pruebas clásicas.

Los recientes desarrollos en teoría de la prueba incluyen el estudio de la explotación minera de la prueba de Ulrich Kohlenbach y el estudio de los ordinales Prueba-teóricos de Michael Rathjen.

Conexiones con de informática

El estudio de la teoría del computability en de informática es estrechamente vinculado al estudio del computability en lógica matemática. Hay una diferencia del énfasis, sin embargo. Los informáticos se centran a menudo en los lenguajes de programación concretos y el computability factible, mientras que los investigadores en lógica matemática se centran a menudo en computability como concepto teórico y en noncomputability.

El estudio de la semántica de programación del lenguaje se relaciona con la teoría modelo, al igual que la verificación de programa (particularmente, modelo que comprueba ). El isomorfismo de Curry-Howard entre las pruebas y los programas se relaciona con la teoría, especialmente lógica intuicionista de la prueba. Los cálculos formales tales como el cálculo de la lambda y lógica combinatoria ahora se estudian como lenguajes de programación idealizados .

De informática también contribuye a las matemáticas desarrollando las técnicas para la comprobación o aún encontrar automática de pruebas, tales como teorema automatizado que prueba y la programación de lógica .

Fundaciones de las matemáticas

considera también: Fundaciones las matemáticas

En el siglo XIX, los matemáticos eran enterados de boquetes y de inconsistencias lógicos en el campo. Fue demostrado que axiomas de s de Euclid axiomático los “para la geometría, que había sido enseñada por siglos como ejemplo del método, eran incompletos. El uso Infinitesimals y la misma definición de la función, entraron en la pregunta en análisis, como ejemplos patológicos tales como de Weierstrass” en ninguna parte que la función diferenciable de fue descubierta.

Los matemáticos comenzaron a buscar para los sistemas del axioma que se podrían utilizar para formalizar partes grandes de matemáticas. Además de quitar ambigüedad de términos anterior-ingenuos tales como función, era esperado que esta axiomatización permitiría pruebas de la consistencia. En el siglo XIX, el método principal de probar la consistencia de un sistema de axiomas era proporcionar un modelo para él. Así, por ejemplo, la geometría No-Euclidiana puede ser constante probado definiendo el punto del para significar un punto en una línea fija de la esfera y del para significar un gran círculo en la esfera. La estructura resultante, un modelo de la geometría elíptica, satisface los axiomas de la geometría plana excepto el postulado paralelo.

Con el desarrollo de la lógica formal, el David Hilbert preguntó si sería posible probar que un sistema del axioma es constante analizando la estructura de pruebas posibles en el sistema, y demostrando con este análisis que es imposible probar una contradicción. Esta idea llevó al estudio de la teoría de la prueba. Por otra parte, Hilbert propuso que el análisis fuera enteramente concreto, usar el finitary del término para referir a los métodos que él permitiría pero no no exacto definiéndolos. Este proyecto, conocido como programa de Hilbert, fue afectado seriamente por los teoremas del estado incompleto de Gödel, que demuestran que la consistencia de teorías formales de la aritmética no se puede establecer usar los métodos formalizable en esas teorías. Gentzen demostró que es posible producir una prueba de la consistencia de la aritmética en un sistema finitary aumentado con axiomas de la inducción Transfinite, y las técnicas que él desarrolló a así que que lo hace era seminal en teoría de la prueba.

Un segundo hilo de rosca en la historia de fundaciones de las matemáticas implica matemáticas nonclassical y constructivas. En el siglo de fines del siglo diecinueve, no todos los matemáticos aceptaron los nuevos métodos del chantre de manipular sistemas infinitos. Famoso, el Leopold Kronecker indicó el " Dios hizo los números enteros; todo está el trabajo del hombre, " referir al trabajo del chantre con los sistemas no numerables. Las objeciones también fueron suscitadas al uso de Zermelo del axioma de la opción, aunque este axioma encontrara rápidamente la aceptación amplia entre matemáticos.

En el siglo a principios de siglo 20, el Luitzen Egbertus enero Brouwer fundó el Intuitionism como filosofía de las matemáticas. Esta filosofía, mal entendida al principio, indicada eso para que una declaración matemática sea verdad a un matemático, que la persona debe pueda al intuit la declaración, no sólo para creer su verdad sino para entender la razón de ella. Una consecuencia de esta definición de la verdad era el rechazamiento de la ley del medio excluido, porque hay las declaraciones que, según Brouwer, no se podrían demandar para ser verdades mientras que sus negaciones también no podrían ser verdades demandado. La filosofía de Brouwer era influyente, y la causa de conflictos amargos entre matemáticos prominentes. Más adelante, Kleene y Kreisel estudiarían versiones formalizadas de la lógica intuicionista (formalización rechazada Brouwer, y presentado su trabajo en de lenguaje natural unformalized). Con el advenimiento de la interpretación BHK y de los modelos de Kripke el intuitionism llegó a ser más fácil de reconciliar con matemáticas clásicas.

El estudio de las matemáticas constructivas incluye muchos diversos programas con varias definiciones del constructivo. A lo más acomodando el extremo, las pruebas en teoría determinada de ZF que no utilizan el axioma de la opción son llamadas constructivas por muchos matemáticos. Versiones más limitadas del límite del constructivismo ellos mismos a los números naturales, a las funciones Número-teóricas y a los sistemas de los números naturales (que se pueden utilizar para representar números verdaderos, facilitando el estudio del análisis matemático ). Una idea común es que para afirmar que existe una función número-teórica, los medios concretos de computar los valores de la función deben ser sabidos. ¡

Ver también

Lista de los asuntos de la lógica matemática
Lista de los asuntos del computability y de la complejidad
Lista de los asuntos de la teoría determinada
Lista de las primeras teorías de la orden

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